vektorer l.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Vektorer PowerPoint Presentation
Download Presentation
Vektorer

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 32

Vektorer - PowerPoint PPT Presentation


  • 136 Views
  • Uploaded on

Vektorer. Gjenfinningssystemer og verktøy II. Jon Anjer. Punkter i planet. P = (3, 2). Punkter i planet angis ved koordinater i et aksekors, der vi har en x-akse (vannrett) og en y-akse (loddrett). P. Avstand mellom punkter i planet. Q. c. b.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Vektorer' - kalani


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
vektorer

Vektorer

Gjenfinningssystemer og verktøy II

Jon Anjer

punkter i planet

Punkter i planet

P = (3, 2)

Punkter i planet angis ved koordinater i et aksekors, der vi har en x-akse (vannrett) og en y-akse (loddrett)

P

avstand mellom punkter i planet

Avstand mellom punkter i planet

Q

c

b

Avstand mellom punkter i planet regnes ut ved hjelp

av Pytagoras setning

a

P

avstand mellom p og q

Avstand mellom P og Q

Vi har to punkter P = (p1, p2) og Q = (q1, q2) Da blir:

a = q1 - p1 = 5 - 1 = 4

b = q2 - p2 = 4 - 1 = 3

Q = (5, 4)

c

b

P = (1, 1)

a

punkter i rommet

Punkter i rommet

Punkter i det tredimensjonale rommet angis ved koordinater langs en x–akse (vannrett), en y–akse (loddrett), og en z–akse på tvers av disse to:

P = (p1, p2, p3)

Tilsvarende defineres punkter i flerdimensjonale rom. Her er det vanskelig å forestille seg rommet:

P = (p1, p2, p3, ...., pn)

avstand mellom p og q6

Avstand mellom P og Q

Hvis vi har to punkter i planet P = (p1, p2) og Q = (q1, q2), blir avstanden mellom dem:

Generelt: Hvis vi har to punkter P = (p1, p2, ... pn) og Q = (q1, q2, ... qn) , blir avstanden mellom dem:

hva er en vektor
Hva er en vektor?

En vektor er et linjestykke med retning

Lengden og retningen bestemmer vektoren, slik at to vektorer med samme retning og lengde regnes som like:

hva brukes vektorer til
Hva brukes vektorer til?
  • I fysikken
    • fart (den har størrelse og retning)
    • akselerasjon (størrelse og retning)
  • I bibliotekfag
    • dokumenter (angivelse av indekstermer, med vekting)
    • søkespørsmål (angivelse av indekstermer, med vekting)
uttrykke vektorer
Uttrykke vektorer

Vektorer har ingen éntydig plassering, men vektoren som starter i origo, er standardplasseringen.

Vektorer skrives vanligvis med en pil over, og uttrykkes ved koordinatene til punktet der den ender, hvis den starter i origo:

lengden av en vektor i planet

Lengden av en vektor regnes ut på samme måte som avstand mellom to punkter. Vektoren [a, b] starter i origo og går til punktet (a, b). Som vi så tidligere blir lengden

Eksempel, der [a, b] = [4, 3]:

Lengden av en vektor i planet

(a, b)

c

b

a

(0, 0)

trigonometriske funksjoner

I en rettvinklet trekant er

sinus til en vinkel forholdet mellom motstående katet og hypotenusen

cosinus til en vinkel forholdet mellom hosliggende katet og hypotenusen

Trigonometriske funksjoner

c

b

a

v

inverse funksjoner

Inverse eller motsatte funksjoner har den egenskapen at dersom funksjonsverdien er gitt, kan man finne argumentet.

Eksempel: Hvis vi vet at cosinus til en vinkel er 0,5 kan vi finne vinkelen som cos-1 0,5

Inverse funksjoner

c

b

a

v

inverse funksjoner14

Inverse funksjoner

To inverse funksjoner opphever hverandre.

Eksempler:

Gange med 2, dele på 2

Legge til 4, trekke fra 4

Finne cosinus til vinkel, finne vinkel når cosinus er gitt

Trekke ut kvadratrot, opphøye i andre potens

kalkulator

Kalkulator

Det er nødvendig med kalkulator somhar cos-1

Kalkulatoren på nettet har dette (ligger under felles programmer, tilbehør)

kalkulator16

Kalkulator

Kalkulatoren regner ut funksjonen cos-1 slik:

Skriv inn cosinus-verdien

Klikk på boksen foran ”Inv”

Klikk på cos

cos -1 0,5 = 60°

lengden av en vektor i rommet

Lengden av en vektor i det tredimensjonale rommet regnes ut på samme måte som avstand mellom to punkter. Vektoren [a1, a2, a3] starter i origo og går til punktet (a1, a2, a3). Lengden blir:

Tilsvarende for flere dimensjoner:

Lengden av en vektor i rommet

det generelle tegnet for summering

Tegnet  er en stor gresk S, Sigma, og betyr at man skal summere. F.eks. betyr ” a” summen av alle aktuelle a-er.

For å gjøre det helt klart hvilke ”a-er” som skal summeres, vises det eksplisitt. Uttrykket nedenfor leses ”Summen av ai fra og med i er lik 1 til og med n”

Det generelle tegnet for summering

summere vektorer
Summere vektorer

Vektorer summeres ved å legge sammen koordinatene:

Eksempel:

Tilsvarende legges koordinatene sammen ved summering av vektorer i flere dimensjoner

multiplisere vektorer med tall
Multiplisere vektorer med tall

Vektorer multipliseres med tall ved å multiplisere tallet med hver av koordinatene:

Eksempel:

multiplisere to vektorer med hverandre
Multiplisere to vektorer med hverandre

Vektorer multipliseres med hverandre ved å multiplisere samsvarende koordinater med hverandre og summere

Eksempel:

skalarprodukt
Skalarprodukt

Resultatet når vi multipliserer samsvarende koordinater med hverandre og summerer, kalles skalarprodukt

Nytt eksempel:

dokumentvektorer og s kevektorer
Dokumentvektorer og søkevektorer

I bibliotekfag brukes særlig vektor-typene

  • dokumentvektorer (angivelse av indekstermer, evt. med vekting)
  • søkevektorer (angivelse av indekstermer, evt. med vekting)

Hver av koordinatene angir om indekstermen er aktuell for vedkommende dokument/søkespørsmål

Ved vekting angis vekten (evt. negativ vekt i søkevektor), men det vanligste er å angi forekomst av indekstermen med 1, ikke forekomst med 0

dokumenter og termer
Dokumenter og termer

La oss anta at vi har en database der disse termene er brukt

  • Sauer Term 1
  • Geiter Term 2
  • Fôring Term 3
  • Norge Term 4
  • Sykdommer Term 5

Dette gir dokumentvektorene:

  • Fôring av geiter [0, 1, 1, 0, 0]
  • Sykdommer hos sauer og geiter [1, 1, 0, 0, 1]
  • Norske sauer [1, 0, 0, 1, 0]
  • Fôring av syke sauer [1, 0, 1, 0, 1]
  • Fôring av sauer og geiter [1, 1, 1, 0, 0]
likhet mellom dokumenter og termer
Likhet mellom dokumenter og termer

I databasen finnes disse termene:

  • Sauer, Geiter, Fôring, Norge, Sykdommer

Dessuten dokumenter (med tilhørende dokumentvektorer)

  • Fôring av geiter [0, 1, 1, 0, 0] (dokument 1)
  • Sykdommer hos sauer og geiter [1, 1, 0, 0, 1] (dokument 2)
  • Norske sauer [1, 0, 0, 1, 0] (dokument 3)
  • Fôring av syke sauer [1, 0, 1, 0, 1] (dokument 4)
  • Fôring av sauer og geiter [1, 1, 1, 0, 0] (dokument 5)

La oss søke etter dokumenter om fôring av geiter.

Dette gir søkevektoren: [0, 1, 1, 0, 0]

Skalarproduktet mellom søkevektor og dokumentvektorene blir:

Dokument 1: [0, 1, 1, 0, 0] • [0, 1, 1, 0, 0] = 2 (i både dokument- og søkevektor)

Dokument 2: [1, 1, 0, 0, 1] • [0, 1, 1, 0, 0] = 1

Dokument 3: [1, 0, 0, 1, 0] • [0, 1, 1, 0, 0] = 0

Dokument 4: [1, 0, 1, 0, 1] • [0, 1, 1, 0, 0] = 1

Dokument 5: [1, 1, 1, 0, 0] • [0, 1, 1, 0, 0] = 2

likhet mellom dokumenter og termer32
Likhet mellom dokumenter og termer

Skalarproduktet gir likhet mellom dokumentvektor og søkevektor i form av hvor mye de har felles

Vi kan også regne vinkelen mellom vektorene, og de gir et bilde av forskjellene

(termer som finnes i den ene, men ikke i den andre)

La oss se på dokumentvektoren for

  • Fôring av sauer og geiter [1, 1, 1, 0, 0] (dokument 5)

Søkevektoren dekker:

  • Fôring av geiter [0, 1, 1, 0, 0]

Lengden av søkevektoren

Lengden av dokumentvektoren

Skalarproduktet har vi regnet ut som: [1, 1, 1, 0, 0] • [0, 1, 1, 0, 0] = 2

Vinkelen blir: