集合与函数概念、基本初等函数教学解读 ( 学习 《 普通高中数学课程标准 》 和 人教版 《 普通高中 数学课程标准实验教科书 • 数学 1 必修 》 的体会 )

1. 集合与函数概念、基本初等函数教学解读(学习《普通高中数学课程标准》和 人教版《普通高中数学课程标准实验教科书•数学1必修》的体会) 象山三中 胡 庆 彪 2006年7月7日

2. 以怎样的心态迎接新课改的到来? 态度决定一切! 新课改来了,就是狼来了？ 正确看待新与旧： 以新带新 以新纳旧 以旧引新 以旧改旧 辨证看待变与常： 突变与渐变 量变与质变 形式变与实质变

3. 第一章集合与函数概念 1.1集合 阅读与思考 集合中元素的个数 1.2函数及其表示 阅读与思考 函数概念的发展历程 1.3函数的基本性质 信息技术应用 用计算机绘制函数图象 实习作业 小结 复习参考题 第二章基本初等函数(I) 2.1指数函数 信息技术应用 借助计算机探究指数函数的性质 2.2对数函数 阅读与思考 对数的发明 探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系 2.3幂函数 小结 复习参考题复习参考题

4. 1.1 集合 （一）《标准》内容和要求的表述 1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。 2．能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述 不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。 3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 4．在具体情境中，了解全集与空集的含义。 5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。 7．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 （二）《大纲》内容和要求的表述 1.理解集合的概念. 2.了解属于的意义 3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合. 4.了解包含、相等关系的意义. 5.了解空集和全集的意义. 6.理解子集、补集、交集、并集的概念. 两者比较 《大纲》:对概念，关注意义的了解、理解，掌握方法；《标准》：对概念都要求“通过具体实例”、“通过丰富实例”、“在具体情境中”“体会”、“了解”、“理解”含义；重视使用Venn图。

5. （三）教学要求 1.基本要求 ①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系、理解集合相等的含义。 ②理解列举法和描述法，能选择自然语言、图形语言、集合语言来表示集合。 ③掌握常用数集的记法。 ④了解空集的含义。 ⑤理解集合与集合之间的“包含”关系，理解子集、真子集的概念， 会写出给定集合的子集、真子集。 ⑥理解两个集合的并集与交集的含义，掌握有关术语和符号，会求两 个简单集合的并集与交集。 ⑦理解全集、补集的含义，会求给定子集的补集。 ⑧理解使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2.发展要求 能使用集合的关系和运算及Venn图来求有限集合中元素的个数。 3.说明 在训练时，要把握好难度(只将集合作为一种语言来学习)，不要求补充 集合运算的性质及证明,如：

6. （四）教学建议 1．课时分配（5课时） 1.1.1集合的含义与表示 约1课时 1.1.2集合间的基本关系 约1课时 1.1.3集合的基本运算 约2课时 小结与复习 约1课时 传统教材课时分配（7课时） 1.1集合 约2课时 1.2子集、全集、补集 约2课时 1.3交集、并集 约2课时 小结与复习 约1课时 2．重点难点 重点：使学生了解集合的含义，理解集合间包含与相等的含义， 理解两个集合的并集与交集的含义，会用集合语言表达数学对象或数 学内容。 难点：合理选用列举法或描述法正确表示一些集合，区别元素与 集合、集合与集合之间的属于、包含的关系，理解并集与交集的区别 与联系，Venn图的意义和应用。

7. 3.分析说明 •应通过具体的实例使学生正确理解集合的含义. •学习语言最好的方法是使用，学习集合语言也不例外. •在集合之间的关系和运算中，使用Venn图是重要和有用的. •要注意集合元素的确定性、互异性、无序性。 •要注意记号的含义,并能正确使用。 •注意描述法、列举法的适用性。 •注意并集、交集的区别，注意子集、真子集的区别。 •体会概括、类比、联想、分类讨论等基本思维方法。 •在安排训练时，要把握分寸，不要搞偏题、怪题。

8. 1.2函数及其表示 （一）《标准》内容和要求的表述 1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数 学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在 刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域 和值域；了解映射的概念。 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表 法、解析法）表示函数。 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 （二）《大纲》内容和要求的表述 了解映射的概念，在此基础上加深对函数概念的理解。 了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单函数的反函数. 比较 降低要求：对映射只仅仅要求了解其概念，不要求用它理解函数的概念； 提高要求：①对函数概念本质的理解；②对分段函数要求能简单应用； 内容处理: 原大纲中先学习映射，再学习函数，而《标准》中先学习特殊的 映射——函数，再学习一般的映射. 删减:互为反函数的函数图象间的关系及求已知函数的反函数。

9. (三)基本要求 ①理解函数的概念，理解构成函数的三要素。 ②掌握区间的表示方法。 ③能根据给定的函数解析式及自变量计算函数值；会求一些简单函数的定 义域、值域。 ④理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的 要求选择恰当的方法表示简单的函数。 ⑤了解简单的分段函数，并能简单应用。 ⑥能用描点法画作一些简单函数的图象。 ⑦了解映射的概念，并能根据映射概念判别出哪些对应关系是映射。 ⑧了解简单的分段函数，能用分段函数来解决一些简单的问题。 发展要求 ①会求一些简单复合函数的值域。 ②若有条件，可用计算机画出函数图象，帮助学生更深刻地理解函数的概念。 说明 函数教学应基于具体的函数，有关抽象函数内容不宜涉及； 函数值域的教学应控制难度，可在今后的教学中进一步深入； 变量代换不宜太难。

10. (四) 教学建议 1.课时分配（4课时） 1.2.1函数的概念 约2课时 1.2.2函数的表示法 约2课时 传统教材课时分配（3课时） 2．重点难点 重点：函数的概念。 难点：函数概念的理解，对简单的分段函数认识，求简单函数的值域。 3.分析说明 .要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质。 .要注意构成函数的要素和相同函数的含义。 .要注意函数的三种表示法的联系、区别与适用性。 .注意分段函数的意义。 .注意映射的概念和判断。 .在求函数定义域、值域时，要控制难度。 .函数的两种定义之比较:宏观与微观。

11. 初中时的函数定义： 设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量． 高中时的函数定义： 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应， 那么就称f：A→B为从集合A到B的一个函数．记作 y=f(x),x∈A 其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应 的y值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)|x∈A} 叫做函数的值域． 讨论: 今天学习的这个函数的近代定义，与初中学习的函数的 传统定义，是否一致？如果是一致的，为什么要换成这样的 概念？两者的变化过程如何 ？

12. 1.3函数的基本性质 （一）《标准》内容和要求的表述 1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小） 值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 （二）《大纲》内容和要求的表述 了解函数单调性的概念,掌握判断一些简单函数单调性的方法. 两者比较 1.对函数的单调性由“了解”提升为“理解”； 2.对运用函数的图象理解和研究函数的性质提出了较高的要求； 3.增加函数的奇偶性，最值提前有了名份.

13. (三)基本要求 ①理解函数的单调性及其几何意义，能根据函数图象求出单调区间、 判断其单调性。 ②会讨论和证明一些简单函数的单调性。 ③理解函数的最大（小）值及其几何意义，能根据函数图象和单调性 求出 一些简单函数的最大（小）值。 ④理解函数奇偶性的含义，会判断简单函数的奇偶性。 ⑤了解奇（偶）函数图象的对称性。 发展要求 能研究某些简单的复合函数及分段函数的奇偶性、单调性、最值和图象。 说明 研究函数性质的例题和训练不宜太难，应局限于具体的函数； 奇（偶）函数的图象对称性在本节教学时不要求证明。 (四)教学建议 1．课时分配（4课时） 1.3.1单调性与最大（小）值 约2课时 1.3.2奇偶性 约1课时 小结与复习 约1课时

14. 2．重点难点 重点:函数的单调性、奇偶性、最值的概念和几何特征。 难点:判断和证明单调性、奇偶性，求一些简单函数的最值。 3．分析说明 .本节概念的教学,均可由具体的函数图象直观引入，再归纳几何特征。 .在“判断和证明”时要体现数学思维的严谨性、逻辑性，并要求规范书写。 .教学中要重视数形结合思想方法的培养。 .要注意函数单调区间与定义域的关系, 奇偶函数定义域的特征。 .学习函数的基本性质重在对概念理解和对一些简单函数的性质讨论。 如“增函数”的教学，以下几点是必须向学生指出的： 1）随着自变量的增大，函数值也增大； 2）数学的上升是“天天向上”,“一个都不能少” 3）如定义域是有限数集，则把有限多个函数值排起来就行； 如果定义域是无限集，情况该怎么办？ 4）“无限多”天的一个都不能少的“天天向上”，意思就是任意选两天 进行比较都得向上；反之亦然。 5）最后得到教学符号表示，对任何的

15. 第二章 基本初等函数(I) 2.1指数函数 (一)课程标准内容 １．通过具体实例，如细胞的分裂，考古中所用14 C的衰减，药物在人体内的残留 量的变化等，了解指数函数模型的实际背景。 ２．理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 ３．理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象， 探索并理解指数函数的单调性与特殊点。 ４．在解决简单实际问题过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 （二）《大纲》内容和要求的表述 理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质。 掌握指数函数的概念、图象和性质。 两者比较 加强了函数模型的背景和应用的要求。 提出了与信息技术整合的要求。

16. (三)基本要求 ①了解指数函数模型的实际背景，认识学习指数函数的必要性； ②理解n次方根与n次根式的概念，理解分数指数幂的含义， 熟练掌握用根式与分数指数幂表示一个正实数的算术根； ③能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简， 会进行根式与分数指数幂的相互转化； ④通过经历用有理指数幂逼近无理指数幂的过程，了解实数指数幂的意义； ⑤理解指数函数的概念和含义； ⑥能用描点法或借助计算机（器）画出指数函数的图象，探索并理解 指数函数的性质（单调性、特殊点、定义域、值域）； 　　⑦在解决简单的实际问题过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型； 发展要求 .会求一类与指数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性等； .了解函数图象的平移与对称变换； .体会数学的逼近、数形结合等思想； .体验数学概念的发生、 发展的过程，培养学生的思维能力。 说 明 .有关根式的复杂运算及繁琐的根式化简不必多练。

17. （四）教学建议 1．课时分配（6课时） 2.1.1引言、指数与指数幂的运算 约3课时 2.1.2指数函数及其性质 约3课时 2．重点难点 重点:指数函数的概念、图象和性质。 难点:对非整数指数幂意义的了解，特别是对无理指数幂意义的了解。 3．分析说明 .用实例说明学习指数函数、对数函数、幂函数以及扩张指数范围的必要性。 .通过复习和举实例理解n次方根及运算性质,培养学生探究精神和感受分类讨论思想。 .通过举实例和练习,理解分数指数幂的意义和学会根式与分数指数幂之间的相互转化。 .建议利用计算器或计算机进行实际操作，亲历有理指数幂向无理指数幂逼近的过程。 .通过实例抽象概括出指数函数的一般形式。 .引导学生多画几个具体的指数函数的图象,再通过观察图象归纳概括指数函数的性质. .例7是用指数函数的单调性比较两个值（幂）的大小:比较下列各题中两个值的大小 （1） 1.72.5 ,1.73（2）0.8-0.1, 0.8-0.2（3）1.70.3 ,0.93.1. .例8的教学应体现从具体到抽象、特殊到一般的思维过程，以及归纳、总结的一般方法: 截止到1999年，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么 经过20年后，我国人口数最多为多少？（精确到亿）

18. 2.2对数函数 （一）《标准》内容和要求的表述 1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化 成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及 其对简化运算的作用。 2．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理 解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助 计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的 单调性和特殊点。 3．知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a>0，且a≠1）。 （二）《大纲》内容和要求的表述 理解对数的概念，掌握对数的运算性质； 掌握对数函数的概念、图象和性质。 两者比较 降低要求：对于反函数只要求知道，不要求形式化的理解其概念， 也不要求求已知函数的反函数。 提高要求：加强了函数模型的背景和应用的要求；

19. (三)基本要求 ①经历由指数得到对数的过程，理解对数的概念，会熟练地进行指数 式与对数式的互化； ②理解对数的运算性质，并能灵活准确地运用对数的运算性质进行对 数式的化简与计算； ③了解对数的换底公式，能将一般对数化成自然对数或常用对数； ④了解对数的发明史以及对数在简化运算中的作用； ⑤理解对数函数的概念； ⑥能用描点法或借助计算机（器）画出对数函数的图象，探索并掌握 对数函数的性质（定义域、值域、特殊点、单调性）； ⑦通过实例，体会对数函数是一类重要的函数模型； ⑧了解指数函数y=ax (a﹥0，a≠1)与对数函数y=logax (a﹥0，a≠1) 是互为反函数。 发展要求 ①能研究一些与对数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性等； ②知道指数函数y=ax(a﹥0，a≠1)与对数函数y=logax (a﹥0，a≠1)的 图象关于直线y=x对称； ③掌握化归、数形结合、类比、分类讨论等数学思想方法。 说 明:不必去讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。

20. (四)教学建议 1．课时分配（6课时） 2.2.1对数与对数运算 约3课时 2.2.2对数函数及其性质 约3课时 2．重点难点 重点：对数函数的概念、图象和性质。 难点：理解对数的概念，以及对数函数性质的归纳。 分析说明 .先通过具体实例，让学生知道研究对数的必要性。 .有关对数恒等式(公式)的教学,可先通过具体实例验证，再作证明. .通过换底公式的应用，让学生再次体会化归思想 .通过例5（地震振幅的计算）、例6（碳14的衰变规律与考古研究）的教学， 使学生感受对数在有关方面的实际应用。 .以生物体内碳14的衰减规律为实际背景，引入对数函数. .可对比指数函数的图象和性质的探索方法，得出对数函数的图象和性质。 .通过例9溶液酸碱度的测量使学生进一步明白对数函数是重要的函数模型。 .不要求学生讨论一般化的反函数定义，也不要求学生求已知函数的反函数。

21. 2.3幂函数 （一）《标准》内容和要求的表述 通过实例，了解幂函数的概念；结合函数： 的图象，了解它们的变化情况。 （二）《大纲》内容和要求的表述 无 两者比较:幂函数减肥后重出江湖 (三)基本要求 ①了解幂函数的概念。 ②掌握以下五种幂函数的图象和性质 发展要求:了解幂函数（为有理数）的图象特征 说 明:不必在一般的幂函数上作引伸和作过多的介绍。

22. 1．课时分配（2课时） 2.3幂函数 约1课时 小结 约1课时 2．重点难点 重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的基本性质。 难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。 3．分析说明 •“幂函数”教学时，只要求掌握 图象和性质。 •在一次函数、二次函数中，有幂函数? • 例1是用定义证明函数 的单调性，教学时，引导学生从感性认识 向理性认识转化。

23. 课 例 介 绍 集合的含义与表示（第1课时）教学基本流程 1.创设情境，从具体实例引入新课 2.给出集合含义，明确有关规定 3.自主学习元系与集合的关系及记号 4.自主学习常用数集及其记号 5.自主学习集合的两种表示 6.课堂练习小结与课后作业 集合的含义与表示（第1课时）教学问题链 1.你能举出一些集合的例子吗? 2.对书中的8个例子,你能概括出它们的共同特征吗? 3.给出集合的含义 4.你能说说集合中元素的特点吗? 5.元素与集合的关系应当如何描述? 6.你知道常用数集的记号吗? 7.你能用列举法表示例1中用自然语言描述的集合吗? 8.你从书本第4页的思考(能用列举法表示x-7<3吗)中想到了什么? 9.你现在能解决书中相关练习吗? 10.小结:为什么学习集合? 选择集合的表示法时应注意些什么? 11课后作业.