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5.1.2 垂线

图 1. 图 2. 5.1.2 垂线. 问题 1. 如图 1 ，（ 1 ）∠ AOC 的对顶角是哪个角？这两个角的关系怎样？ 　　（ 2 ）∠ AOC 的邻补角有几个？是哪几个角？. 问题 2 ： 如图 2 ，当∠ AOC ＝ 90° ，口答∠ BOD 、∠ AOD 、∠ BOC 等于多少度？为什么？直线 AB 、 CD 的位置关系怎样？. 图 3. 5.1.2 垂线. 问题 3 ： 什么样的两条直线互相垂直？. 定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．.

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5.1.2 垂线

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Presentation Transcript

  1. 图1 图2 5.1.2垂线 问题1.如图1，（1）∠AOC的对顶角是哪个角？这两个角的关系怎样？ 　　（2）∠AOC的邻补角有几个？是哪几个角？ 问题2：如图2，当∠AOC＝90°，口答∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？直线AB、CD的位置关系怎样？

  2. 图3 5.1.2垂线 问题3：什么样的两条直线互相垂直？ 定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 垂直的记法：直线AB、CD互相垂直，记作“AB⊥CD”或“CD⊥AB”，读作“AB垂直于CD”，如果垂足为O，记作“AB⊥CD，垂足为O”

  3. 5.1.2垂线 垂直定义的理解与应用 1.如果直线AB、CD相交于点O，∠AOC=90°（或其它三个角中的一个角等于90°），那么AB⊥CD 这个推理过程可以写成 ∵∠AOC=90°（已知）， ∴AB⊥CD（垂直的定义）． 2.如果AB⊥CD，那么所得的四个角中，任意一个都是直角. 这个推理过程可以写成: ∵AB⊥CD（已知）， ∴∠AOC＝90°（垂直的定义）．

  4. 探究：在图中，任意位置画直线 的垂线，能画几条？过点A, 点B画直线 的垂线分别能画几条？ B A 5.1.2垂线 垂线性质1 垂线的性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 问题3.“过一点”包括几种情况？“有且只有”是什么意思？

  5. P 问题：如图，连接直线 外一点P与直线 上各点A,B,C,D,E,…,其中PA⊥ (我们称PO为点P到直线 的垂线段).比较线段PA,PB,PC,PD,PE,…中，哪一条最短？ A C D B E 5.1.2垂线 垂线段最短 垂线的性质1：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

  6. 5.1.2垂线 【例1】判定下列说法是否正确： 　　（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直； 　　（2）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直； 　　（3）两条直线相交，若所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直； 　　（4）两条直线相交，若有一组邻补角相等，是这两条直线互相垂直.

  7. 5.1.2垂线 分析：两条相交直线所成四个角中有一个角是直角，就可以判定两直线垂直，因为（1）是垂直定义（2）、（3）（4）题，根据已知条件都能推出一个角是直角，所以这四种说法都正确. 解：这四种说法都正确.

  8. 【例2】如图1，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下面的结论中，正确的个数是（ ）个. 　　①点B到AC的垂线段是线段AB； 　　②线段AC是点C到AB的垂线段； 　　③线段AD是点D到BC的垂线段； 　　④线段BD是点B到AD的垂线段. A．1 B．2 C．3 D．4 A B D C 图1 5.1.2垂线 分析：由垂线段的定义知③是错误的，其余的均是正确的. 解：选择C.

  9. C E A B O F D 图2 5.1.2垂线 【例3】如图2，直线AB、CD互相垂直，垂足为O点，直线EF过O点，∠DOF=36°，求∠AOE的度数. 解：∵直线AB、CD互相垂直，（已知） ∴∠BOD=90°（垂直定义） ∵∠BOF与∠DOF互为余角（余角定义） ∴∠BOF+∠DOF=90° ∵∠DOF=36°（已知） ∴∠BOF=90°-36°=54° ∵直线AB与直线EF交于O点（已知） ∴∠AOE=∠BOF（对顶角相等） ∴∠AOE=54°（等式性质）

  10. ∴∠AOE=90°× =36° C E B A O F 图3 D 5.1.2垂线 【例4】如图3，已知直线AB、CD、EF相交于O点，CD⊥AB，∠AOE：∠AOD=2：5，求∠BOF、∠DOF的度数. 解：∵CD⊥AB于O点 ∵∠AOE：∠AOD=2：5 ∴∠AOD=∠BOD=90°（垂直定义） ∵直线AB、EF相交于点O点 ∴∠BOF=∠AOE（对顶角相等） ∴∠BOF=36° ∵∠DOF=∠DOB-∠BOF ∴∠DOF=90°-36°=54° 答：∠BOF、∠DOF的度数分别是36°、54°

  11. 如图5-1 5.1.2垂线 1.两条直线互相垂直时，所成的四个角中有____个直角。 2.过一点__________一条直线与已知直线垂直。 4 有且只有 3.如图5-1（1）,OA⊥OB,OD⊥OC,O为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________. 145°

  12. 5.1.2垂线 4.如图（2）,AO⊥BO,O为垂足,直线CD过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=________. 5.如图（3）,直线AB、CD相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线AB的位置关系是_________. 60° 垂直

  13. 图5-12 5.1.2垂线 6.如图5-11已知 钝角∠AOB,点D在射线OB上. (1)画直线DE⊥OB； (2)画直线DF⊥OA，垂足为F. 7.已知：如图5-12，直线AB，OC交于点O，OD平分 ∠BOC，OE平分∠AOC.试判断OD 与OE的位置关系.

  14. 图5-15 图5-16 5.1.2垂线 8.如图5-15,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC= 6,那么点C到AB的距离是_______,点A到BC的距离是________,点B到CD 的距离是_____,A、B两点的距离是________. 4.8 6 6.4 10 9.如图5-16,在线段AB、AC、AD、AE、AF中AD最短.小明说垂线段最短, 因此线段AD的长是点A到BF的距离,对小明的说法,你认为____________________________________. 小明说法是错误的,因为AD与BE是否垂直无判定

  15. 5.1.2垂线 10.(1)用三角尺画一个是30°的∠AOB,在边OA上任取一点P,过P作PQ⊥OB, 垂足为Q,量一量OP的长,你发现点P到OB的距离与OP长的关系吗? (2)若所画的∠AOB为60°角,重复上述的作图和测量,你能发现什么?

  16. 5.1.2垂线 本节课知识结构 1、垂线的定义 当两条直线相交成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条支线的垂线。它们的交点叫做垂足. 2、垂线的性质 (转下一页)

  17. 5.1.2垂线 (接上一页) （1）在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直. （2）连接直线外一点与直线上的各点的所有线段中，垂线段最短。简称“垂线段最短”. 3、点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

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