Download
1 / 19
190 likes | 578 Views
Sveiflur. Eðlisfræði 1 V/R 17. fyrirlestralota 14. kafli í Fylgikveri, 15. í Benson. 15. Sveiflur: Yfirlit. B. 304. Einkennisstærðir í einföldum hreinum sveiflum (EHS): sveiflutími, sveifluvídd, tíðni, horntíðni og upphafsfasi Í EHS er sveiflutími óháður sveifluvídd og hún er fasti
E N D
Sveiflur Eðlisfræði 1 V/R 17. fyrirlestralota 14. kafli í Fylgikveri, 15. í Benson
15. Sveiflur: Yfirlit B. 304 • Einkennisstærðir í einföldum hreinum sveiflum (EHS): sveiflutími, sveifluvídd, tíðni, horntíðni og upphafsfasi • Í EHS er sveiflutími óháður sveifluvídd og hún er fasti • EHS kemur fram þegar krafturinn er F = - kx • K og U breytast eftir tíma og stað en summan er föst • Einfaldur pendúll, raunpendúll og snúningspendúll. • Deyfðar sveiflur, t.d. ef við bætist F = - l v • Þrenns konar tilvik, eftir styrk deyfingar • Þvingaðar sveiflur: Ytri kraftur sem sveiflast • Hermur eru mikilv. fyrirbæri sem kemur víða við sögu
Almenn lýsing á EHS • F. 56, B. 305 • Einföld, hrein sveifla (EHS): x = A sin(wt + d) • x er færslan frá jafnvægisstöðu á hverjum tíma, A er sveifluvídd, w er horntíðni, wt + d er fasi og d er upphafsfasi (= 0 á myndinni)
Fleira um EHS F. 55, B. 305 x = A sin(wt + d) • Út frá samlagningarreglum hornafræðinnar fæst að einnig má lýsa EHS með x = A1 cos wt + A2 sin wt • Þegarwt hefur vaxið um 2p, endurtekur sveiflan sig. Tíminn T nefnist sveiflutími og fjöldi sveiflna á sekúndu (f eða n) er tíðni: T = 2p/w, f = n = 1/T = w/2p
Hraði og hröðun í EHS F. 55-56, B. 306 x = A sin(wt + d) • Við fáum hraða og hröðun með diffrun: v = dx/dt = wA cos(wt + d) a = dv/dt = - w2A sin(wt + d) • Með samanburði fæst diffurjafnan um EHS: d2x/dt2 = - w2x
EHS: Þrjú meginatriði B. 306 x = A sin(wt + d) • Sveifluvíddin A er fasti • Fallið er sin eða cos (“harmónískt”) • Sveiflutíminn T, og þar með horntíðnin wog tíðnin f eða n, eru óháð sveifluvíddinni (lotufesta, isochronism)
Massi í gormi F. 56, B. 307-309 • Þegar massinn m er fastur í gormi með kraftstuðli k, gildir lögmál Hookes: F = - k x • Annað lögmál Newtons gefur þá: m d2x/dt2 = - kx d2x/dt2 + (k/m)x = 0 • Þetta er á kunnuglegu formi, þurfum bara að setja w2 = k/m, w = Ö(k/m), T = 2pÖ(m/k)
Dæmi um massa í gormi • Hér gildir: x = A coswt v = dx/dt = -wA sinwt a = dv/dt = - w2A coswt • Notið þetta til að finna v og a þegar x = A/2: • coswt = ½, wt = 60o, v = -wA Ö3/2, a = - ½ w2A • (Myndin er rangt teiknuð fyrir x = 0)
Orkumálin í hreinum sveifli F. 56-67, B. 309-310 • Höfum skv. skilgreiningum E = K + U = ½ m v2 + ½ k x2 = ½ (mw2A2 cos2(wt + d) + kA2 sin2(wt + d)) = ½ kA2(cos2(wt + d) + sin2(wt + d)) E = ½ kA2 • Getum fundið bæði hámarkshraða og hámarksfærslu: xmax = Ö(2E/k), vmax = Ö(2E/m)
Einfaldur pendúll 1: Hreyfijafna • Öruggast að skoða út frá kraftvægi og hverfiþunga: Ia = t ml2a = - mgl sinq l d2q/dt2 = - g sinq • Ekki auðvelt að leysa þetta á lokuðu formi! – Beitum nálgun (Taylor) l q l sin q mg
Einfaldur pendúll 2: Nálgun l d2q/dt2 = - g sinq • Furðu góð nálgun að setja sinq=q • Þá fæst d2q/dt2 + (g/l)q = 0 • sem er stærðfræðilega jafngilt fyrri jöfnum um EHS og massa í gormi • Getum skrifað lausnina beint l q l sin q mg
Einfaldur pendúll 3: Lausn d2q/dt2 + (g/l)q = 0 • Lausnin er q = A sin(wt + d) w = Ö(g/l) T = 2p/w = 2pÖ(g/l) • Undir nálguninni er T óháður sveifluvídd (lotufesta, Galíleó) l q l sin q mg
Einfaldur pendúll 4: Orkumál q = A sin(wt + d) • Hreyfiorkan er K = ½ I (dq/dt)2 = ½ m v2 = ½ mgl A2 cos2(wt + d) • Staðarorkan er á hinn bóginn U = mgh = mgl(1- cos q) = mgl(1-(1-q 2/2 + ...)) = mgl q 2/2 =½ mgl A2 sin2(wt + d) • og við fáum orkuvarðveislu : E = K + U = ½ mgl A2 l q l cos q l sin q h mg
Raunpendúll • Gengur fyrir sig mjög svipað einföldum pendúl: Ia= - mgd sinq d2q/dt2 + (mgd/I)q = 0 w = Ö(mgd/I) • Í fylgikverinu er innleiddur tregðuarmurinn K, I = mK2og þá má einfalda frekar d q CM mg
Snúningspendúll • Kraftvægið er í hlutfalli við snúningshornið, t = - kq • og því fáum við EHS • Sveiflutíminn verður T = 2pÖ(I/k)
Sveiflur um jafnvægisstöðu almennt • Ef x = 0 er jafnvægisstaða gildir U’ (0) = 0 • Með því að beita reglu Taylors í grennd við x = 0 má nær alltaf skrifa mættisfallið U sem U = U(x) = ½ k x2 • Hreyfing, þar sem færslan er nógu lítil til að þessi nálgun gildi, verður EHS • Annars svokölluð óhrein sveifla (anharmonic); t.d. í pendúl með stórum sveiflum U(x) x
Deyfðar sveiflur • Nú bætist við gormkraftinn mótstaða í straumefni, sem er mínustala sinnum hraðinn f = - lv • Hreyfijafnan verður þá d2x/dt2 + 2gdx/dt + w02x = 0 2g = l/m, w02 = k/m • Fáum m.a. deyfðar sveiflur: x = A e-gtsin (wt + a)
Þvingaðar sveiflur • Nú bætist enn við ytri kraftur, sem sveiflast með tiltekinni tíðni wf: d2x/dt2 + 2gdx/dt + w02x = (F0/m) cos wft • Við reynum að leysa jöfnuna með falli á forminu x = A cos (wft + d) • Með dálítilli stærðfræði fæst hvernig “svörunin” verður, þ.e. sveifluvíddin A.
Hermur (resonances) • Svörun kerfis langmest þegar tíðni áreitis er kringum ákv. gildi: Herma. Algengt í eðlisfr., náttúru og tækni: • Róla, pendúll, stafur sem sveiflast • Svörun við sjávarfallakröftum á ákveðnum stöðum á jörðinni • Svörun blásturshljóðfæra • Vindálag á mannvirki, sbr. t.d. Tacoma-brúna • LCR-rásir og fleira í hvers konar viðtækjum • Hljóðskynjunin í kuðungnum í eyranu • Ath.: Áreitið (ytri kr.) hefur oft breitt tíðniróf en kerfið velur úr þá tíðni sem það er næmt fyrir. Stundum reynum við þó að samstilla sendi og móttakara.
