“Purely Functional Data Structures” セミナー

1. “Purely Functional Data Structures”セミナー いなば 2006/05/12

2. 今日の予定 • Chapter 1. Introduction • Chapter 2. Persistence • Chapter 3. Some Familiar Data Structures in a Functional Setting

3. 関数型データ構造とは • 関数型 (functional) データ構造とは何か？ • 手続き型 (imperative) データ構造との違いは？ • 実装者側から見ると… • 破壊的更新(destructive update)、つまり代入(assignment)を使わない • 使用者側から見ると… • 永続的 (persistent) である

4. 例1： List • （黒板で説明） • “append xs ys” 関数を考える • Functional だと、O( |xs| ) • Imperative なら、自明に O(1) にできる • しかし元の xs は壊れる • Functional なら元のxs,ysもxs@ysもそのまま使える • Persistant • “update” • 同様

5. 例2： Binary Search Tree • (MySet.ml)

6. 評価戦略: Strict vs. Lazy • 正格 (Strict) 評価 • 関数の引数は、呼び出し前に全て評価される • 最悪計算量 • 遅延 (Lazy) 評価 • 関数の引数は、その値が実際に必要になって初めて評価される • 償却(amortized)計算量 • 詳しくは Chapter 4 以降で

7. 用語の定義 • Abstraction • 型と、型上の操作関数の集まり • Abstract Data Type • ML でいう、モジュールの signature • Implementation • ADTを実際に実現したデータ型と関数の集まり • ML でいう、モジュールの structure や functor • Object / Version • Implementation の実際のインスタンス • ML でいう、普通の value • Persistent Identity • Informal な “同じ”データという概念

8. Chapter 3 • おなじみのデータ構造を関数型言語で実装 • Leftist Heap • Binomial Heap • Red-Black Tree

9. Leftist Heap • Priority Queue • 以下の操作が(効率的に)可能な集合を表すデータ構造 • 最小要素の取得 • 最小要素の削除 • 新しい要素の挿入 • Heap / 半順序木 • 二分木 • 親ノードの値 ≦ 子ノードの値 を満たす木 • 最小の要素を O(1) で取得できる • Leftist Heap • 左の子のrank ≧ 右の子のrank を満たすHeap • rank := right spine の長さ • 「要素数nのLeftist HeapのRight Spineの長さはたかだか log(n+1)」

10. Leftist Heap • (MyHeap.ml) • insert : O(log n) • merge ; O(log n) • deleteMin : O(log n) • findMin : O(1)

11. Binomial Heap • Tree の List による Priority Queue の実装 • 自然数の「２進数表現」に類似 • この手法については Chapter9 で詳しく • (黒板で説明) • (MyHeap.ml) • insert : O(log n) • merge ; O(log n) • deleteMin : O(log n) • findMin : O(log n) • ExplicitMin • findMin : O(1)

12. Red Black Tree • Binary Search Tree のバランスを保つ技法 • 「赤」ノードと「黒」ノード • 「赤」ノードは「赤」い子を持たない亜 • 全ての根から葉までのパスの「黒」の個数は等しい • Prop. 高さの差はたかだか２倍 • (MySet.ml)

13. おしまい