第4课时三角函数的单调性、奇偶性、周期性

第4课时三角函数的单调性、奇偶性、周期性 • 要点·疑点·考点 • 课前热身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 • 误解分析

要点·疑点·考点 1.单调性 (1)y=sinx的单调增区间是[2kπ-π/2，2kπ+π/2](k∈Z)，减区间是[2kπ+π/2，2kπ+3π/2](k∈Z) (2)y=cosx的单调增区间是[2kπ+π，2kπ+2π](k∈Z)，减区间是[2kπ，2kπ+π](k∈Z) (3)y=tanx的单调增区间是(kπ-π/2，kπ+π/2)(k∈Z) 2.奇偶性 y=sinx,y=cosx,y=tanx在各自定义域上分别是奇函数、偶函数、奇函数.

3.周期性 (1)定义对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，则y=f(x)叫周期函数，T叫这个函数的周期 (2)所有周期中的最小正数叫最小正周期 (3)y＝sinx,y=cosx的最小正周期T=2π； y=tanx,y=cotx的最小正周期T=π (4) y=Asin(ωx+φ)+k的周期为T=2π/ω(ω＞0) y=Atan(ωx+φ)+k的周期为T=π/ω(ω＞0) 返回

课前热身 1.下列函数中，在区间(0,π/2)上为增函数且以π为周期的是( ) (A)y=sin(x/2) (B)y=sin2x (C)y=-tanx (D)y=-cos2x 2.将函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)的图像向左平移2个单位，图像关于原点对称，那么一定有( ) (A)f(x+2)是奇函数 (B)f(x+2)是偶函数 (C)f(x-2)是奇函数 (D)f(x-2)是偶函数 3.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4，当f(2001)=5时，f(2002)=( ) (A)1 (B)3 (C)5 (D)7 D A B

D 4.函数y=2sin2x+sin2x是( ) (A)以2π为周期的奇函数 (B)以2π为周期的非奇非偶函数 (C)以π为周期的奇函数 (D)以π为周期的非奇非偶函数 5.下列命题中正确的是( ) (A)若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ (B)函数y=sinx·cotx的单调递增区间是(2kπ-π/2，2kπ+ π/2)，k∈Z (C)函数y=(1-cos2x)/sin2x的最小正周期是2π (D)函数y=sinxcos2φ-cosxsin2φ的图象关于y轴对称，则 φ=kπ/2+π/4，k∈Z D 返回

1.判断下列函数的奇偶性： 能力·思维·方法【解题回顾】判断函数的奇偶性时，有些学生往往只注意：f(-x)=-f(x)，或f(-x)=f(x).而不考虑该函数定义域是否关于原点对称，这是造成解题错误的重要原因.

2.判断下列函数是否为周期函数；若是，判断其是否存在最小正周期，若存在，求出它的最小正周期： 【解题回顾】若三角函数y=f(x)的最小正周期为T，则f(ωx+φ)的最小正周期就是T|ω|；另外，周期函数的图像必然呈现一种“周而复始”的规律特征，反之亦然，所以判断函数的周期性的一个有效方法是作图

3.已知函数 (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的单调区间； (3)求f(x)图象的对称轴，对称中心【解题回顾】将函数y=f(x)化成y=Asin(ωx+φ)的形式(即单一形式)，才能研究其图象及性质.

4.已知函数f(x)=log(1/2)(sinx-cosx)， (1)求它的定义域和值域； (2)求它的单调区间； (3)判定它的奇偶性； (4)判定它的周期性，若是周期函数，求出它的最小正周期【解题回顾】函数的单调性，必须在它的定义域内讨论复合函数的增减性，可按增减为减、增增为增、减减为增的法则判断．返回

延伸·拓展 5.设f(x)是(-∞，+∞)上的函数，且f(x+2)=-f(x)对任意x∈R成立．若x∈[-1，1]时，f(x)=x3； ①求x∈[1，5]时，f(x)的解析式； ②求f(-5)的值【解题回顾】若要求求出x∈R时，f(x)的解析式，又该怎样做? 返回

误解分析 1.判断三角函数的奇偶性，若不先关注定义域是否关于原点对称，常常会得出错误的结论 2.对于形如y=2sin(π/3-2x)的单调区间，常因为没有注意到x的系数为负，从而得出相反的结论 3.对于函数y=Asin(ωx+φ)的周期，如果说是2π/ω，则没有考虑ω的正负返回

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