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专题四 立体几何与空间量

专题四 立体几何与空间量. 第 13 课时 空间点、线、面的位置关系. 1. 位置关系. 【例1】 若 m 、 n 是两条不同的直线， α 、 β 、 γ 是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是(　　) A．若 m ⊂ β ， α ⊥ β ，则 m ⊥ α B．若 α ∩ γ = m ， β ∩ γ = n ， m//n ，则 α // β C．若 α ⊥ γ ， α ⊥ β ， 则 β // γ D．若 m ⊥ β ， m // α ，则 α ⊥ β. 本题主要考查空间中线线、线面、面面的位置关系，可以依据具体的模型(如正方体)，对命题的真假作出判断．.

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专题四 立体几何与空间量

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Presentation Transcript

  1. 专题四 立体几何与空间量 第13课时 空间点、线、面的位置关系

  2. 1.位置关系 【例1】若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是(　　) A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α B．若α∩γ=m，β∩γ=n，m//n，则α//β C．若α⊥γ，α⊥β，则β//γ D．若m⊥β，m//α，则α⊥β 本题主要考查空间中线线、线面、面面的位置关系，可以依据具体的模型(如正方体)，对命题的真假作出判断． 结合具体的模型，或画出几何图形，容易判断A、B、C是假命题，故选D.

  3. 解决此类问题一般用排除法，借助具体的几何模型，并且让模型中的直线和平面“动一动、移一移”举出反例，从而得出正确的结论．解决此类问题一般用排除法，借助具体的几何模型，并且让模型中的直线和平面“动一动、移一移”举出反例，从而得出正确的结论．

  4. 【变式训练】(2011 · 5月宁波中学模拟)给出下列命题，其中正确的_____________. ①垂直于同一条直线的两条直线一定平行； ②空间中如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补； ③已知a，b是异面直线，c∥a，那么b与c一定是异面直线； ④若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ⑤过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑥两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．

  5. 对于①，垂直于同一条直线的两条直线可能异面，也可能相交；对于①，垂直于同一条直线的两条直线可能异面，也可能相交； 对于②，空间中如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角可能不相等且不互补； 对于③，已知a，b是异面直线，c∥a，那么b与c可能共面； 对于⑤，过直线外一点，有无数条直线与已知直线垂直； 对于⑥，两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线可能相交或异面． 故填④.

  6. 2.线面关系 【例2】(2010·北京卷) 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF所在的平面互相垂直， EF//AC，AB= ，CE=EF=1. (1)求证：AF//平面BDE； (2)求证：CF⊥平面BDE. 证明线面平行(垂直)需转化为证明线线平行(线线垂直)．

  7. (1)设AC与BD相交于点G. 因为EF∥AG，且EF=1，AG= ,AC=1， 所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG. 因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE. (2)连接FG.因为EF∥CG，EF=CG=1，且CE=1， 所以平行四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG. 因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC. 又因为平面ACEF⊥平面ABCD， 且平面ACEF∩平面ABCD=AC， 所以BD⊥平面ACEF，所以CF⊥BD. 又BD∩EG=G，所以CF⊥平面BDE.

  8. 1．证明线面平行的常用方法：(1)由线线平行证明线面平行；(2)由面面平行证明线面平行．1．证明线面平行的常用方法：(1)由线线平行证明线面平行；(2)由面面平行证明线面平行． 2．证明面面垂直的常用方法：(1)由线面垂直证明面面垂直；(2)证明所成二面角为直角．

  9. 【变式训练】如图所示，在矩形ABCD中， AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为 CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证： (1)AE∥平面BFD； (2)AE⊥平面BCE.

  10. (1)由题意可得，G是AC的中点，连结FG. 因为BF⊥平面ACE，则CE⊥BF. 又BC=BE，所以F是EC的中点． 在△AEC中，FG∥AE. 又FG⊂平面BFD，AE ⊄平面BFD， 所以AE∥平面BFD. (2)因为AD⊥平面ABE，AD∥BC， 所以BC⊥平面ABE，则AE⊥BC. 又因为BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，BC∩BF=B， 所以AE⊥平面BCE.

  11. 3.面面关系 【例3】(2010 · 12月柯桥中学模拟)如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC， 且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°， 求证：平面ABC⊥平面BSC. 本题是面面垂直的证明问题．一条是从面面垂直的判定出发，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线．但图中没有现成的这样的直线，故需作辅助线．另一条是从定义出发的思路，即证明两个平面所成的二面角是直二面角．

  12. 本题揭示的是证面面垂直常用的两种方法．此外，本题中证明∠AOS=90°的方法较为特殊，即通过“算”，定量地证得直角，而不是通过位置关系定性地推理出直角，这也是立体几何中证明垂直的一种重要方法．

  13. 1．关于空间中线线、线面、面面的位置关系的客观题，一般用排除法．借助具体的几何模型，并且让模型中的直线和平面“动一动、移一移”举出反例，从而得出正确的结论． 2．(1)证明平行的基本思路： 线线平行⇔线面平行⇔面面平行； (2)证明垂直的基本思路： 线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直．

  14. 3．探究性问题的常用思路：(1)联想相关的性质、定理，从特殊到一般进行分析、归纳，猜想一个充分条件，然后再加以证明；(2)先假设结论成立，能够推出什么样的必要条件，然后证明推出的必要条件具有充分性，但这种思考方法只适用于所求的是充分条件．

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