Przedziały liczbowe

1. Przedziały liczbowe

2. Spis treści • 1 Przedział domknięty • 2 Przedział otwarty • 3 Przedział lewostronnie (prawostronnie) otwarty • 4 Przedziały nieograniczone • 5 Działania na przedziałach

3. Przedział domknięty • Przykład 1. Pisząc <-4;7> mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy <-50;-20> , będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych od -50 do -20, łącznie z -50 i -20. Podobnie pisząc <a;b> mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od a do b, łącznie z a i b (oczywiście a i b są liczbami rzeczywistymi). Definicja będzie wyglądała tak: Przedział liczbowy         zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób: Zwróćmy uwagę, że krańce przedziałów oznaczyliśmy kółkami zamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i 7 należą do tego przedziału.

4. DEFINICJAPrzedziałem domknietym o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniający warunek             .

5. Przedział otwarty • Przykład 2. Za pomocą ( − 4;7) oznaczamy wszystkie liczby rzeczywiste większe od -4 i mniejsze od 7, podobnie w przedziale (a;b) znajdują się wszystkie liczby, które są większe od a i mniejsze od b. Przedział otwarty różni się od przedziału domkniętego tym, że nie zawiera on liczb a i b. Przedział otwarty ( − 4;7) na osi zaznaczymy w ten sposób: Krańce przedziałów oznaczone zostały kółkami nie zamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i liczba 7 nie należy do tego przedziału. Dodatkowo można narysować linie pod pewnym kątem, podobnie jak to zrobiliśmy na rysunku.

6. DEFINICJA Przedziałem otwartym (a;b) o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek a < x < b.

7. Przedział lewostronnie (prawostronnie) otwarty • Przykład 3. (-4;7> oznacza zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4, ale mniejszych bądź równych 7. Możemy zdefiniować przedział lewostronnie otwarty dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b dla a<b w ten sposób: Przedział        na osi liczbowej zaznaczymy tak: Analogicznie możemy zdefiniować przedział prawostronnie otwarty:

8. DEFINICJA • Przedziałem lewostronnie otwartym (prawostronnie domkniętym) o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek            .

9. DEFINICJA • Przedziałem prawostronnie otwartym (lewostronnie domkniętym) o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek .

10. Przedziały nieograniczone • Przykład 4. Przez              oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4 (łatwo zauważyć, że wszystkie liczby są mniejsze od     ). Podobnie wszystkie liczby rzeczywiste większe bądź równe -4 będziemy oznaczać przez             . • Do oznaczania przedziałów nieograniczonych wykorzystujemy symbol nieskończoności -- Przedział           możemy zaznaczyć na osi liczbowej w ten sposób:

11. DEFINICJA • Przedziałem lewostronnie otwartym nieograniczonym nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych od a. Podobnie przedziałem lewostronnie domkniętym nieograniczonym nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych bądź równych a.

12. Przykład 5. oznacza przedział wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych bądź równych 5. Analogicznie przez będziemy oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych od 5. Przedział            analogicznie, jak to robiliśmy w poprzednich przykładach, zaznaczymy na osi liczbowej tak:

13. DEFINICJA • Przedziałem prawostronnie otwartym nieograniczonym nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych od a. Podobnie przedziałem prawostronnie domkniętym nieograniczonym nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych bądź równych a.

14. Działania na przedziałach • Przykład 6 • Wyznaczmy        ,        ,       ,        , A' i B', gdzie               , a B = (1;4) • Zaznaczmy najpierw oba przedziały na osi liczbowej: Ponieważ przedział jest zbiorem, więc możemy wyznaczać między innymi sumę, iloczyn czy też różnicę przedziałów. • Z rysunku widzimy, że: