一、第一型曲面积分的概念 二、第一型曲面积分的计算 - PowerPoint PPT Presentation

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一、第一型曲面积分的概念 二、第一型曲面积分的计算

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  1. §1 第一型曲面积分 一、第一型曲面积分的概念 二、第一型曲面积分的计算

  2. 一、第一型曲面积分的概念 设曲面形物体 S具有连续的面密度函数 求其质量 M. 类似第一型曲线积分、二重积分、三重积分的思想, 采用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法,可得

  3. 定义1设 S为可求面积的曲面, 为定义在 S上的函数. 对曲面 S作分割 T,将 S分成 n个小曲面块 Si ( i = 1, 2, . . . , n ) ,Si的面积记为 在 Si任取一点 若极限 存在,则称此极限为 f ( x,y, z ) 在 S上的第一型 曲面积分,记作

  4. 于是, 曲面形物体 S的质量为 第一型曲面积分与第一型曲线积分、重积分的性质 类似,例如

  5. 二、第一型曲面积分的计算 定理22.1设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 S上连续, 则

  6. 证明: 由定义知

  7. (光滑)

  8. 说明: 1) 如果曲面方程为 则有公式: 如果曲面方程为 则有公式:

  9. 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分.

  10. 例1.计算曲面积分 其中S是球面 被平面 截出的顶部. 解

  11. 例 计算曲面积分 其中 S为立体 的边界曲面. 解 设

  12. 所以

  13. 例. 计算 解: 取球面坐标系, 则

  14. 之间的圆柱面 例. 计算 其中 是介于平面 分析:若将曲面分为前后(或左右) 则计算较繁. 两片, 解:取曲面面积元素 则

  15. 内容小结 1. 定义: 2. 计算: 设 则