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Pfadintegrale

Pfadintegrale. Victoria Zinyuk Seminar zur theoretischen Quantenmechanik. Inhaltsübersicht. Lagrange Formalismus Überleitung zur Quantenmechanik Idee des Pfadintegrals Berechnung des Pfadintegrals Bsp.: Harmonischer Oszillator

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Presentation Transcript

  1. Pfadintegrale Victoria Zinyuk Seminar zur theoretischen Quantenmechanik

  2. Inhaltsübersicht • Lagrange Formalismus • Überleitung zur Quantenmechanik • Idee des Pfadintegrals • Berechnung des Pfadintegrals • Bsp.: Harmonischer Oszillator • Vorteile der Pfadintegralformulierung

  3. Lagrange Formalismus Man betrachte generalisierte Koordinaten in welche die Zwangsbedingungen eingearbeitet sind Lagrangefunktion: Aus dem Prinzip der minimalen Wirkung wird mittels Variationsrechnung die Euler-Lagrange-Glg hergeleitet Euler Lagrange Gleichung : Wirkung:

  4. Bezug zur Quantenmechanik • Klassische Mechanik: Wirkung extrem → ein ausgezeichneter Weg • QM: Alle möglichen Wege tragen zur Gesamtamplitude bei • Jeder Weg trägt gleiche Amplitude bei, aber bei unterschiedlicher Phase • Die Phase ist durch die klassische Wirkung S in Einheiten von ħ gegeben

  5. Die Idee des Pfadintegrals • Übergangsamplitude von y nach x : Integral über alle möglichen Wege (Pfade) mit noch zu bestimmendes Funktional noch zu bestimmender Integrationsmaß

  6. Bestimmung: Funktional & Integrationsmaß • Übergangsamplitude: Freies Teilchen • Übergangsamplitude: Teilchen im beliebigen nur ortsabhängigem Potential Näherung für kleine Zeiten • Erweiterung auf beliebige Zeiten

  7. Freies Teilchen

  8. Teilchen Im beliebigen nur vom Ort abhängigen Potential Näherung für kleine t =ε

  9. Erweiterung auf beliebige Zeiten Die Zeit im unendlich viele infinitesimale Zeitabschnitte unterteilt, analog dem Riemannintegral.

  10. Rückschluss auf die klassische Wirkung

  11. Das Pfadintegral

  12. Bsp.: Harmonischer Oszillator

  13. Nachtrag zur Funktionalableitung:

  14. Vor- und Nachteile der Pfadintegralformulierung

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