Regressão

1. Regressão Pontos mais importantes: -objectivo -regressão linear -distribuição dos estimadores, limites de confiança para os coeficientes -limite de confiança para o valor previsto -coeficiente de correlação amostral -analise dos erros -transformação para um modelo linear -regressão polinomial -regressão linear múltipla 1

2. Objectivo da regressão Uma tarefa frequente é determinar a relação matemática entre as variáveis de interesse: sistema {x} {y} {y}=f{x} f{x}=? e.g. -escoamento horizontal numa conduta: -desactivação dos microorganismos: -temperatura num cilindro (condução): -log(TR-T(t))= -(1/fh)t-log(jh(TR-T0)) 2

3. Modelos matemáticos experiência Determinação dos parâmetros (e.g. propriedades físicas) previsão 1) estimação dos parâmetros dos modelos matemáticos Objectivo da regressão: 2) verificar se o modelo é adequado Condição: os dados são sujeitos a erros (aleatórios). 3

4. regressão f(x)=ax+b a=? f(x) b=? x 4

5. Regressão linear Seja Y uma função de x1, x2,..., xr variáveis independentes. A relação entre eles segue um modelo linear (múltiplo) quando a variável dependente (Y) pode ser escrita: Onde: -bi (i=0, 1,..., r) são os coeficientes de regressão -”e” representa o erro aleatório com N(0,s2) O caso mais simples é quando temos só uma variável independente: 5

6. Suponha, que temos n conjuntos de pontos (xi,yi), i=1,2,...,n. Agora sejam: -A estimador de a -B estimador de b Assim: estimador de Y Escolhemos A e B tal que a soma dos quadrados dos resíduos, seja mínimo. 6

7. Para encontrar o mínimo da SSR, temos, 1) ou 2) Aplicando, temos da primeira equação, 7

8. Substituindo o resultado na segunda equação: 8

9. Distribuição dos estimadores, limites de confiança para os coeficientes de regressão Para determinar a distribuição A e B, vamos supor que, B pode ser escrito, onde fi e x são constantes. 9

10. Porque Y tem uma distribuição normal, B também tem com N(mB,s2B). A variância de B sem prova, 10

11. Da mesma forma podemos ver que A também segue uma distribuição normal com os seguintes parâmetros: A variância de A sem prova, 11

12. Assim, A e B são v.a. normais: , Antes de determinar os intervalos de confiança para os parâmetros de regressão, vamos definir: 12

13. Para determinar os intervalos de confiança para b, temos que ter uma estimativa da s2 (desconhecida). Mas como, assim a distribuição O intervalo de confiança (com nível de conf. 1-a) é dada pela: 13

14. Pela a mesma razão, a distribuição, Assim o intervalo de confiança (com nível de conf. 1-a) é dada pela: 14

15. a Coefficients Standardi zed Unstandardized Coefficien Coefficients ts 95% Confidence Interval for Model B Std. Error Beta t Sig. Lower Bound Upper Bound 1 A -26.650 7.464 -3.570 .007 -43.863 -9.438 B .889 .050 .987 17.612 .000 .773 1.006 a. Dependent Variable: Y 15

16. Limites de confiança para o valor previsto Para fazer uma previsão de Y para um dado valor de x0, talvez a melhor opção seja: Geralmente, temos mais interesse em definir um intervalo onde Y ocorre com um dado grau de confiança. Sem prova, 16

17. 95% intervalo de confiança Y x O intervalo de confiança para Y é dado por, 17

18. Coeficiente de correlação amostral, R No caso de duas v.a.s X e Y, a dependência linear entre eles é dada pela: A estimativa de Assim 18

19. |R| alto (1) significa uma forte dependência linear entre Y e x 19

20. Analise dos erros O modelo linear de forma, é um modelo adequado para descrever a relação entre Y~x se, 1) b0 (R é alto) 2) e tem IIDN(0,s2) A avaliação do segundo termo é através de visualização dos resíduos com alguns gráficos diagnósticos e o cálculo de coeficientes de auto-correlação 20

21. - resíduos vs. Y: 21

22. -resíduos sobre uma curva de distribuição normal: 22

23. -resíduos vs. x 23

24. Coeficiente de auto-correlação de “lag” k. 24

25. Transformação para um modelo linear Muitas as vezes a relação entre duas variáveis, não pode ser escrita com uma função linear. E.g. cinética de degradação: Tirando o logaritmo Assim escolhendo: temos um problema de regressão linear 25

26. -exemplo 26

27. x ln Y ln 27

28. Regressão polinomial Modelo Para estimar os coeficientes desta equação, temos que minimizar, igualando as respectivas derivadas de esta função a zero. O resultado é um sistema de equações lineares. A maior parte dos softwares oferecem a opção regressão polinomial. - [A] é uma função de xi [A]{B}={f} - {f} é uma função de xi e Yi. 28

29. -exemplo 29

30. Regressão linear múltipla Modelo: Para estimar os coeficientes da equação, temos que minimizar, O resultado é um sistema de equações com r+1 incógnitas de forma: 30

31. R=1 31