第七章模糊与概率

第七章模糊与概率 兰蓉

模糊和概率的基本知识 模糊集合的几何图示模糊集合的大小的表征模糊集合的模糊程度的度量模糊集合间的包含关系模糊集合间的包含关系与模糊集合的模糊程度之间的关系本章的主要问题：

模糊和概率的基本知识 一.模糊集的基本概念 Cantor：一个集合是我们的直观或思维中确定的可区别的诸对象的整体，这些对象称为该集合的元素（成员）.

罗素(Russell)悖论: 考虑集合A,它是“不以自己为元素的集合”的全体构成的集合. 问: A是不是自己的元素? 答:按A的定义,对这个问题不论回答“是”或“不是”都将导致矛盾.

定义称映射 为上的模糊集. 称为对的隶属度,映射为隶属函数.

二.概率的基本概念 设随机实验为E,样本空间为X,映射为概率，若它满足以下条件： 1.正规性; 2.规范性; 3.可列可加性.

模糊和概率 问题:是否不确定性就是随机性？概率的概念是否包含了所有的不确定性的概念？ Lindley：概率是对不确定性唯一有效并充分的描述，并且适用于任何涉及不确定性的问题,所有其他方法都是不充分的(直接指向模糊理论). Bayesian camp：一事件的概率是由事件本身的性质决定的，不是由该事件的频率决定的。

模糊与概率的异同 相似点 1.都可用来刻画不确定性. 2.都以[0,1]中的数来进行标度,即,映射的值域是相同的,均为[0,1]. 3. 都有相同的运算:并 ,交 ,补 .

区别关键的区别在于如何处理一个集合与它的补集合概率: 模糊:

考虑两个问题 1）总是成立的吗？（不是） 2）是否应该以定义的形式给出条件概率算子 (不应该)

随机与模糊：是否与多少 模糊性:事件发生的程度，而不是一个事件是否发生. 随机性:描述事件发生的不确定性,即,一个事件发生与否.

模糊事件的概率 例子：明天有20%的几率下小雨（包含复合的不确定性）冰箱里有一个苹果的概率为50%（Probability）冰箱里有半个苹果（Fuzzy）停车位问题

问题: 下面哪一种描述更好? 它可能是一个椭圆. 或, 它是一个模糊的椭圆. 此中没有随机性的问题，所以属于模糊问题。不精确的椭圆

问题:下式是否成立? 注意:一般来说,不是所有的样本空间均可以定义概率测度,但总能定义模糊集.

结论: 概率表征是不完备的.

模糊集的几何学 为了帮助我们更好地讨论模糊集的相关性质，并且为了使我们对模糊集有一个更为直观的印象，我们将引入模糊集的一种新的几何的观点，即，将集合视为点.

模糊集的几何学 在这种观点之下(设论域为 ) 论域的所有经典集的集合 . 论域的所有模糊子集的集合为 .

模糊集的几何学 论域中的任意一个模糊集均为立方体内的一个点。论域中的非模糊集对应立方体的顶点。的中点离各顶点等距，模糊性最大。例:设,模糊集 .

模糊集的几何学 模糊集合A是单位“二维立方体”中的一个点，其坐标(匹配值)是（1/3，3/4）。表明第一个元素x1属于A的程度是1/3，第二个元素x2的程度是3/4。立方体包含了两个元素{x1， x2}所有可能的模糊子集。四个顶点代表 {x1， x2}的幂集2X。对角线连接了非模糊集合的补集。

注意:中心点最为模糊的,所有值均为 ,中心点在以下两个方面是唯一的。 ①它是满足下式的唯一的模糊集：　 ②它是到顶点等距的唯一的点.

我们考虑模糊集的三种运算: 交并补例:参见课本第271页. 此时, ,

Prop. A为真正的模糊集 iff iff 注意:此命题说明Aristotle的两条法则( noncontradiction,excluded middle), 适用而且只适用于经典集合.

Paradox of The Midpoint (中心点处的悖论) 我们知道,中点处的模糊性最大,因此它所对应的论断也充满了矛盾.经典逻辑与集合论利用公理的形式对其加以限制,从而产生了悖论. 如:罗素悖论,克里特的说谎者,陷入两难境地的理发师.

分析(以理发师为例): 令S为命题——理发师给自己理发，为命题——理发师不给自己理发。由于 , 则 , 故 .

注：1）上式刻划了很多悖论的逻辑形式，尽管不同的注：1）上式刻划了很多悖论的逻辑形式，尽管不同的悖论有不同描述； 2）在二值逻辑中，命题S, 只能取0或1，而模糊逻辑中解决悖论它只用了一个事实，即，令它们的真值相同； 3）之所以会出现悖论，是由于人们只坚持二值逻辑。

Counting With fuzzy Sets 问题:模糊集有多大? 模糊集 A 的大小可由下式来计算:

例:设A = ( 1/3,3/4), 则 M (A) =1/3+3/4 = 13/12

说明：1） 的几何意义:当我们把集合视为点之后, 为向量的大小； 2）可以证明: 即, 为海明距离.

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