FRAKTÁLOK

1. FRAKTÁLOK

2. Mi a fraktál? • Olyan ponthalmaz (alakzat), amelyet úgy lehet részekre bontani, hogy minden rész egy kisebb méretű másolata az egésznek (legalábbis megközelítőleg). • önmagához hasonló • Benoit Mandelbrot (1924-2010) adta a fraktál nevet (fractus - latin), jelentése: szabálytalan, töredezett

3. Önhasonlóság Az alakzat olyan kisebb részekből áll, amely részek hasonlóak az alakzathoz (ezeknél a példáknál ez nem egészen van így )

4. Konstrukció iterációval

5. Példák fraktálokra I. A Cantor-halmaz: Sierpinski-féleháromszög(1915)(a Cantor-halmaz síkbeli megfelelője) Koch-féle görbe (hópehely):

6. Példák fraktálokra II. Mandelbrot halmaz:

7. Mire alkalmazhatók a fraktálok? Alkalmasak bizonyos objektumok leírására, mint pl. felhők, hegyek, növények, amelyek egyszerű geometriai formáknak nem felelnek meg.

8. Példák természetes „fraktálokra”

9. Matematikai „definíció” Fraktál : • Finom struktúrája van • Túl szabálytalan ahhoz, hogy leírható legyen a klasszikus geometriában • Önhasonló (esetleg csak közelítőleg, vagy statisztikusan) • Olyan halmaz, aminek a fraktál dimenziója nagyobb a topológiai (euklideszi) dimenziójánál.

10. Topológiai dimenzió Pont – 0, egyenes – 1, sík – 2, tér - 3 Egy H halmaz topológiai dimenziója(lefedési dimenzió). Egy elszigetelt pontokból álló halmaz dimenziója 0, mert a pontok kellően szűk környezeteit véve semelyik kettőnek nem lesz közös része. Egy vonal dimenziója 1, mert mindig lefedhető kellően kis körökkel úgy, hogy azokat "felfűzzük" a vonal mentén, és egyszerre mindig csak kettő találkozik. Az n-dimenzióseuklideszi tér lefedési dimenziója n.

11. Fraktál dimenzió Tegyük fel, hogy a H halmaz N darab hasonló részből áll, amelyek s-szeres kicsinyítései H-nak.

12. Nem fraktálok dimenziója N= 2 db hasonló rész s= 2-szeres kicsinyítése az egésznek Pl.: egyenes szakasz Pl.: négyzet N= 4 db hasonló rész s= 2-szeres kicsinyítése az egésznek Pl.: kocka N= 8 db hasonló rész s= 2-szeres kicsinyítése az egésznek

13. Fraktálok dimenziója N= 4 db hasonló rész s= 3-szoros kicsinyítése az egésznek A Koch-féle görbe A Sierpinski háromszög N= 3 db hasonló rész s= 2-szoros kicsinyítése az egésznek

14. Feladatok Sierpinski-szőnyeg Mekkora a fraktálok dimenziója? N= 8 db hasonló rész s= 3-szoros kicsinyítése az egésznek N= 6 db hasonló rész s= 3-szoros kicsinyítése az egésznek

15. Mandelbrot-halmaz Azon c komplex számok halmaza, amelyekre a z0 = 0, zi+1 = zi2+c iteráció eredménye nem a végtelenbe konvergál. (|c|=<2) majdnem önhasonló

16. Azon z komplex számok halmaza, amelyekre a z0 = z, zi+1 = zi2+c iteráció eredménye nem a végtelenbe konvergál (c itt paraméter, azaz minden c-hez tartozik egy Julia-halmaz). Julia-halmazok c = 0.75

17. Julia-halmaz II.

18. Különféle c értékekre. Julia-halmazok

19. Fraktál hegyek Osszunk egy háromszöget három rész-háromszögre, mozdítsuk el a középpontokat. Ismételjük meg a folyamatot a rész-háromszögekre, stb. A sík pontjaihoz rendeljünk magassági értékeket annak megfelelően, hogy hány háromszög fedi azokat le; melyik a legkisebb lefedő háromszög.

20. Fraktál hegyek

21. Plazma felhők Hasonló a fraktál hegyeknél alkalmazott módszerhez, csak itt négyzeteket osztunk részekre és a végén nem magassági, hanem fényességi értékeket készítünk.

22. Fraktál növény

23. 3D fraktálok Térbeli Julia-halmaz Menger-szivacs Mekkora a dimenziója? 27-a 6 db lapközép kocka-1 db középső kocka= 20