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Produit mixte. Montage préparé par :. André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon. Mise en situation. Le produit mixte de deux vecteurs est un scalaire. C’est le résultat d’un produit vectoriel suivi d’un produit scalaire. Il met donc en cause trois vecteurs.

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Presentation Transcript
produit mixte
Produit mixte

Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

mise en situation
Mise en situation

Le produit mixte de deux vecteurs est un scalaire. C’est le résultat d’un produit vectoriel suivi d’un produit scalaire. Il met donc en cause trois vecteurs.

Nous verrons comment effectuer le produit mixte de vecteurs algébriques dans R3 et nous l’utiliserons pour calculer des volumes et des distances.

produit mixte de vecteurs
Produit mixte de vecteurs

Soit u = (u1; u2; u3), v = (v1; v2; v3) et w = (w1; w2; w3), trois vecteurs de R3.

u • (v ´w)

Définition

Produit mixte de vecteurs algébriques

Le produit mixte de ces trois vecteurs est défini par :

calcul du produit mixte
Calcul du produit mixte

Le produit vectoriel v ´w donne :

Soit u = (u1; u2; u3), v = (v1; v2; v3) et w = (w1; w2; w3), trois vecteurs de R3.

k

k

v1

v1

v2

v3

w1

w2

w3

u • (v ´w)

j

j

i

i

v ´w =

On constate que, pour calculer le produit mixte des trois vecteurs, on peut appliquer une démarche analogue à celle pour effectuer le produit vectoriel en plaçant sur la première ligne les composantes du vecteur u au lieu de i, j et k.

S

S

Déterminons la procédure à suivre pour effectuer le produit mixte.

= (v2w3 – v3w2)

– (v1w3 – v3w1)

+ (v1w2 – v2w1)

En effectuant le produit scalaire, on obtient :

= (u1; u2; u3) • (v2w3 – v3w2; – (v1w3 – v3w1); (v1w2 – v2w1)

u1

u2

u3

=

v1

v2

v3

w1

w2

w3

produit mixte nul
Produit mixte nul

Le produit mixte est nul si les vecteurs u, v et w sont coplanaires.

En effet, le vecteur u est alors perpendiculaire au produit vectoriel v ´ w.

Si les vecteurs ne sont pas coplanaires, le produit mixte est non nul.

exemple 9 3 13
Exemple 9.3.13

w

v

u

u • (v ´w)

u • (v ´w)

S

Calculer le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs :

= (2; 1; 4),

= (3; –2; 5) et

= (8; 1; 3)

Le produit mixte donne :

2

1

4

=

3

–2

5

8

1

3

= [2 ´(–11)] – [1 ´(–31)] + [4 ´(19)] = 85

On a donc :

= 85

Le volume du parallélépipède est de 85 unités de volume.

distances dans r 3
Distances dans R3

On détermine un point R du plan ainsi que le vecteur RQ. On détermine le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs, D1, D2 et RQ donné par la valeur absolue du produit mixte.

Soit A, B et C, les points. On procède de façon analogue en consi-dérant les vecteurs D1 = AB, D2 = AC et AQ.

Distance d’un point Q à un plan dont on connaît deux vecteurs directeurs.

La distance cherchée est la hauteur du parallélépipède.

On l’obtient en divisant le volume par l’aire de la base, soit le module du produit vectoriel des vecteurs directeurs.

Distance d’un point Q à un plan dont on connaît trois points.

distances dans r 31
Distances dans R3

Procédure

pour trouver la distance d’un point Q à un plan ∏ dans R3 (en utilisant des vecteurs directeurs)

1. Déterminer deux vecteurs directeurs du plan.

2. Déterminer un point R du plan.

3. Construire le vecteur allant du point R du plan au point Q dont on cherche la distance au plan.

4. Utiliser le produit mixte pour trouver le volume du parallélépipède construit sur ces trois vecteurs.

5. Calculer la hauteur du parallélépipède en divisant son volume par l’aire de sa base, soit le module du produit vectoriel des vecteurs directeurs. La hauteur du parallélépipède est la distance cherchée.

exercice
Exercice

x = 2 + 3s – 2t

y = 5 – 4s + t

z = –7 + 5s – 3t

Trouver la distance du point Q(4; 5; 7) au plan ∏:

Les vecteurs directeurs sont :

= (3; –4; 5) et

= (–2; 1; –3) et

k

k

R(2; 5; –7) est un point du plan et

= (2; 0; 14).

14

2

0

RQ • (D1´ D2)

5

3

–4

RQ

j

j

–3

–2

1

D1´ D2

D1´ D2

= 7

– 1

– 5

= (7; –1; –5)

5

3

–4

i

i

–3

–2

1

–56

=

et d (Q, ∏)

=

=

75

72 + (–1)2 + (–5)2

75

S

S

D2

D1

Le volume du parallélépipède est alors :

= –56

=

=

≈ 6,47

La distance est d’environ 6,47 unités.

distances dans r 32
Distances dans R3

On considère un point P de l’une des droites et un point R de l’autre droite pour construire le vecteur PR.

Par le produit mixte, on détermine le volume du parallé-lépipède construit sur les vec-teurs D1, D2 et PR.

Distance entre deux droites gauches(Méthode du produit mixte).

La distance cherchée est la hauteur du parallélépipède que l’on obtient en divisant le volume par le module du produit vectoriel des vecteurs directeurs, puisque celui-ci donne l’aire de la base du parallélépipède.

exercice1
Exercice

x = 2 – 3t

y = –5+ 7t

z = –3 – 2t

x = 8 + 6s

y = 2 – 2s

z = –3 – 3s

∆1 :

∆2 :

k

= (–3; 7; –2) et

= (6; –2; –3).

Les vecteurs directeurs sont :

= (6; 7; 0).

On a P(2; –5; –3) sur ∆1 et R(8; 2; –3) sur ∆2, d’où :

D1´ D2) =

D1´ D2)

D1´ D2

D1´ D2

D1´ D2

6

7

0

j

–3

7

–2

PR

• (

6

–2

–3

D1

D2

PR

PR

De plus,

2 362

et

=

i

= –25

– 21

– 36

• (

–297

d(∆1, ∆2)=

=

S

S

2 362

Trouver la distance entre les droites suivantes :

Le produit mixte des vecteurs donne :

= 6(–21 – 4) – 7(9 + 12) + 0(6 – 42)

= 6(–25) – 7(21) + 0(–36) = –297

La distance est alors donnée par :

≈ 6,11

La distance du point au plan est donc d’environ 6,11 unités.

distance entre deux droites gauches
Distance entre deux droites gauches

Produit mixte

Procédure

pour déterminer la distance entre deux droites gauches

1. Déterminer les vecteurs directeurs des droites.

2. Déterminer un point sur chacune des droites et le vecteur joignant ces deux points.

3. Effectuer le produit mixte des trois vecteurs directeurs et prendre la valeur absolue du produit pour obtenir le volume du parallélépipède.

4. Effectuer le produit vectoriel des vecteurs directeurs et prendre le module de celui-ci pour déterminer l’aire de la surface de la base.

5. Diviser le volume du parallélépipède par l’aire de sa base pour en obtenir la hauteur qui est la distance cherchée.

exercice2
Exercice

x = 5 + 4t

y = 4– 2t

z = –2 + 5t

x = 11 – 5s

y = 9 + 6s

z = 5 – 2s

∆1 :

∆2 :

k

= (–5; 6; –2).

= (4; –2; 5) et

Les vecteurs directeurs sont :

= (6; 5; 7).

On a P(5; 4; –2) sur ∆1 et R(11; 9; 5) sur ∆2, d’où :

D1´ D2)

D1´ D2

D1´ D2

D1´ D2

D1´ D2) =

6

5

7

j

4

–2

5

• (

PR

–5

6

–2

PR

PR

D2

D1

1 161

De plus,

et

=

i

= –26

– 17

+ 14

• (

–143

d(∆1, ∆2)=

=

≈ 4,20

S

S

1 161

Trouver la distance entre les droites suivantes :

Le produit mixte des vecteurs donne :

= 6(4 – 30) – 5(–8 + 25) + 7(24 – 10)

= 6(–26) – 5(17) + 7(14) = –143

La distance est alors donnée par :

La distance entre les droites est donc d’environ 4,20 unités.

conclusion
Conclusion

Le produit mixte de trois vecteurs de R3 est un scalaire dont la valeur absolue représente le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs ramenés à une origine commune.

Le produit mixte est nul si et seulement si les trois vecteurs sont coplanaires.

On peut utiliser le produit mixte pour calculer des distances dans R3 en utilisant le fait que le volume du parallélépipède divisé par l’aire de sa base donne la hauteur.

On peut également déterminer l’équation cartésienne du plan dont on connaît un point et deux vecteurs directeurs à l’aide du produit mixte.

slide16

Lecture

Mathématiques pour la chimie et la biologie,section 9.3, p. 281 à 283.

Exercices

Mathématiques pour la chimie et la biologie,section 9.4, p. 289 et 290.