modele zmienno ci aktyw w
Download
Skip this Video
Download Presentation
Modele zmienności aktywów

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 29

Modele zmienności aktywów - PowerPoint PPT Presentation


  • 111 Views
  • Uploaded on

Modele zmienności aktywów. Model multiplikatywny Parametry siatki dwumianowej. Model multiplikatywny zmienności aktywów. Rekurencyjny model multiplikatywny: S(0)=S 0 , S(k+1) = S(k) u(k) , k=1,2,… C ena aktyw a w chwili k dana jest więc wzorem

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Modele zmienności aktywów' - kamal


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
modele zmienno ci aktyw w

Modele zmienności aktywów

Model multiplikatywny

Parametry siatki dwumianowej

model multiplikatywny zmienno ci aktyw w
Model multiplikatywny zmienności aktywów

Rekurencyjny model multiplikatywny:

S(0)=S0, S(k+1) = S(k) u(k), k=1,2,…

Cena aktywa w chwili k dana jest więc wzorem

(1) S(k) = u(k-1)u(k-2)…u(0)S(0).

Po zlogarytmowaniu obu stron

(2)

model multiplikatywny
Model multiplikatywny

Jeśli wszystkie zmienne w(i) mają tę samą wartość oczekiwaną μ i wariancję σ2 oraz są wzajemnie niezależne, to korzystając z własności wartości oczekiwanej i wariancji możemy zapisać:

(3)E[ln S(k)] = lnS(0) +μk,

(4) var[lnS(k)] = k σ2.

Łatwo zauważyć, że zarówno wartość oczekiwana logarytmu ceny jak i wariancja tej zmiennej rosną proporcjonalne do k.

model multiplikatywny stopy zwrotu
Model multiplikatywny Stopy zwrotu
  • Równość (3) można zapisać w postaci

E[ln S(k)] – E[lnS(0)] = μk

E[ln (S(k)/S(0))] = μk , lub też

(5) E [S(k)/S(0)]=eμk

gdyż dla funkcji ciągłej f i zmiennej losowej X ; E[f(X)]=f(E(X))

μ można interpretować jako oczekiwaną stopę zwrotu w pojedynczym etapie przy kapitalizacji ciągłej

Z definicji μ =E[ln (S(n+1)/S(n))], n=1,…,k

S(n+1)/S(n) = [S(n+1)-S(n)]/S(n)+1

ln [S(n+1)/S(n)] = ln {[S(n+1)-S(n)]/S(n)+1} =

=(w przybliżeniu)= [S(n+1)-S(n)]/S(n) = r – stopa zwrotu w jednym etapie przy kapitalizacji okresowej; korzystamy z rozwinięcia

model multiplikatywny stopy zwrotu1
Model multiplikatywny Stopy zwrotu

E {ln[S(n+1)/S(n)]}= E[w(n)] = μ

μ - oczekiwana stopa zwrotu w jednym etapie

Z definicji modelu

E{ln (S(k)/S(0))} = E[w(0)+…+w(k-1)]; w(i)=lnu(i)

Lewa strona oznacza oczekiwaną całkowitą (po k etapach) stopę zwrotu, przy założeniu kapitalizacji ciągłej.

model multiplikatywny1
Model multiplikatywny
  • Bezpośrednio ee związku
  • Otrzymujemy logarytm z ilorazu

(6)

  • Jeżeli w(i) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych i parametrach μ, σ2 , to zmienna losowa ln[S(k)/S(0)] ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej (kμ) oraz wariancji kσ2 (Wniosek 3, par. 37, S Zubrzycki „Wykł. rach. p-stwa..”)
rozk ad logarytmiczno normalny
Rozkład logarytmiczno – normalny
  • Niech Y oznacza zmienną losową o rozkładzie normalnym N(μ,σ) . Niech X = eY (Y = lnX)
  • DEF. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X nazywamy rozkładem logarytmiczno – normalnym i oznaczamy Λ(μ,σ)
  • (X jest funkcją wykładniczą zmiennej losowej o rozkładzie normalnym)
  • FX – dystrybuanta zmiennej X
rozk ad logarytmiczno normalny1
Rozkład logarytmiczno – normalny
  • Zatem
  • Oznaczmy przez (x) gęstość rozkładu zmiennej X
  • (7)
rozk ad logarytmiczno normalny2
Rozkład logarytmiczno – normalny
  • Niech Y oznacza zmienną losową o rozkładzie normalnym N(μ,σ) . Niech X = eY
  • Wtedy
  • Mk = exp (μk + 0,5 σ2 k2)

Mk – k-ty moment rozkładu logarytmiczno-normalnego

a stąd

EX = exp (μ+ 0,5 σ2)

  • War X =E(X2)-(E(X))2 =exp (2μ+ 2σ2) - exp (2μ+ σ2)=

= exp (2μ+ 2σ2) [ exp ( σ2) –1]

model multiplikatywny dwumianowy
Model multiplikatywny, dwumianowy
  • Zakładamy, że w każdym okresie cena akcji może spaść lub wzrosnąć, zawsze w tej samej proporcji, czyli
  • (10)

przy czym pierwsza z tych wartości jest przyjmowana z prawdopodobieństwem p

a druga z (1-p)

drzewo cen w m odel u multiplikatywny m dwumianowym siatka dwumianowa cen 4 etapy s cena pocz tkowa
Drzewo cen w modelu multiplikatywnym, dwumianowym - Siatka dwumianowa cen (4 etapy, S – cena początkowa)
ceny ko cowe w modelu multiplikatywnym dwumianowym n etapowym
Ceny końcowe w modelu multiplikatywnym dwumianowym, n-etapowym

Ze wzoru S(n) = u(n-1)u(n-2)…u(0)S(0) wynika, że możliwe ceny końcowe muszą mieć postać

S(0) ukdn-k, gdzie k = 0,1,…,n.

Na drzewie cenowym istnieje różnych dróg prowadzących do węzła identyfikowanego z ceną S(0)ukdn-k , gdyż każda droga jest jednoznacznie scharakteryzowana przez n-wyrazowy ciąg (u,u,d,u,…,d,u), zawierający k liter u oraz (n-k) liter d.

ceny ko cowe w modelu multiplikatywnym dwumianowym n etapowym1
Ceny końcowe w modelu multiplikatywnym dwumianowym, n-etapowym
  • Prawdopodobieństwo każdej takiej drogi – jako koniunkcji zdarzeń niezależnych - wynosi
  • pk (1-p)n-k

Zatem prawdopodobieństwo ceny końcowej Sukdn-k wynosi

parametry siatki dwumianowej sformu owanie problemu
Parametry siatki dwumianowej Sformułowanie problemu

Dana jest roczna oczekiwana stopa zwrotu z akcji uwzględniająca kapitalizację ciągłą :

  • E[ln(ST /S0)] = 
  • - gdzie ST oznacza cenę akcji po roku

oraz wariancja logarytmu ze zmiennej (ST /S0)

  • War [ln(ST /S0)] = 2

Ile powinny wynosić przy tych danych parametry siatki zmienności, czyli wielkości u,p, w jednym etapie, jeżeli w ciągu roku wystąpi n etapów oraz u =1/d ?

parametry siatki dwumianowej
Parametry siatki dwumianowej
  • Zakładamy, że zmienne losowe
  • k=1,2,…,n są niezależne, wzrost następuje z prawdopodobieństwem p.
  • Zmienne losowe
  • k=1,2,…,n są także niezależne, co wynika bezpośrednio z definicji niezależności zmiennych losowych
parametry siatki dwumianowej1
Parametry siatki dwumianowej
  • Ogólne równania modelu:
parametry siatki dwumianowej2
Parametry siatki dwumianowej
  • Ze związku ( c ) wynika, że po n etapach w omawianym modelu
  • E(ln(Sn/S0))=n ,
  • co jest równoważne równościom
  • E(Sn /S0)=en, E(Sn)= S0 en
  • Jeżeli dodatkowo założymy, że S1=1, to otrzymujemy

E(lnSn)=n, E(Sn)=en

  • Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia U,D, t
  • (11)
parametry siatki dwumianowej3
Parametry siatki dwumianowej
  • Wariancja. Z niezależności zmiennych ln(u(k)), wynika, że
parametry siatki dwumianowej6
Parametry siatki dwumianowej
  • Ostatecznie otrzymujemy następujące parametry siatki dwumianowej
  •  = E[ln(ST/S0)], ST – cena po roku
  • 2 - roczna wariancja zmiennej ln(ST/S0)
  • t – czas trwania jednego etapu (ułamek roku)
interpretacja parametr w 2
Interpretacja parametrów ,2
  •  = E[ln(ST/S0)],

 = ln(E[(ST/S0)])

E[(ST/S0)])=e

E(ST) = S0 e , gdyż S0 jest stałą

  • Parametr  jest więc roczną oczekiwaną stopą zwrotu, zakładając kapitalizację ciągłą, tzw. logarytmiczną stopę zwrotu
  • Jeżeli S0 = 1,
  • to  = E[ln(ST)]. Stąd E(ST) = e
  • War [ln(ST /S0)] =War [ln(ST)] = 2
  • 2 – jest wtedy wariancją z logarytmu ceny po roku, czyli miarą zmienności rocznej ceny akcji
literatura
Literatura
  • Teoria inwestycji finansowych – D. Luenberger
  • Instrumenty pochodne – sympozjum matematyki finansowej. Kraków UJ 1997
  • Kontrakty terminowe i opcje. Wprowadzenie

J. Hull Warszawa 1997

  • Inwestycje K. Jajuga, T. Jajuga PWN 2008
  • Rynkowe instrumenty finansowe

A. Sopoćko PWN 2005

ad