روش های عددی در الکترومغناطیس موضوع سمینار:روش حجم محدود( FVM ) استاد:دکتر صادق زاده

1. روش های عددی در الکترومغناطیس موضوع سمینار:روش حجم محدود(FVM) استاد:دکتر صادق زاده ارائه دهنده:امید برازجانی زمستان92

2. )FINITE VOLUME METHODروش حجم محدود ( • این روش برای حل معادلات دیفرانسیل جزیی متمرکز است • این روش ها در سال های اخیر به دلیل توانمندی و فرمولاسیون شهودی و مزایای محاسبه ای شان میزان پذیرش گسترده ای را کسب نموده اند. • معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی که ما روی آن تمرکز داریم یک معادله عددی است که انتقال یک ماده تحت تاثیر وزش جریان هوا و ترکیب آن را ارائه می کند • روش حجم محدود یک روش گسسته است که برای شبیه سازی های عددی برای انواع مختلف اشکال (بیضوی ،سهموی و یا هزلولی ) مناسب است. • با مش بندی های ساختیافته و غیر ساختیافته در هندسه های مختلف مورد استفاده قرار می گیرد و به طرح های قوی منجر می شود. • و به طور گستردهای در چند شاخه مهندسی مانند مکانیک ، نفت ، گرما ،انتقال جرم ومخابرات کاربرد دارد.

3. بررسی روش های عددی به طور کلی تکنیک های زیادی در دینامیک سیالات محاسباتی CFDComputational Fluid Dynamics)) موجود است. رایج ترین برنامه های CFDاقتصادیکه در دسترند عبارتند از: • روش حجم محدود قابلیت اجرای زیادی دارد (80%) • روش المان محدود (15%) قطعا تعداد زیادی از رویکردهای دیگری در حدود (5%) وجود دارد، ازجمله: • تفاوت محدود Finite difference • روش های طیفی Spectral methods • المان مرز Boundary element • گاز مشبک/ بولتزمن مشبک Lattice gas/lattice Boltzmann • و بیشتر!

4. )FDMروش تفاوت محدود ( • از نظر تاریخی، قدیمی ترین روش است. • تکنیک هایی در اوایل سال 1910 توسط L. F. Richardson منتشر شد. • مقاله اصلی توسط Courant, Fredrichson و (1928) Lewyمعیار پایداری برای مرحله پیچیده زمانی را بدست اورد. • اولین راه حل عددی: جریان در تمام سیلندر مدور توسط Thom (1933) ارایه شد. • مقاله علمی توسط Harlowو (1965) Fromm ایده اصلی آزمایشات کامپیوتری را بیان کرد و CFD متولد شد. • مزیت: اجرای آسان • معایب: محدود به شبکه های ساده است و اندازه حرکت، انرژی و جرم را بر روی شبکه های بزرگ نگهداری نمی کند.

5. i j j i تفاوت محدود: روش شناسی پایه میدان به مجموعه ای از نقاط مجزا تقسیم می شود. اندازه ساختاری مش های (ijk) مورد نیاز است. • معادلات حاکم (در فرم دیفرانسیل) گسسته هستند (به صورت جبری) • مشتقات اول و دوم با بسط های مجموعه های Taylorکوتاه تقریب زده می شود. • مجموعه حاصل معادلات جبری خطی هر کدام تکراری یا همزمان حل می شود.

6. فلزی از چند پلی اتیلن خطوط سرعت (FEM) روش المان محدود • اولین استفاده توسط Courant (1943) برای حل مشکل پیچیدگی بود. • Clough (1960)روشی را با این نام ارائه می دهد. • روش FEMتا حد زیادی در دهه 60 و 70 میلادی برای تجزیه و تحلیل مشکل مکانیک سازه استفاده می شد. • تجزیه و تحلیل FEM برای جریان سیالات در اواسط تا اواخر دهه 70 توسعه یافت. • مزایا: بالاترین دقت را در شبکه های درشتدارد و برای مشکلات نفوذ میدان (جریان ویسکوز) و مشکلات سطح آزاد عالی است. • معایب: برای مشکلات پیچیده کند است و برای جریانات آشفته مناسب نیست.

7. (FVMروش حجم محدود( • اولین استفاده مستند توسط ایوانز و هارلو (1957) در لوس آلاموس و جنتری، مارتین و دیلی (1966) بود . • جذاب است زیرا متغیرها ممکن است که پیوسته از همدیگر در میان شوک ها ودیگر ناپیوستگی ها قابل تشخیص نباشد ولی جرم و انرژی تغیر نمی کند . • FVMمزیتی به کمک حافظه و سرعت در مشکلات خیلی بزرگ دارد، مانند جریانات با سرعت بالاتر، جریانات آشفته (احتراق )دارد. • اواخر دهه 70 و اوایل دهه 80 توسعه شبکه های body-fittedرا مشاهده کردیم. در اوایل دهه روش های شبکه غیر ساختیافته ظاهر شد. • مزایا: تعادل کنترل حجم وپایه شکل سلول، توده، اندازه حرکت را محدود نمی کند، انرژی حتی بر روی شبکه های بزرگ حفظ می شود، حل کننده های موثر و تکراری به خوبی توسعه یافته است. • معایب: انتشار نادرست هنگامی که اعداد ساده استفاده می شود.

8. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • روش عمومی حجم محدود: تقسیم میدان به حجم های کنترل شده ادغام معادله دیفرانسیل در طول حجم های کنترل شده و اعمال قضیه دیورژانس. به منظور ارزیابی اصطلاحات مشتق، مقادیر صورت های حجم کنترل شده مورد نیاز است به همین دلیل ایجاد فرض در مورد چگونگی تفاوت های مقدار لازم است. نتیجه مجموعه ای از معادلات جبری خطی است یعنی یکی از هر حجم کنترل شده حل تکراری یا همزمان

9. گره مرزی کنترل حجم گره محاسباتی سلول ها و گره ها • با استفاده از روش حجم محدود، حوزه راه حل را به یک تعداد متناهی از حجم کنترل کوچک (سلول) توسط یک شبکه تقسیم می شوند. • شبکه مرز های کنترل حجم را تعریف می کند درحالیکه گره محاسباتی در مرکز کنترل حجم قرار می گیرد. • مزیت FVM حفظ یکپارچگی است که دقیقا در تمام کنترل حجم راضی کننده است.

10. Dx کنترل حجم نوعی • جریان شبکه از طریق کنترل مرز حجم مجموعه ای از انتگرال ها در تمام چهار حالت کنترل حجم بدست می آید. • کنترل حجم ها هم پوشانی نمی کند. • مقدار تابع زیر انتگرال در کنترل حجم در دسترس نیست و با انترپولاسیون یا درون یابی تعیین می شود. N NE NW dyn n P E W e w Dy s dys j,y,v S SE SW i,x,u dxw dxe

11. Domain, Zone, Grid, and Cell • The control volumes exists at several levels: • Flow Domain, Extent of CFD analysis • Zone, Divide domain for convenience, if needed • Grid, Divides the zone into cells • Cell, Smallest control volume, but “finite” 1 Domain 4 Zones Let’s Examine a hexahedral cell Each control volume is “air-tight” Grid in each zone with 1000s of cells

12. محاسبه میدان به روش حجم محدود دامنه محاسبه شده را به تعدادی متناهی حجم کنترل شده تقسیم می کند شبکه سطح حجم کنترل شده شبکه حجم

13. طبقه بندی کلی شبکه ها • شبکه ها به دو نوع ساختیافته و غیرساختیافتهطبقه بندی می شود: • شبکه ساختیافتهاز توپولوژی استفاده می کند که در آن سلول ها با آرایش ساختیافته منظم می شوند. مکان سلول های همسایه در شاخص آرایه (i,j,k) است. این اجازه ذخیره کافی و نگهداری اطلاعات سلول را می دهد. • شبکه غیرساختیافتههیچ ترتیب ذاتی سلولی ندارد. ترتیب سلول ها باید پیچیده باشد. شبکه های غیر ساختیافته به انعطاف پذیری بیشتر در تولید و سازگاری شبکه ها با هزینه ذخیره سازی اطلاعات سلولی بیشتر نیازمند است. • شبکه های هیبرید شامل هر دو شبکه ساختیافته و غیر ساختیافته در مناطق مجزا است. • به عنوان مثال باد معمولا از شبکه های ساختیافته استفاده می کند. توانایی غیر ساختیافته در Boeingبه کار می رود که در AEDC و GRC تست می شود.

14. , j , i , k مثال شبکه ساختیافته • شبکه متناسب با بدنه است که شکل بدنه را ادامه می دهد. • نقاظ شبکه (راس)در یک ساختار آرایه با شاخص (i,j,k)منظم شده است. • تغییر شکل بین فضای فیزیکی((X,Y,Zو فضای محاسباتی کارتزین با جهات مختصات (, , ) • نقاط شبکه به بال برای ایجاد تفکیک لایه مرزی جمع اوری می شود. • سلول ها شش گوشه ای هستند.

15. نمونه شبکه غیر ساختیافته شبکه متناسب با جسم ، شکل جسم را دنبال می کند. نقاط شبکه ساختار خاصی ندارند . هیچ تغییر شکلی از فضای فیزیکی (x,y,z) و فضای محاسباتی وجود ندارد. نقاط شبکه در سطح مجرا برای ارائه تفکیک مرز لایه خوشه ای شده است. سلول ها چهار ضلعی هستند.

16. هدف ازفرمول های FVM • ارائه معادله انتگرال به عنوان معادله دیفرانسیل معمولی (در نهایت معادله جبری) تابعحل با استفاده از روش های محاسباتی (عددی) • بنابراین ما نیاز به تقریب حجم انتگرال ها و سطح انتگرال ها برای تشکیل بیان جبری داریم. • در ادامه بحث این تقریب ها، کنترل حجم ها را بررسی می کنیم که در آن انتگرال ها تقریبی خواهد شد.

17. معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی معادله انتقال : که T ماده انتقال یافته به عنوان مثال دما رطوبت یا غلظت یک آلاینده است . بردار U سرعت معلوم فرضی است . α ضریب انتشار است که هم می تواند نفوذ مولکولی و هم ترکیب گردابی باشد. جریان را تراکم ناپذیر فرض می کنند پس معادله پایستگی جرم به فرم زیر است : از آنجایی که داریم: پس معادله انتقال _انتشار به فرم زیر در می آید:

18. فرم انتگرالی قانون پایداری معادلات دیفرانسیل بامشتقات جزیی برای تمامی نقاط در حوزه هایی که می توانیم به عنوان حجم های بی نهایت کوچک در نظر بگیریم معتبر است.با پیش بینی اینکه حجم های گسسته و بی نهایت کوچک مقرون به صرفه نیستند و در اندازه های محدود ممکن است نا هنجار باشند. لذا برای یک حجم محدودδV که توسط سطح δS محصور شده است انتگرال های قانون پایداری به فرم های زیر در می آیند: نرخ تغییرات مقدار T درون حجم δV شار افقی حامل Tدرون δS انتقال انتشار Tدر میان δS

19. ادامه در واقع معادلات انتگرالی قانون پایداری چه هر حجم δV یک سلول محاسباتی باشد چه سراسر حوزه یک اقیانوس یا جو زمین باشد اعمال می شود. میانگین T در حجم δV : پس می توانیم معادلات انتگرالی را به صورت زیر بنویسیم : • همانطور که میبینیم معادلات در فرم انتگرالی به ترتیب مشتق مرتبه صفر و اول دارند که این کاهش مرتبه مشتق برای راه حل هایی که سیال یا جسم با سرعت بسیار زیاد در فضا تغییر می کند و ناپیوستگی ایجاد می شود مانند موج های شوک مافوق صوت در جو بسیار مهم است.

20. طرح کلی روش های حجم محدود باز سازی تابع: حوزه را به سلول های δVj تقسیم می کنیم تابع Tرا به یک چند جمله ای تقسیم می کنیم δVj+m سلول های Pهستند که سلول δVjرا احاطه نموده اند. Φnتناسب P است که توابع درون یابی را انتخاب می کنند. وضریب an به سادگی از معادله جبری زیر بدست می آید:

21. ادامه ارزیابی انتگرال ها : معمولا انتگرال ها بصورت عددی با استفاده از مربعات نوع گوس (تعیین مساحت زیر منحنی گوس) سنجیده می شوند . Φnتعداد نقاط مربعات را برای چند جمله ای های درجه Pتعیین می کنند. بنابراین درطی انتگرال فضایی خطایی وارد نمی شود وداریم: ωk وزن های مربعات گوس هستند که یک شیوه مناسب برای انتگرال های چند بعدی است. ~xqنقاط مربعات Q هستند وδSjعوامل بازنمایی سطح δSjهستند. انتگرال گیری موقتی: منشا خطا از انتگرال گیری زمانی سرچشمه می گیرد.که بوسیله آن شارها برای پیشرفت راه حل در زمان با استفاده از یک روند حرکت زمانی (la Forward Euler) یکی از روش های RungeKuttaیا روش های کلاس Adams-Bashforth استفاده شده است. زمان انتگرال گیری نمی تواند مستقل از تقریب فضایی (مکانی) انتخاب گردد اما معمولا با ملاحضات پایداری محدود می گردد.

22. حجم محدود در یک بعد سلول ها قسمت های خطی هستند و عرض سلول ها را δx می گیریم. که برای شکل بالا قانون پایداری به فرم زیر در می آید: شار افقی و شار انتشاری در هستند.

23. حجم محدود در یک بعد روش باز سازی تابع:دراین روند ها می توان مطابق زیر پیش از انتگرال گیری زمان به جلو برده شود.فرض کنید: در اینجا anضرایب P +1 هستند که لازم است از حالت های P +1 روی میانگین های چند جمله ای در واحد های متعدد تعین شوند. منشا و مقیاس دستگاه هم پایه به مرکز سلول j برگردانده شده است طوری که حاشیه های چپ و راست در یک طول از -1/2 و 1/2 به ترتیب واقع می شوند.اکنون پر کردن درایه های ماتریس به فرم زیر است:

24. حجم محدود در یک بعد ثابت قطعه به قطعه (تکه ای): ساده ترین حالت برای در نظر گرفتن حالتی است که تابع در یک واحد همانطور که در شکل نشان داده شده است ثابت است لذا تقریب و معادلات ذیل را داریم: حاصل انتگرال در واحد j : در نقاط حاشیه امکان دو تقریب وجود دارد یکی از واحد چپjودیگری واحد راست j+1. یک برهان شهودی فیزیکی این است که اطلاعات نزدیک به حاشیه بایست از واحد رو به بالا نشات بگیرد برای مثال واحدی که باد از آنجا می وزد.

25. حجم محدود در یک بعد نمودار خطی تکه ای: یک بهبودی نسبت به تقریب عدد ثابت تصور کردن تغیرات خطی برای تابع در واحد است بنابراین تقریب و روابط زیر را داریم: برای محاسبه تابع کافی است در مرز سلول تنظیم گردد.

26. حجم محدود در یک بعد رسم سهمی تکه ای : برای درج سهمی واقع در مرکز واحد های j+1 و j-1چند جمله ای چنین شکلی را پیدا می کند: در مقدار حاشیه خانه می تواند با قرار دادن در عبارت فوق محاسبه شود تا معادله زیر بدست آید:

27. حجم محدود در یک بعد معتبر سازی و صدق بازسازی: به منظور توصیف روند ها به طور دقیق ما به حل یک مسئله با یک راه حل معلوم ومقایسه نتایج با آنچه حاصل نمودار عددی است نیاز داریم .در همه موارد ما علاقمند به کنترل و کاهش خطا با افزایش تعداد واحد ها (سلول ها) برای توابع مختلف و برای یکی از روند های باز سازی می باشیم. باز سازی تابع T = cos πxدر فاصله −1 ≤ x ≤ 1با آغاز از میانگین واحد تحلیلی آن در واحد jبه صورت ذیل است:

28. T = cos πx اشکال بازسازی تابع

29. اشکال ساده سلولی اغلب فرضیات برای آسان تر کردن هندسه، جریان میدان، شبکه و سلول ها از هندسه سه بعدی استفاده می شود. سلول سه بعدی Quasi. شبکه مسطح (x,y) که مختصات z برای نشان دادن عمق سلول به کار می رود. سلول متقارن محوری مسطح. شبکه مسطح (x,y)است و y نشاندهنده فاصله از محور تقارن است. زاویه گووه متقارن محوری نشان دهنده عمق است. سلول دو بعدی مسطح. سلول مسطح (x,y) است و مختصات z نشاندهنده عمق ثابت از سلول است. سلول یک بعدی Quasi . شبکه یک بعدی (x) با محدوده سطح متقاطع است و در امتداد x است. سلول یک بعدی. شبکه یک بعدی (x) با منطقه سطح متقاطع ثابت در امتداد xاست.

30. اشکال سلولی دیگر شبکه ساختاری تنها شامل سلول های با حجم محدود با شکل شش وجهی است. شبکه های غیر ساختاری به آزادی بیشتری برای اشکال سلول اجازه می دهد. امکانات عبارتند از: سلول کلی (وجه های چهار ضلعی x، وجه های سه ضلعیY) سلول منشوری (سه وجه چهار ضلعی، دو وجه سه ضلعی) سلول هرمی (یک وجه چهار ضلعی، چهار وجه سه ضلعی) سلول چهار ضلعی (چهار وجه سه ضلعی) حفظ هندسی وجه های ساده، چهار ضلعی یا سه ضلعی سلول با کناره های خط مستقیم معمولا استفاده می شود. هندسه و برآیند محدوده طبیعی سه ضلعی منحصرا شناخته شده است، چهار ضلعی ها معمولا به سه ضلعی برای محاسبه ویژگی های هندسی شان تقسیم می شوند.

31. بمب افکن B2با تکنولوژی پیشرفته هندسه و تولید شبکه: ابعاد پایه: طول 20.9 متر، 5.1 متر ارتفاع و 52.43 متر طول بال های هواپیما بخش ایرفویل مورد استفاده برای بال: E180 (مورد استفاده در مدل رادیو کنترل هواپیما) میانگین ابعاد سلول: 0.9 میلی متر در جهت طولی و 1.7 میلی متر در جهت پهنا شبکه حجم: 52 بلوک، تقریبا. 1.5 میلیون سلول، گره های خوشه ای در نزدیکی سطح طول بال های هواپیما از شبکه: 293.9 میلی متر

32. بمب افکن B2 با تکنولوژی پیشرفته Rendered Image of B2 Surface Grid Image of the B2 in flight

33. بمب افکن B2 با تکنولوژی پیشرفته B2 Surface Grid (close view):

34. بمب افکن با تکنولوژی پیشرفته –B2 Surface Currents on B2 – Nose-on incidence @ 300 MHz, HH polarization

35. بمب افکن با تکنولوژی پیشرفته –B2 Bi-static RCS Plot @ 300 MHz (HH)

36. بمب افکن با تکنولوژیپیشرفته –B2 Monostatic RCS Plot @ 300 MHz

37. ماشین روی عرشه آب گرفته

38. جریان در اطراف مدل کشتی

39. جریان در اطراف مدل کشتی مقایسه مشخصات موج در امتداد بدنه با محاسبه در TUHH شامل داده های تجربی بدست آمده در موسسه تحقیقات کشتی توکیو

40. جریان در اطراف سطح پر سر و صدای پروانه

41. روش حجم محدود: خلاصه • FVM از معادله انتگرال پایستگی مورد استفاده در کنترل حجم ها استفاده می کند که طبقه بندی حوزه میدان حل را به کل میدان حل به درستی شیفت می دهد • مقادیر متغیر در حالات کنترل حجم با اینترپولاسیون یا درون یابی تعیین می شود. انتشار از وابستگی به انتخاب طرح اینترپولاسیون ناشی می شود. • شبکه باید برای کاهش خطا دوباره تعریف شود. • مزایای FVM: انتگرال پایستگی دقیقا قانع کننده است و روش محدود به نوع شبکه ساخت یافته یا غیر ساختیافته ، دکارتی یا (body-fitted) نیست . • همیشه همگرائی مناسبی دارد.

42. مراجع: • [1] R. E. Bank and D. J. Rose. Some error estimates for the box method. SIAM J. Numer. Anal., 24:777–787, • 1987. • [2] Z. Cai. On the finite volume element method. Numer. Math., 58(1):713–735, 1990. • [3] Z. Cai, J. Mandel, and S. F. McCormick. The finite volume element method for diffusion equations on • general triangulations. SIAM J. Numer. Anal., 28:392–402, 1991. • [4] P. Chatzipantelidis. Finite volume methods for elliptic PDE’s: a new approach. M2AN Math. Model. Numer. • Anal., 36(2):307–324, 2002. • [5] L. Chen. A new class of high order finite volume methods for second order elliptic equations. SIAM J. • Numer. Anal., 47(6):4021–4043, 2010. • [6] S.-H. Chou, D. Y. Kwak, and Q. Li. Lp error estimates and superconvergence for covolume or finite volume • element methods. Numer. Methods Partial Differential Equations, 19(4):463–486, 2003. • [7] S.-H. Chou and Q. Li. Error estimates in L2; H1 and L1 in covolume methods for elliptic and parabolic • problems: a unified approach. Math. Comp., 69(229):103–120, 2000. • [8] R. E. Ewing, T. Lin, and Y. Lin. On the accuracy of the finite volume element method based on piecewise • linear polynomials. SIAM J. Numer. Anal., 39(6):1865–1888, 2002. • [9] R. Eymard, T. Gallou¨et, and R. Herbin. Finite volume methods. In Handbook of numerical analysis, Vol. • VII, Handb. Numer. Anal., VII, pages 713–1020. North-Holland, Amsterdam, 2000. • [10] W. Hackbusch. On first and second order box schemes. Computing, 41(4):277–296, 1989. • [11] J. Huang and S. Xi. On the finite volume element method for general self-adjoint elliptic problems. SIAM J. • Numer. Anal., 35(5):1762–1774, 1998. • [12] R. Li, Z. Chen, andW.Wu. Generalized difference methods for differential equations, volume 226 of Monographs • and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. Marcel Dekker Inc., New York, 2000. Numerical • analysis of finite volume methods. • [13] R. H. Li. On the generalized difference method for elliptic and parabolic differential equations. In Proc. of • the Symposium on the Finite Element Method between China and France, Beijing, China, 1982. • [14] T. Russell and M. Wheeler. Finite element and finite difference method for continuous flows in porous • media. Frontiers in Applied Mathematics, 1:35, 1983. • [15] E. S¨uli. Convergence of finite volume schemes for Poisson’s equation on nonuniform meshes. SIAM J. • Numer. Anal., 28(5):1419–1430, 1991. • [16] J. Xu and Q. Zou. Analysis of linear and quadratic simplicial finite volume methods for elliptic equations. • Numer. Math., 111(3):469–492, 2009.

43. با تشکر فراوان Omidborazjani@yahoo.com www.eedd.ir