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第二章 三角函數

第二章 三角函數. 2-1 有向角及其度量 2-2 三角函數的定義 2-3 任意角的三角函數 2-4 三角函數的圖形 2-5 複角的三角函數. 回總目次. 2-1 　有向角及其度量. 1. 有向角 2. 六十分制與弧度制 3. 同界角 4. 扇形的弧長與面積. 在一平面上， 為一條固定的射線， 為一條可動的射線， 由 開始，繞著 O 點轉動某一角度後，則 ∠ POA 稱為 有向角 。. 有向角. 六十分制與弧度制. 同界角. 凡是有相同始邊與相同終邊的有向角，稱為 同界角 。

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第二章 三角函數

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  1. 第二章 三角函數 • 2-1 有向角及其度量 • 2-2 三角函數的定義 • 2-3 任意角的三角函數 • 2-4 三角函數的圖形 • 2-5 複角的三角函數 回總目次

  2. 2-1　有向角及其度量 1. 有向角 2. 六十分制與弧度制 3. 同界角 4. 扇形的弧長與面積

  3. 在一平面上， 為一條固定的射線， 為一條可動的射線， 由 開始，繞著O 點轉動某一角度後，則 ∠POA 稱為有向角。 有向角

  4. 六十分制與弧度制

  5. 同界角 凡是有相同始邊與相同終邊的有向角，稱為同界角。 如圖所示，與′皆為同界角。 若與′為同界角，則−′=2nπ， n為整數。

  6. 扇形之弧長：L = r‧ • 扇形之面積：A = r2‧ • = r‧L • 要特別注意，此處之角以弧度為單位。 扇形的弧長與面積

  7. 2-2　三角函數的定義 1. 三角函數的定義 2. 三角函數的表示 3. 三角函數的恆等關係 4. 30o、45o與60o的三角函數值

  8. ∠A的餘切= cot A = ∠A的正割= sec A = ∠A的餘割= csc A = ∠A的正弦= sin A = ∠A的餘弦= cos A = ∠A的正切= tan A = 三角函數的定義

  9. 三角函數的表示 一般函數皆以 f ( x )表示之，所以三角函數理應以sin(A)表示之，但為了方便起見，可將三角函數中的小括號省略不寫，即sin(A)=sinA或cos()=cos。 (sinA)n記做sinnA。 (cosA)n記做cosnA。 此處n均為自然數，如(sinA)2=sin2A，(cos)3=cos3，但是sin2A≠ sinA2，cos3≠ cos3。

  10. (2) 商數關係 tan= cot= (3) 平方關係 sin2+cos2=1 tan2+1=sec2 1+cot2=cec2 (1) 倒數關係 sin ‧csc=1 cos‧sec=1 tan ‧cot=1 三角函數的恆等關係

  11. 30o 、45o與60o的三角函數值

  12. 2-3　任意角的三角函數 1. 任意角的三角函數定義 2. 三角函數值正負關係表 3. 三角函數值正負關係圖 4. 0o、90o、180o與270o的三角函數值 5. 化第二象限角為銳角

  13. 設為一個標準位置角，在它的終邊上任取一異於原點之P點，令其坐標為P(x,y)， ，則六個三角函數定義如下： 任意角的三角函數定義

  14. 三角函數值正負關係表

  15. 三角函數值正負關係圖

  16. 0o、90o、180與270o的三角函數值

  17. 第二象限角，我們可以用π−表示，也可以用 +表示。但建議大家，若無硬性規定，最好用π−即可，因為用π−之形式，題目與答案的三角函數都一樣，但是用 +之形式，題目與答案之三角函數需要正、餘函數對調，即 sin變成cos，cos變成sin，tan變成cot，其餘的依此類推。 化第二象限角為銳角

  18. 2-4　三角函數的圖形 1. 週期函數 2. 正弦函數y = sin x的圖形 3. 餘弦函數y = cos x的圖形 4. 正切函數y = tan x的圖形 5. 正割函數y = sec x的圖形 6. 餘割函數y = csc x的圖形 7. y = sin x和y = 2sin2 x的圖形

  19. 自變數均為實數的函數 f，如果有一實數 p，使得定義域中任何 x 恆有 f (x+p)= f (x)，我們稱 f為週期函數。滿足 f (x+p)= f (x)之最小正數 p，就稱為f (x)的週期。 f (x)為週期函數，且週期為 p，則 1.f (kx)之週期為 2.f (kx+m)之週期為(其中k > 0，m為常數) 週期函數

  20. 正弦函數y = sin x的圖形

  21. 餘弦函數y = cos x的圖形

  22. 正切函數y = tan x的圖形

  23. 正割函數y = sec x的圖形

  24. 餘割函數y = csc x的圖形

  25. y = sin x 和 y = 2sin2 x的圖形 在同一平面坐標上，畫y =sin x 與y =2sin2x 的圖形。 y =2sin2x 的函數值範圍為−2至2，週期為2π÷ 2=π

  26. 2-5　複角的三角函數 1. 函數的性質 2. 複角公式1 3. 複角公式2 4. 複角公式3 5. asin θ +b cos θ 的極值

  27. 函數的性質 一般函數有如下的性質：f (x+y)≠f (x)+f (y)，同理sin，cos，tan等亦為函數符號，故若αβ≠0，則sin(α+β)≠sinα+cosβ，其餘的三角函數也要注意同樣情況。

  28. 複角公式1 • 1.sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ • 2.sin (α−β) = sinαcosβ −cosαsinβ

  29. 複角公式2 • 3. cos(α+β) = cosαcosβ − sinαsinβ • 4. cos(α−β) = cosαcosβ+ sinαsinβ

  30. 5.tan(α+β) = 6.tan(α−β) = 複角公式3

  31. 利用兩角之和、差公式，可將f () = asin+bsin 變形成 f ()= rsin(+α)或f () = rcos(+α)，此處r = 故 f ()= asin+ bsin之最大值為 ，最小值為 。 a sinθ + b cosθ的極值

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