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微积分的背景、发展与意义

微积分的背景、发展与意义. 微积分的背景、发展与意义. 微积分建立的时代背景和历史意义 函数概念的建立与发展 极限与导数 积分. 第三节 极限与导数. 极限思想 导数概念. 极限思想. 逼近思想的起源与发展 无穷小方法 牛顿极限思想的演变 莱布尼茨的有关工作 18 世纪的状况 19 世纪：极限理论的确立 极限思想在近现代数学中的意义. 逼近思想的起源与发展. 埃及人的圆面积计算 希腊：割圆术与穷竭法 阿基米德的有关工作 中国：刘徽与祖冲之父子. 无穷小方法： 16 世纪后期至 17 世纪中叶.

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微积分的背景、发展与意义

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Presentation Transcript

  1. 微积分的背景、发展与意义

  2. 微积分的背景、发展与意义 • 微积分建立的时代背景和历史意义 • 函数概念的建立与发展 • 极限与导数 • 积分

  3. 第三节 极限与导数 • 极限思想 • 导数概念

  4. 极限思想 • 逼近思想的起源与发展 • 无穷小方法 • 牛顿极限思想的演变 • 莱布尼茨的有关工作 • 18世纪的状况 • 19世纪：极限理论的确立 • 极限思想在近现代数学中的意义

  5. 逼近思想的起源与发展 • 埃及人的圆面积计算 • 希腊：割圆术与穷竭法 • 阿基米德的有关工作 • 中国：刘徽与祖冲之父子

  6. 无穷小方法：16世纪后期至17世纪中叶 • 开普勒 (Johannes Kepler，1571 — 1630，德国) • 罗伯瓦尔(G.P. de Roberval，1602 — 1675，法国) • 卡瓦列利(Bonaventura Cavalieri，1598 — 1647，意大利)

  7. 无穷小方法：16世纪后期至17世纪中叶 • 费尔马(P. de Fermat，1601 — 1665，法国) • 托利拆利(E.Torricelli，1608 — 1647，意大利) • 帕斯卡(B.Pascal，1623 — 1662，法国) • 沃利斯(John Wallis，1616 — 1703，英国)

  8. 牛顿极限思想的演变 • 牛顿的首末比方法本质上就是极限方法，而用不可分量或无穷小量来进行论证，只不过是以终极比 (极限) 来作严格数学证明的一种方便的简写法，并不是取代这种严格的证明。 • 所谓“两个垂逝量的终极比”，只不过是这两个量之比的极限而已。

  9. 莱布尼茨的有关工作 • 莱布尼茨的无穷小量的意义 • 虽然莱布尼茨本人对于无穷小量是否存在这个问题相当慎重,但是他的继承人(例如伯努利兄弟) 通常没有采取这种应有的态度，而不加思考地承认无穷小量是数学上的实体。事实上，对于微积分的基础这样不怀疑的大胆做法，或许促进了微积分及其应用的迅速发展。

  10. 18世纪的状况 • 概念十分含糊 • 贝克莱的指责 • 欧拉关于无穷小量的见解 • 拉格朗日试图排除极限

  11. 19世纪：极限理论的确立 • 背景：数学分析严格化的努力 • 极限理论 • 极限思想在近现代数学中的意义

  12. 导数概念 • 导数概念的现实背景 • 早期的有关工作 • 牛顿、莱布尼茨：导数概念的起源 • 19世纪：导数概念的严格化

  13. 第四节 积分 • 古代的面积与体积计算 • 牛顿时代 • 19世纪：黎曼积分及其他 • 现代：测度与积分

  14. 古代的面积与体积计算 • 希腊：原子论与穷竭法 • 中国 • 欧洲中世纪后期的形态幅度研究

  15. 牛顿时代 • 牛顿之前与积分概念有关的工作 • 牛顿 • 莱布尼茨 • 牛顿、莱布尼茨的后继者

  16. 19世纪：黎曼积分及其他 • 柯西 • 黎曼与黎曼积分

  17. 现代：测度与积分 • 积分概念的扩充问题 • 容量概念 • 测度论、Lebesgue积分及其意义

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