基础与创造

基础与创造 --中国数学教育的明天华东师范大学数学系张奠宙 2005. 1.14 杭州 4

东西方数学教育的融合 趋势：相互学习，寻求平衡。 • 西方：强调个性创造 • 东方：重视统一基础 “基础 + 创新”= 优质教育 4

课程教学改革的五大关系 • 教育部副部长陈小娅主持会议（中国教育报报道， 2004年2月） 1。基本知识、基本技能和创新的关系 2。接受性学习和探究性学习的关系 3。学科系统和学科交叉的关系 4。个人思考和合作学习的关系 5。城市和农村的关系基础 + 创造 4

国际数学教育大会7月在丹麦召开 • 没有新的口号数学家和数学教育之间的平衡数学教育力量与实践之间的平衡数学接受学习和建构主义之间的平衡 • 中国参加者增加。列第三位。45分钟演讲：张奠宙、戴再平：“中国的双基教学和开放题”。刘意竹：教科书的编写小组召集人：李俊、鲍建生；范良火，蔡金法。 • 2008年在墨西哥城 4

张奠宙、戴再平在哥本哈根演讲：中国的数学双基教学与开放题张奠宙、戴再平在哥本哈根演讲：中国的数学双基教学与开放题 4

新书一《华人如何学习数学》 • 中国人第一本英文数学教育著作主编范良火、黄毅英蔡金法、李士奇（顾问：张奠宙李秉彝林福来，顾泠沅）用中国人的眼光看数学教育（新加坡世界出版社出版.2004 中译本：江苏教育出版社） 4

新书二 十五规划教材实践篇–理论篇附光盘第六章数学教育基本理论弗赖登塔尔教育理论波利亚教育理论建构主义教育理论中国数学双基教育理论 4

中国双基数学推向国际 • 7月9日，哥本哈根演讲 • 9月，双基教学收入《华人如何学习数学》（英文版） • 10月9日韩国演讲 • 12月10日南宁高级研讨班：基础和创造 • 2005年8月10日在华东师范大学召开第三次东亚数学教育会议：基础与创新 • 呼唤中国的数学教育理论！ 4

澳大利亚教授研究： • “华人学习者(Chinese Learner) • 中国人如何研究自己？ 4

悼念陈省身先生 • 2004年11月29日《文汇报》刊登《数学大师谈数学教育.我们要有自信》张：最近以来，中国向国外的流行教育理论学习，引进了很多“后现代主义”的教育理论。结果是认为中国的数学教育很落后，美国是数学教育才是先进的。陈：中国千万不要学习美国的数学教育。中国的数学教育在实践上肯定比美国好。事实胜于雄辩。中国好不容易有一项比美国好的数学教育成绩，为什么自己不珍惜、不总结呢？ 4

数学教育的明天 • 第一部分与时俱进的数学观 • 第二部分优秀的数学教育案例 • 第三部分中国的双基数学教育 • 第四部分一些数学教育理论的再认识 4

第二部分:与时俱进的数学观 学习数学为了会算帐；学习数学为了会推理；学习数学为了能考试；学习数学为了提高公民素养。 4

数学是一种文明 • 数学不只是事实的堆砌； • 数学不限于技巧的运用； • 数学解题不等于创造； • 数学整体不等于数学杂技。数学价值的领会； • 数学考试只是把别人已经做过的题目重做一遍而已。 • “学如箭镞，才如弓弩，识以领之，方能中鹄”。 • 数学思想、观念的突破性创新，是对数学文明的主要推动力。 4

学习数学三个境界 • 功利性目标：应付考试 • 素养性目标：欣赏数学 • 奉献性目标：研究数学。 • 数学水平是一个国家军事、经济、文化水平的标尺之一。世界数学格局：美国领先，西欧随后，日本在迎头赶上，中国是一个未知数。 4

四个数学高峰 1。古希腊。严谨、公理化 2。牛顿：微积分。不严密，有用，合理 3。希尔伯特：形式化。布尔巴基：结构 4。信息时代：计算机数学。走出布尔巴基学派的光环！ 4

数学 = 逻辑 = 公理化？？？ • 停留在第三阶段，还没有进入第四高峰 • 光彩照人的女王，用 X 光的眼睛看，是一副骷髅！ • 数学进入数字化时代。数学是可以直接产生经济效益的技术。 • 做“好”的基础数学。 4

绪论：五个例子 • 新奇的现代数学：分形。 • 红楼梦的作者是谁？ • 王选的数据压缩技术 • 身份证的检验码 • 三根导线的长度 4

第一个例子：曼德波劳特集.分形， 混沌，…… • 原理， zk+1 = zk2 + c • 一个二次函数的迭代所生成 4

Modeling with Algebra 一位女生在打排球时膝盖受伤。她的医生要她在10天内每8小时服用两粒220毫克的药片，以减轻伤痛。如果她的身体每8小时吸收60%的药物，那么10天后，她身体中还有多少毫克的药物？ 19

下时段= 0.4(现在) + 440, start at 440 a1 = 440 and an + 1 = 0.4an + 440 for 1 ≤n ≤ 31 用代数方法建模 20

第二个例子：红楼梦的作者是谁？ • 复旦大学和美国威斯康星大学合作研究红楼梦的作者问题。 • 方法：用47个虚字出现的频率作为标志（的了吗呢，之其或亦，可使就但……）结果：前80回和后四十回有交叉。前80回插入《风月宝鉴》及其他…… 4

第三个例子。信息：数学对象？ • 数学文化：仙农(Shannon)发表信息论（1948） • 一.信息量烽火台. 传送一个信息量 log2 2 =1. 两个烽火台. 1. 敌人来? 2.要否补给? 四种情况. log2 4 =2. 信息是 0,1 符号串. • 二 . 概率和信息量: “狗咬人”“人咬狗”. “今天太阳升起”, “今天日食”. 事件的概率P(E)大, 传送此事件的信息量H(E)小. H(E) = 1/ P(E)?H(E) = - P(E) log2 P(E). • （对数一章的数学文化内容） 4

Ai:表示第i位置上的身份证号码数字值Wi:表示第i位置上的加权因子第四个例子十七位数字本体码加权求和公式Ai:表示第i位置上的身份证号码数字值Wi:表示第i位置上的加权因子第四个例子十七位数字本体码加权求和公式 • （1）S = Sum(Ai * Wi), i = 0, ... , 16 ，先对前17位数字的权求和Wi: 7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 4 2 （2）计算模 Y = mod(S, 11)（3）通过模得到对应的校验码Y: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10校验码: 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2举例如下：北京市朝阳区:11010519491231002X • 7+9+0+5+0+20+2+9+24+27+7+18+30+5+0+0+4=167. 167除11，余2，对应X 4

国际书号与检验 《数学教育概论》的书号和商品号 • 书号ISBN 共10位数字 • （例如7-04-015538-9） • 其中最后一位是检验码，由前面9个号码确定。 • 方法：加权（10 9 8 7 6 5 4 3 2）相乘作和，加检验码被11除尽。例 • 7x10+0x9+4x8+0x7+1x6+5x5+5x4+3x3+8x2 = 70+0+32+0+6+25+20+9+16=178. 178+9=187 可以被11 除尽。所以最后一位是9。 4

超市商品号的检验码 • 商品号13位数字，最后一位是检验码，加以下的权，相乘之和，在加检验码之后，能被10除尽：权： 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 号： 9 7 8 7 0 4 0 1 5 5 3 8 9+21+8+21+ 0+12+ 0+3+5+15+3+24 = 121。 121 加9 之后能被10除尽。故最后一位是9。 4

第五个例子：三根电线的长度 • 王选，1958年毕业于北京大学数学系 • 从事激光照排，获得中文印刷革命的成功。占据世界中文排版软件市场70%以上。 • 克服汉字排版的关键工作是“数据压缩”。 • 上海51中学陈振宣提供: 他的一个学生在和平饭店做电工。发现地下室到10楼的三根电线不一样长。如何测知他们的电阻？ x + y = a y + z = b z + x = c x y z 数学修养、数学意识。 4

第二部分 • 国际上一些优秀的数学教学案例例子 4

1。巨人的手 • Freudenthal： • 经典情景：黑板上留下巨人的手印，请你为巨人设计为巨人使用的书籍、桌子和椅子的尺寸。比例只是“照片放大”、“地图比例尺”？ 4

2. 三点距离问题（荷兰） • （荷兰）甲离学校10公里，乙离甲3公里，问乙离学校几公里？ • 训练学生的表示能力。 • 甲、乙、学校在一条直线上？没有说。校乙甲乙‘ 坐标。参数。复数。空间余弦定理 4

3。数据分析的灵活性 一个回形针纸飞机的飞行距离 50% 比较两种纸飞机的飞行距离：用一个回形针；用两个回形针。在室内投掷，哪个飞得远？ 40% 30% 相对频率 20% 10% 15 18 21 24 27 30 33 飞行距离（英尺） 30

4。放烟火（Interactive Mathematics Project) • 一元二次函数的单元模型。 • 高楼上放烟火，形成的曲线。 • 顶点 • 落地点 • 与物理的关系：抛物线。 • 大模型，不是一节课的引入问题 4

5。数学和艺术 • 设计一花坛，使它的面积为矩形场地的一半。要求美观。 • 开放度极大。 • 国际数学教育心理学组织（PME）在日本举行时，日本的一堂公开课。 • 日本学生当堂有13种解答。 • 评价：得到不同的5种设计，每种2分。 • 中国可以有这样的公开课吗？ 4

6。多元思考香港某厂业绩年份 90 91 92股东红利 5万 7。5万 10万工资总额10万 12。5万 15万 200% 15 10 5 150% 100% 90 91 92 90 91 92 老板所画工会主席所画公说公有理，婆说婆有理 4

7。概率思考：门后的车 • 1 2 3 • 任选一门（例如 1 号） • 主持人打开无车的门（3号） • 是否要换2 号？ • （考虑100扇门的情形） 4

8。分苹果问题（推广） • 某A在果园摘了一堆苹果，把它的一半加半个给第一个看门人，又将剩下的苹果的一半加半个给第二个看门人。那时只剩下两个苹果了。问原来有几个苹果？ • {x –[（x/2)+(1/2)]}/2 –(1/2) = 2, x = 11. • 两个因子：剩下的苹果数，看门人个数 • 思辨：看门人的苹果比我多一个；A和看门人苹果之和等于上次剩下的苹果 • 1，2；3，4；7，8；15，16； 31，32；63，64 ；... • 2，3；5，6；11，12； 23，24；47，48；95，96；… • 3,4; 7,8;15,16； 31， 32； 63，64；127，128 • 扩展：一半加一个？一半加两个？ 4

9。空间想象能力一例 • 四维空间单位方体的顶点数.棱数, 面数, 三维面数, 四维体数? • 解：顶点数：23 =16。 • 棱数：（16 · 4）/2 = 32 • 二维面：（16· C42）/4 = 24 • 三维面：（16 C43）/8 = 8 • 四维面： 1 • 一般地（2 +1）n = 2n + n2n-1 +… + 1 4

10. 加工资问题。（美国） • 某人在一公司工作，目前年薪为1万元。老板说，这里有两种方案供你选择。第一种，每一年加 1，000元。第二种，每半年加300元。试问，如果你在该公司工作5年，用哪种方案收入多？” • 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 • 一 10 20 30 40 50（150） • 二 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 （165） 4

第三部分 • 我国一些优秀的数学教学案例体现了基础加创造。 • 课程标准中有很多这样的例子。 • 以下是一些补充 4

1。糖水浓度（罗增儒） • a -- 溶液（糖水）； b –溶质（糖） • b/a -- 浓度（甜度） • 现在向糖水中再放糖 m>0，糖水变甜； b/a < (b+m) / (a+m) • b/a = bk/ak < (bk+m)/(ak+m) • 如果 b/a = d/c; 那么两杯一样甜的糖水倒再一起，甜度仍然一样： • b/a = d/c = (b+d)/(a+c) 4

2。钟面问题 • 钟面上12个数字添正负号使其代数和为零。（浙江教材） • 开放题结合“双基”的经典问题。 • 解答很多，可以探究。 4

3。玩坐标：活动教学 • 1。合并同类项。举牌 • 2。用两根绳子构成坐标，一个同学为原点。学生对应坐标，象限、直线y=x. 原点可以变动。 • 3。量楼梯，买地毯（教材已编入）。 4

4。做奖杯：创新型活动 • 做奖杯。用圆锥、柱体、球体做运动会奖杯，每个零件写出尺寸。琳琅满目，发挥艺术特长。 • 用集合的语言表示你画的“米老鼠”的眼睛和耳朵。（圆和直线） 4

5。踢足球和有理数加减。整体（胚胎）教学 • 数学概念的生成如胚胎发育，不是直线型的生长。 • 有理数加减法，踢足球为模型（上下半场、主客场） • 椭圆、双曲线、抛物线一起定义，截圆锥。整体认识。 • 高效。开门见山，积极前进 4

6。月历上的数字：文字代表数 • a, a+1, a+7, a +7 4

7。称体重–平均数 • 三个体重差不多的学生称体重 • 一个胖大，一个中等，一个瘦小先后来称体重。 • 计算两组的体重的平均数和方差，体会它的意义。 4

8。“双基”开放题（戴再平） • 问：以下两式有何公共点 2a2 b3 c 6 & 4 a3 y4 z5 • 可能答案 • 三个变量；常系数；单项式； • 有三次方的变量；有公因子 2a2； ………… 4

9。几何运动上海金汇学校：简单邮路问题 反射邮局共8种不同开口的图形。其中四个由图形A旋转而得到。另外四个由A 反射图形B 及其旋转得到。 A B 旋转旋转反射 4

10。计算机—猜想–证明 • 100以内自然数的等差分拆 • 宁波第一中学江一鸣提出。 1998。 • 答案有限： 1+2+3= 6； 1+3+5=9；2+3+4=9；2+4+6 = 12 ； …… • 计算机程序，可以把全部“分拆”打印出来。 • 然后根据数据做猜想：可等差分拆的书必为合数。（证明） • 开放题的模式也要开放，使用新技术！ 4

第四部分 • 一些数学教育观念的再认识 4

1。数学教学成功的标志 • 主要看是否达到教学目标：学生是否理解和掌握了数学（数学的科学性），包括：数学本质的理解；数学知识的掌握；数学能力的形成。教育方式是手段（现在的标准：学生活跃？合作？用计算机？探究？……游离于数学本身） • 奇谈怪论： • 结果不是最重要的，重要的在于参与； • 知识不是最重要的，重要的在于过程。 a 4

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