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超静定梁 理学院工程力学系

RB RA Rc P A B C P A B f 一、问题的提出静定梁：梁的支反力可由静力平衡方程全部确定的梁超静定梁：梁的未知力数目超过平衡方程数目的梁多余约束：多余维持梁静力平衡所必需的约束超定次数＝未知力个数－平衡方程个数

举例

二、分析问题 • 超静定问题的解决方法 ①分析变形相容条件 ②通过物理关系建立补充方程 ③联立静力平衡方程求解

RA q MA A B RB RB q 解除 B 端约束，施加相应的支反力RB，得到原超静定梁的基本静定系，简称静定基。解： B A fBq q A B fBRB A B RB 例1.图示抗弯刚度为EI的一次超静定梁，长度为L受均布载荷q的作用，解此超静定梁。 • 结合实例分析超静定梁的解法用叠加法分析B点的挠度： fB＝fBq＋fBRB

qL4 fBq＝ ( ) 8EI RBL3 fBRB＝ ( ) 3EI RBL3 qL4 —— 3EI 8EI = 0 （补充方程） 5 1 由平衡方程解得 RA＝－qL，MA＝－qL2 3 解得：RB＝－qL (正号表其指向与假设一致) 8 8 8 • 根据原超静定梁的变形相容条件 fB＝fBq＋fBRB=0 • 根据静定基的力与挠度间的物理关系规定向上为正

q q A B A B - - + 比较静定结构与超静定结构的弯矩图（2）（1）比较可知，采取超静定结构降低了梁的最大弯矩，提高了梁的强度

q A B MA ？另解： • 选择超静定梁的静定基是唯一的吗 • 取支座 A 处阻止该梁端面转动的约束作为 “多余” 约束，得到如图的静定基。 • 变形协调方程分析 A 端在MA、q作用下的转角 θA＝ θAq＋ θAMA ＝ 0

qL3 θAq ＝（） 24EI MAL θAMA＝（） 3EI qL3 MAL －＝ 0 3EI 24EI 1 MA＝— qL2 8 • 物理方程规定逆时针为正求得，

q A B qc左= qc右 C MC MC q fA=fAq+fAYA=0 A B YA 静定基的可选取形式：分析变形协调方程

1、根据梁的结构恰当地选取静定基 2、在解除约束处寻找变形协调方程 3、根据力与变形的关系写物理方程 4、由静力平衡方程求出全部约束力 • 超静定梁的解法步骤

A B C D G P 1.选取静定基 A B NBC 2.变形几何方程 NBC’ C G D fB+ LBC= fC P 例2. 悬臂梁AB和简支梁DG均是18号工字钢制成，BC为圆截面钢杆，d=20mm，E=200GPa，AB=DC=CG=2m，若P=30kN，计算梁和杆内的最大正应力及截面C的垂直位移。解：

谢谢大家!

RB RA Rc P A B - + C q q A B MA A B A B RA

q B A fBq q q A A B B A B fBRB A B RB RB RB RA Rc P A C

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