ÁRAMLÓ FOLYADÉKOK EGYENSÚLYA

1. Statikus Ft Dinamikus ÁRAMLÓ FOLYADÉKOK EGYENSÚLYA Tehetetlenségi erő : Áramló folyadékelemekre is érvényes NEWTON II. axiómája . Tehetetlenségi erő általános megfogalmazása:

2. ha Kérdés: a tehetetlenségi erő dm=0 m = 1 = állandó esetben a fajlagos tehetetlenségi erő fF = a

3. Egyszerűsítés: csak egyméretű áramlást vizsgálunk ahol a tömeg: z y vx x z y x triéder s=mozgás pályája Gyorsulás: -időbeli un. lokális -áramlásos un. konvektív

4. HELYI /LOKÁLIS/ SEBESSÉGVÁLTOZÁS (gyorsulás) vx  vx t t

5. vx  vx x KONVEKTÍV ún. ÁRAMLÁSOS GYORSULÁS(az áramlás irányának megváltozásából) x

6. Útváltozás szerinti differenciál hányados Kis x-nél

7. Differenciális tömegtranszport egyenlet (anyagtranszport m=1) (egyszerűsített alak)

8. Tehetetlenségi erő: X irányban: Vektortérben vx sebesség y,z irányú változásával is foglalkozni kell, így a vx sebesség teljes változása: Matematikai szimbólumokkal felírva: ahol

9. vy sebességváltozása komponensekkel vz sebességváltozása

10. derivált tenzor mátrixa x,y,z koordináta rendszerben Derivált tenzorral kifejezve Teljes differenciális transzport egyenlet azaz a gyorsulásvektor.

11. A konvektív gyorsulás mátrix alakja: Tehetetlenségi erő:

12. ERŐTÉRBŐL SZÁRMAZÓ ERŐ: Tömegegységre ható térerő x,y,z irányban: m tömegre ható erő

13. Vektoriális alak Térerősség vektor

14. z g x x g z Gravitációs erőtérben ha: ha:

15. Nyomáskülönbségből származó erő: z Nyomásváltozás x irányba nő y x z y x

16. p p  Kis x esetén igaz, hogy x x

17. A nyomásból származó erő a nyomásnövekedés irányával ellentétesen hat -munkát kell befektetni a legyőzéséhez. Erővektor

18. Súrlódásból származó erő:(Csak valóságos folyadékoknál) Ismert: A valóságos folyadékok rétegei között az áramlás irányára merőlegesen változó csúsztató feszültség jön létre, mely a rétegek sebessége változásaként jelenik meg.

20. z y x-y sík z x y x vx

21.  y Kis y     +   y y x vx Csúsztató feszültség változása áramlásra merőlegesen esetén

22. A csúsztató feszültség y irányú változása súrlódó erőt ad z Newton súrlódási törvénye alapján y x-y sík z x y x vx

23. Általánosítva a vx sebességváltozásából adódó súrlódó erő: Az y és z irányú sebességek változásából adódó súrlódó erők: Vektortérben Laplace-operátorral kifejezve:

24. A Laplace - operátor kifejezhető a nabla vektor saját magával való skaláris szorzatával Nabla- vagy differenciál- vagy Hamilton-operátor Laplace - operátor

25. Erők egyensúlya: Vektortérben Komponensekkel kifejezve x irányban

26. y irányban z irányban

27. A továbbiakban az x irányú erőket vizsgáljuk. egységtömeg esetén az x irányú egyensúlyi egyenlet mindkét oldalát osztjuk -val. Navier-Stokes-egyenlet inkompresszibilis súrlódásos közegekre (x koordináta irányában)

28. y és z irányban : y… z… Megjegyzés: A differenciálegyenlet a súrlódásos tag miatt másodrendű , így analitikai megoldást csak egyszerűbb esetekben kapunk. Vizsgáljuk meg néhány egyszerűbb esetet.

29. Hidrosztatika(nyugvó folyadékok egyensúlya) feltétel: vx=0 ; vy=0 ; vz=0

30. Eredmény: x irányban A tér másik két irányában:

31. p1=p0 g z 1 z1=z1-z2=z z2=0 2 1.Nyugvó folyadékok egyensúlya nehézségi erőtérben. irányával ellentétes koordinátarend- szerben 1.1.

32. p1=p0 g z 1 z1=z1-z2=z z2=0 2 p1=p0 z2=0

33. p1=p0 g z 1 z1=z1-z2=z z2=0 2 z  p p0 p2

34. 1.2. irányával azonos koordinátarend- szerben p1=p0 z1=0 1 z2-z1=z2= z 2 g z

35. p1=p0 1 z1=0 2 g z z2-z1=z2= z p1=p0 z1=0

36. p1=p0 p 1 z1=0  z2-z1=z2= z 2 p0 g p2 z

37. 1.3. Nem keveredő eltérő sűrűségű folyadékok esetén. p1=p0 p z1=0 1 1 z1 z2 2 2 z3 z2 p0 3 p1 p2 p3 z z 2> 1

38. pk p1=p0 jobb oldali ág bal oldali ág p2=pk z1=0 p 1 z1 z2 g 2 z3 z2 p0 pk p1 p2 p2 3 p3 z z z 1.4. U-csöves manométer

39. pk p1=p0 p1=p2=pk z1=0 1 z1 z2 2 z3 z2 3 z Jobb oldali ág:

40. pk p1=p0 Baloldali ág: p1=p2=pk z1=0 1 z1 z2 2 z3 z2 3 z Összevetve: !Tanulság: Elegendő az azonos nyomású (potenciálú) pontoknál az egyensúly vizsgálata.