Les mathématiques sont partout Jean CEA UNIA 20 Mars 2013

1. Les mathématiques sont partout Jean CEA UNIA 20 Mars 2013

2. Les mathématiques sont partout • L’informatique a conduit à un développement explosif des sciences, plus particulièrement des mathématiques qui sont transverses aux autres sciences et qui constituent un langage universel. • Dès qu’un chercheur veut quantifier quelque chose ou décrire un processus, il va déboucher sur une modélisation mathématique avec simulation, essais, corrections, exploitation... • Les mathématiques peuvent aussi prendre en compte des questions qualitatives via l’analyse de données, les statistiques, les fractales... (sociologie, médecine…)

3. L’humour aussi ! • Citation de J.J. Risler, président SMF, 1997 : • …De plus, pratiquement tous les processus industriels élaborés, comme par exemple la C.A.O.(Conception Assistée par Ordinateur), sont conçus avec une base mathématique. Pour faire image, on peut affirmer que si dans un avion on supprimait toutes les parties dans la conception desquelles sont intervenues les mathématiques, il ne resterait que les membres d’équipage, et encore sans leurs uniformes ou sous-vêtements !

4. Modélisation – Simulation … • « Depuis plusieurs décennies, les applications des mathématiques connaissent un développement exponentiel qui s’apparente à une explosion. Elles sont partout, aidées en cela par les possibilités inouïes de l’informatique. Les mots « modélisation, simulation, analyse, optimisation et contrôle » se sont introduits dans de nombreux domaines de l’activité humaine. »  • La modélisation mathématique est l'art de représenter la réalité physique en des modèles mathématiques accessibles à l'analyse et au calcul. La simulation numérique est le processus qui permet de calculer sur ordinateur des solutions approchées de ces modèles, et donc de simuler la réalité physique. • Ces deux phrases sont extraites du programme de la chaire « Méthode Mathématique et Simulation Numérique » de l’École Polytechnique.

5. Modélisation : un travail multidisciplinaire • Un modèle n'est pas une loi physique qui a fait ses preuves depuis des siècles. Il est le résultat de tâtonnements et d’un travail multidisciplinaire. • Petit à petit, après de nombreuses confrontations entre le monde réel et le monde virtuel (des simulations)le modèle sera validé ! • Les modèles mathématiques servent à effectuer des simulations virtuelles et à éviter des tests réels… coûteux, parfois dangereux ou infaisables ! • Dans un modèle, on traduit souvent en termes mathématiques des lois de conservation, des situations d’équilibre, des variations instantanées… d’où des relations entre les fonctions inconnues qui décrivent un processus.

6. Un exemple de modélisation : le paludisme • Malaria : mauvais air des marais ! • Contagion : Hommes  Moustiques du genre anophèles. • Responsable chez l’homme : un parasite (plasmodium) • Louis Pasteur (1822-1895) : maladies et microbes. • Alphonse Laveran (1880) : le moustique est responsable (Nobel 1908) • Ronald Ross (1897) : le cycle du parasite. (Nobel 1902) • Rendre à César… et à Gauthier Sallet(INRIA) cette présentation du théorème du moustique extraite de son article : « Modélisation Mathématique et Maladies Infectieuses ».

7. Dialectique • A l’époque, les décideurs pensaient que : il y aura toujours des moustiques pour contaminer des hommes, qui contamineront des moustiques... Donc, impossible de débarrasser une région de ses moustiques. Donc, inutile de faire de gros investissements et de mobiliser de la matière grise ! • Ross a montré avec son modèle mathématique ceci : il existe un seuil critique, si le nombre de moustiques passe sous ce seuil, alors le paludisme disparaît de lui-même.

8. Paludisme : un modèle mathématique •  Il y a 2 fonctions inconnues : le nombre h(t) d’hommes infectés et m(t) de moustiques infectés au temps t positif ou nul. • Nous allons étudier les évolutions de ces fonctions entre deux temps, • t et t + t,où t est « petit », positif. • Comment peut varier la fonction h (t ) ? Il y a trois possibilités : • Infection d’un homme sain (+) • Guérison d’un homme infecté (-) • Décès d’un homme infecté (-)

9. Infection d’un homme sain entre t et t • Un homme sain. Piquépar un moustique infectieux. Qui développe la maladie! • On suppose qu’un moustique pique n humains par unité de temps. • Nombre total de piqûres infectieuses : n . m(t) . t • Nombre total de piqûres sur les hommes sains : (1 – h(t) / H) .n . m(t) . t • On suppose que la proportion d’hommes sains, piqués par un moustique infectieux, développe le paludisme est : p (entre 0 et 1) • Nombre total d’infections nouvelles chez les hommes sains entre t et t + t: p . (1 – h(t) / H) . n . m(t) . t

10. Guérisons – Décès (hommes infectés) • On suppose que la proportion de guérisons par unité de temps vaut g, nombre compris entre 0 et 1. • Nombre total d’hommes guéris entre t et t + t: g . h(t) . t • On suppose que la proportion de décès par unité de temps vaut d, nombre compris entre 0 et 1. • Nombre total d’hommes décédés entre t et t + t: d . h(t) . t • Nombre total de guérisons et décès entre t et t + t : ( g + d ) . h(t) . t

11. Bilan : hommes infectés entre t et t+ t • h(t+ t) = h(t) + nouveaux infectés - guéris - décédés • h(t+ t) = h(t) + p . (1 – h(t) / H) . n . m(t) . t - ( g + d ) . h(t) . t ( h(t+ t) - h(t) )/ t = p . (1 - h(t) /H ) . n .m(t) - ( g + d ) . h(t) Variation moyenne, variation instantanée de h (vitesse de variation ) : quand t se rapproche de zéro, on obtient : h= p . (1 – h / H ) . n . m- (g + d ) . h en tout t positif où hdésigne la variation instantanée de h, sa dérivée. a, b, c sont 3 nombres qui dépendent des paramètres du modèle h= a . h + b . m + c . h. mpour tout t positif

12. Un système de 2 équations différentielles • On vient de trouver une relation du type : h= a . h + b . m + c . h. m • On trouverait de même : m= d . h + e . m + f . h. m • a, b, c, d, e, f sont des nombres qui dépendent des paramètres de la modélisation. • On connait les conditions initiales : h(0) et m(0) • Il s’agit d’un système de 2 équations différentielles à 2 fonctions inconnues het m.

13. Différentes phases de la modélisation • Recherche du modèle • Les mathématiciens savent calculer de façon approchée les solutions de ce modèle d’équations. On peut donc connaître l’évolution de h(t) et de m(t). Satisfaction ? • Ajustement des paramètres : souvent les paramètres proposés sont le résultat d’estimations et manquent de précisions. La comparaison entre les valeurs des fonctions calculées (simulées) et des fonctions mesurées (réelles) permettent d’arriver à une « meilleure approximation » des paramètres. Itérations. • Validation • Exploitation

14. Exploitation du modèle : le seuil critique • Question : y a-t-il des cas où h(t) se rapproche de 0 quand t devient grand ? • Ce qui signifie que le paludisme va disparaître. Ross a mis en évidence un nombre R, le seuil critique du type : R = k . M / H où k dépend des paramètres. • Le théorème du moustique (Ronald Ross, 1911) : Si R <= 1 alors h(t) se rapproche de 0 quand t est grand. La condition peut s’écrire : k. M / H <= 1 ou M <= (1/k) . H  Politique de santé publique : réduire le nombre M de moustiques, pour que le paludisme disparaisse. Assainissements !

15. Images et sons Compressions

16. Mémoires… informatiques ! • 1 bit = une position 0 ou 1 (Binary digIT). Avec un bit, on peut repérer 2 nombres : 0 et 1. (en base 2, on a besoin de 2 signes pour écrire un nombre) • 1 octet = 8 bits, on peut repérer 28 nombres, soit 256 nombres notés de 0 à 255. Ex avec 1 bit : (0), (1). 2 bits : (0,0), (0,1), (1,0), (1,1). Doublement ! • 1 Ko : pour les informaticiens 1 Ko vaut 1024 (=210) octets, pour les autres 1Ko vaut 1000 octets ! • Et ainsi de suite : 1 o, 1 Ko, 1 Mo, 1 Go, 1 To, 1 Po, 1 Eo… (Kilo, Méga, Giga, Téra, Péta, Exa…)

17. Une image de loin, de près Un grossissement de 8 fois fait apparaître des petits carreaux colorés ! IMAGE INFORMATIQUE : un carrelagerectangulaire, chaquecarreauayantsaproprecouleur. Un carreauestappelé un PIXEL. La couleur de cecarreauestrepérée par un ouplusieursnombres (noir et blancoucouleurs). IMAGES ET FONCTIONS.

18. Images - stockage • COULEURS : • 256 niveaux de gris ( stockés sur 1 octet, noir = 0 et blanc = 255. • 16 millions de couleurs à partir de R, V, B. Chaque couleur est stockée sur 1 octet, donc 3 octets au total, soit 28 X 28 X 28, soit 224, soit 16.777.216 possibilités. • (Imprimerie, 4 couleurs : Cyan, Magenta, Jaune, Noir) • STOCKAGE : • Une image de 512 x 512 pixels en noir et blanc : 512 x 512 x 1 octet = 262.144 octets  division par 1024 265 Ko 0,258 Mo • Une image de 1600 x 1200 pixels en 16 millions de couleurs : 1600 x 1200 x 3 octets = 5.760.000 octets  5625 KO  5,49 Mo • Vidéo ! • FONCTIONS : une image  1 ou 3 fonctions

19. Représentations des fonctions Fourier - Ondelettes • Joseph Fourier (1768-1830) a réussi à exprimer certaines fonctions périodiques comme une somme infinie de fonctions élémentaires du type cosinus ou sinus. Cette méthode a été utilisée pendant les deux derniers siècles. • Actuellement, une nouvelle technique dite des « ondelettes » est souvent mise à contribution pour approcher des fonctions assez irrégulières (sons, images…). Les fonctions élémentaires utilisées sont mieux adaptées au type de fonction à repérer.

20. Ondelettes • Les précurseurs : Alfred Haar(1909), Jean Morlet(géophysicien, 1975), Alexandre Grossmann(physicien), Stéphane Mallat(mathématicien)… • Histoire, hasard, photocopieuse X, ondelettes • La théorie mathématique : Yves Meyer, 2005. Prix Gauss 2010. • Utilisation : compression des images, des sons (JPG, JEPG, JEPG2000, MP3, MP4, MP5, MPEG…) • Google : Wavelet8 220 000 pages (19/03/2013)

21. 1 image  2 images  4 images Les nombres 0, 1, 2… 9 servent à repérer des emplacements. Ces cases contiennent chacune un nombre : niveau de gris, niveau de rouge, de vert, de bleu. D’abord, moyennes et écarts sur une ligne. Ensuite, moyennes et écarts sur une colonne. La transformation est réversible. Méthode de Haar 1909

22. 1 image  2 images  4 images… Réitération du processus !!! Merci à Wikipédia.

23. La photo modèle : LENA Décomposition jusqu’au niveau 3 Référence : http://www.math.uiowa.edu/~jorgen/Haar.html

24. Compressions • La moyenne va lisser la photo, les écarts marquent des différences entre des points voisins. Ces écarts vont être de + en + petits. On peut choisir un seuil et supprimer les écarts au-dessous de ce seuil (mise à 0). On réalise une économie de nombres à stocker : c’est une compression. • On peut modifier la méthode « Moyenne - Ecart » en introduisant des « opérateurs » plus généraux. • On peut appliquer ce genre de méthode au cas des fonctions continues. • Il existe aujourd’hui une grande variété de standards ou méthodes de compressions :JPEG, JPEG2000, GIF, TIFF… MP3, MP4…

25. Puissance de la compression • http://www.academia.edu/1006873/Wavelet_compression_and_decompression_algorithm Lena (original) Lena, suppression de 75 % des détails Lena, suppression de 98 % des détails

26. Taux de compressions • Le taux de compression est égal au rapport « Taille originale / taille compressée »,on le note « n : 1 » • Exemples : • Radio des poumons : on va jusqu’à 60 : 1 avec JPEG 2000 • Images ordinaires : acceptables jusqu’à 20 : 1 • Empreintes digitales : 15 : 1

27. Hôpital de Caen Christine CAVARO-MENARD, François GOUPIL, Benoît DENIZOT, Jean-Yves TANGUY,Jean-Jacques LE JEUNE, Christine CARON-POITREAU • Etudes en double aveugle selon un protocole rigoureux sur les compressions acceptables des radiographies thoraciques (base de la norme JPEG2000). • 3 radiologues, 11 critères, deux populations de 20 patients. • Résultats : untaux de compression acceptable à 20:1 pour les radiographies normales et 60:1 pour les images pathologiques. • L’interprétation rigoureuse d’une radiographie thoracique nécessitant la conservation des structures anatomiques, le taux de 20:1 apparaît être la limite acceptable en pratique clinique.

28. Haute performance • Automobiles • Avions • Maillages • Coupe America • Top 500

29. Automobiles et mathématiques • La simulation numérique est omniprésente : • Combustion dans le moteur, • Température et ventilation, • Acoustique, • Gestion des compatibilités électromagnétiques (le câblage complet d’une voiture peut exiger jusqu’à dix kilomètres de fils électriques, le courant électrique induit des phénomènes électromagnétiques qu’il faut gérer), • Suspension, • Echappement, • Tests de sécurité (réaction en cas de choc, protection des passagers). • Exemple proposé par Pierre-Louis Lions, Médaille Fields, Professeur au Collège de France. Colloque Maths à venir, 2009

30. Avions • Un objet très lourd capable de voler, de se maintenir à l’horizontale, de monter, de descendre, c’est miraculeux ! • Un avion est soumis à 2 forces : la gravité qui le tire vers le sol, la propulsion qui le ferait partir telle une fusée. • Le génie de l’homme a trouvé une autre force : « La Portance », astucieusement créée par une dépression entre les 2 côtés des ailes, qui pousse l’avion vers le haut et neutralise donc la gravité ! • Accessoirement, il s’est créé une 4ème force, « La Traînée ». C’est la résistance à l’avancement : elle s’oppose au mouvement de l’avion.

31. Equations de Navier-Stokes • L’écoulement de l’air autour de l’avion a fait l’objet de nombreuses études, tant du point de vue global qu’au niveau microscopique. • Bien des composants sont liés : vitesse des particules d’air (u, v, w), pression p, masse volumique r, viscosité , en tout point de l’espace-temps t, x, y, z • Les équations de Navier-Stokes datent du XIXe siècle. Elles précisent les liens entre ces 6 fonctions. • Equations non résolubles explicitement (Millenium) • On construit des approximations des solutions.

32. Passage du continu au discret • Autour de l’avion, il y a une infinité de points, une infinité d’inconnues… C’est ingérable ! • On se limite à un nombre fini de points, et on essaie de « traduire » les équations en ces points. • La base d’une méthode très utilisée est la « Triangulation » : on partage l’espace extérieur en petits tétraèdres (des pyramides) de côtés variables. La triangulation se poursuit jusqu’à la surface de l’avion ! • On écrit la contribution de chaque tétraèdre aux équations générales. (Eléments finis)

33. Maillage Boeing-747 Crédits à : Houman BOROUCHAKI et Pascal J. FREY

34. Maillage du Falcon-7X de Dassault Aviation L’étude du Falcon 7X a conduit à la résolution de 140 millions d’équations à 140 millions d’inconnues. L’ordinateur était le Tera-10 qui faisait en 2006 52.8 teraflops, soit 52.800 milliards d’opérations à la seconde. Ref : La Recherche, Mai 2007, N° 408, on pourra consulter le site : http://leat.unice.fr/pages/actualites/actualites09/HPC_2007-fr.pdf

35. La coupe de l’America • Une des plus vieilles régates du monde. L’idée d’une compétition, plus ou moins périodique, se finalise en 1870. • Le vainqueur de l’année précédente est le « Defender». Une compétition entre les autres candidats désigne le « Challenger » qui sera opposé au Defender. • La compétition finale donne lieu à une explication entre deux bateaux, de caractéristiques assez voisines pour éviter des classements par catégories et des handicaps… • La compétition se déroule en plusieurs manches dont le nombre a évolué, passant progressivement de 1 à 9.

36. 1983 • Les Américains ont raflé la mise puisqu’ils ont triomphé de 1870 jusqu’en 1983. • Cette année là, un coup de tonnerre a ébranlé le monde nautique : « La Coupe de l ’ America » met les voiles (hum !) vers l ’ Australie ! • L ’ Australie venait d’acquérir une avance technologique sur la conception des voiles du bateau. • Ensuite, elle va changer de mains entre les États-Unis, la Nouvelle Zélande et un pays qui n’a pas d’accès direct à la mer mais qui dispose d’un grand lac : la Suisse, victorieuse en 2003 et 2007. X Lausanne.

37. Une avance technologique • Quand le vent souffle, il exerce une pression sur toute la surface de chaque voile. La résultante de ces pressions est la force extérieure qui fait avancer le voilier. • Cependant, des forces invisibles ont tendance à étirer le tissu des voiles, risquant même de les déchirer. Il s'agit de forces internes appelées « contraintes ». • En chaque point de la voile, il y a deux directions orthogonales telles que, dans une direction la contrainte est maximum et dans l’autre elle est minimum. • Les mathématiciens savent calculer ces contraintes. • Il existe un « quadrillage virtuel » de la voile : en chaque point, deux lignes se croisent orthogonalement. Sur les points d’une ligne, les contraintes sont maximales, sur les points des l’autre lignes elles sont minimales.

38. Une nouveauté dans les voiles • Les Australiens ont réalisé la superposition des deux réseaux : tissage et contraintes. La force extérieure devient alors plus importante. • Le tissage suit ces fameuses lignes de contraintes, et de plus, la qualité et la robustesse des fils utilisés dépendent de l’intensité des contraintes. • En 1983, les Australiens avaient ainsi pris une avance confortable sur leurs concurrents. Mais cette avance n’a pas duré longtemps, car les techniciens du monde de la voile ont vite compris la raison du succès du challenger. Dans les compétitions suivantes, tous les tissages de voiles suivaient les lignes de contraintes ! Depuis, la technique a encore progressé.

39. Luna Rossa • Le voilier italien Luna Rossa a été battu dans la compétition pour sélectionner le challenger. • Sous la houlette de Ignazio Maria Viola, une équipe de chercheurs s’est attaquée à la modélisation et à la simulation numérique des écoulements hydrodynamiques et aérodynamiques autour du voilier. L’idée étant de dessiner un voilier « optimal » • Ce travail a mobilisé énormément de compétences et de matériel. • http://anss.client.shareholder.com/releasedetail.cfm?ReleaseID=390680 • http://www.ansys.com/special/news-images/2008/billion-cell-11-17-imagesheet-08.htm

40. Un record • C’est à cette occasion que la simulation a atteint des sommets : des systèmes d’un milliard d’équations à un milliard d’inconnues. C’est la société Ansys qui a fourni l’ensemble des logiciels. La puissance de calcul des ordinateurs a atteint les 22 teraflops(22 mille milliards d’opérations à la seconde). • Il a fallu plus d’une semaine de calculs pour obtenir les résultats attendus !!!

41. Le vainqueur : l’homme ! • Malgré la haute technologie, le voilier Luna Rossa a été battu. • La force est restée à l’intelligence de course de l’équipage et du skipper. • C’est réconfortant, le rôle de l’homme reste primordial !

42. TOP 500 - Novembre 2012 Pour mémoire : 1 Giga = 109 1 Téra = 1012 1 Péta = 1015 1 Exa = 1018 Flops : opérations à virgule flottante par seconde

43. Conception optimale de forme

44. Conception optimale de forme (I) Problème posé par des physiciens en 1972-73 : Armoire A. Fil électrique F, champ électromagnétique D contient des appareils sensibles, perturbés par le champ. On place 1Kg de matière isolante dans une zone appelée Ω Question : comment choisir Ω pour que « la » mesure du champ soit minimum dans la zone D ? Dispositif simple équivalent à un blindage magnétique

45. Conception optimale de forme (II) • Géométrie : le domaineΩ, notre isolant, nous pouvons changer sa forme, le contrôler. Il est éventuellement plongé dans un ensemble plus vaste. • Une équation d’état permet de définir une fonction d’état(ici le champ électromagnétique) • Une autre fonction intervient : la fonction coût J qui dépend en dernier ressort de Ω. Dans notre exemple, c’est une quantité qui « mesure » le champ dans la zone D en fonction du choix de la forme Ω. • Nous cherchons à trouver un « meilleur » Ω afin que J soit minimum. On se contente souvent d’améliorer un Ω initial • Google : « Shape optimal design » : 2010  30.200 pages, 19 Mars 2013  7.780.000 pages

46. Optimisation de forme en magnétostatiqueAntoine Henrot et Gregory Villemin Un aimant 0est placé devant une roue dentée. L’aimant peut faire face à une dent  « T » ou à un trou « H ». Le champ magnétostatique est dénommé par T ou par H selon le cas. S est une sonde capable de mesurer les champs. Nous voulons maximiser l’écart entre les valeurs du signal magnétique T et H dans l’emplacement « S » . Pourquoi ? Les mesures de la sonde seront plus précises et elle pourra envoyer un signal de commande pour une certaine action (principe du robot : observation , analyse, action) : injection de carburant dans un moteur, action sur un essuie-glace… Comment maximiser cet écart ?  En choisissant au mieux la FORMEde l’aimant 0. Ce dispositif électronique remplace un système mécanique. Beaucoup de mathématiques derrière cet exemple simple à formuler.

47. On modifie une forme initiale pour arriver à une « meilleure » forme Cet aimant peut avoir différentes formes dans les voitures, l'encoche et le cylindre étant deux formes possibles qu'on rencontre dans la pratique, Encoche Cylindre

48. Nouveaux casques de moto • Sillage : (Marine) trace que laisse un bâtiment lorsqu’il navigue. • « Dans certains cas, un sillage turbulent derrière un mobile entraîne une résistance, ou force de traînée, moins importante qu’un sillage laminaire (non turbulent). C’est pourquoi le profil des casques de moto modernes comporte des creux, qui rendent turbulent l’écoulement de l’air en aval du casque. » • Laure Saint-Laurent, Thomas Sonar, Turbulences sur les équations des fluides.

49. Optimisation d’une forme en mécanique • On va appliquer une force au centre d’un cube. La dimension de la base est fixée, ainsi que la hauteur. • Parmi les structures rigides qui supportent la force, nous en cherchons une qui aurait son volume (donc son poids) réduit. La base n’est pas fixée au sol, on peut la déplacer. • Par exemple, réduction à 1% du volume initial… si cette structure existe !!!

50. Résultats Nous modifions de proche en proche la structure, en orientant nos modifications par ce que nous avons appelé le gradient topologique. Notons la formation de trous par rapport à la formation initiale. Notons que les pieds ne sont pas fixés au sol, sinon la forme aurait été différente. Résultats au bout de 8, 28, 37, 50 itérations. Les volumes représentent respectivement 50%, 7%, 3% et finalement 1% du volume initial. Référence : « The Shape and topologicaloptimizationsconnection Jean Céa, Stéphane Garreau, Philippe Guillaume, Mohamed Masmoudi ». December 7, 1998. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 188 (2000), no. 4, 713-726.