第三章 : 静定梁和静定平面刚架

1. 第三章: 静定梁和静定平面刚架 • §2-1单 跨 静 定 梁§2-2多 跨 静 定 梁 • §2-3静 定 刚 架

2. §3-1 单　跨　静　定　梁 单跨静定梁的类型：简支梁、伸臂梁、悬臂梁 一、截面法求某一指定截面的内力１、内力概念 内力是结构承受荷载及变形的能力的体现，可理解为在各种外因用下结构内部材料的一种响应。内力是看不见的，但可由结构上受有荷载和结构发生变形（变形体）体现。

3. ２、截面法 　 若要求某一横截面上的内力，假想用一平面沿杆轴垂直方向将该截面截开，使结构成两部分；在截开后暴露的截面上用力（内力）代替原相互的约束。 　 对于截开后结构的两部分上，截面上的内力已成为外力，因此，由任一部分的静力平衡条件，均可列出含有截面内力的静力平衡方程。解该方程即将内力求出。

4. ３、截面内力　截开一根梁式杆件的截面上有三个内力（分量），即：轴力ＦN、剪力ＦQ和弯矩Μ 。 １、内力的定义ＦN：截面上平行于截面外法线方向的正应力的代数和，一般以受拉为正。 ＦQ：截面上垂直于截面法 线方向的切应力的代数和，以使隔离体产生顺时针转动为正。Μ：截面上正应力对截面中性轴的力矩代数和，对 梁一般规定使其下部受拉为正。

5. ２）内力计算式（用截面一侧上外力表达的方式）：ＦN＝截面一侧所有外力在杆轴平行方向上投影的代数和。左左为正，右右为正。ＦQ＝截面一侧所有外力在杆轴垂直方向上投影的代数和。左上为正，右下为正。Μ ＝截面一侧所有外力对截面形心力矩代数和。弯矩的竖标画在杆件受拉一侧。

6. 例3-1-1　求图（a）所示简支梁在图示荷载下截面的内力。例3-1-1　求图（a）所示简支梁在图示荷载下截面的内力。 解：1）支座反力 ∑ΜA=0 FBy×4﹣10×4×2﹣100×(4/5)×2=0 Fby=60kN (↑) 　　∑ΜB=0 FAy=60kN (↑) 　　∑Fx= 0 FAx+100×(3/5)=0 FAx=－60kN (← ) 由　∑Ｆy= 0　校核，满足。

7. ２）Ｃ截面内力∑Ｆx=0 ＦNC－60=0 ＦNC=60 kN ∑Ｆy=0ＦQC－60+10×1.5 =0　ＦQC=45kN∑ΜC=0 ΜC－60×1.5－10×1.5×(1.5/2)=0 ΜC＝101.25 kNm（下侧受拉）

8. １）计算支座反力　　去掉梁的支座约束，代以支座约束反力，并假定反力的方向，建立梁的整体平衡方程。１）计算支座反力　　去掉梁的支座约束，代以支座约束反力，并假定反力的方向，建立梁的整体平衡方程。 ２）求C截面的内力　切开过C点的横截面，将梁分成两部分。取左侧部分考虑，其暴露的截面上按规定的内力的正方向将内力示出，建立静力平衡方程。

9. 说明：计算内力要点：１）所取的隔离体（包括结构的整体、截面法截取的局部），其隔离体周围的所有约束必须全部切断并代以约束力、内力。２）对未知外力（如支座反力），可先假定其方向，由计算后所得结果的正负判断所求力的实际方向，并要求在计算结果后的圆括号内用箭线表示实际方向。３）计算截面的内力时，截面两侧的隔离体可任取其一，一般按其上外力最简原则选择。截面内力均按规定的正方向画出。说明：计算内力要点：１）所取的隔离体（包括结构的整体、截面法截取的局部），其隔离体周围的所有约束必须全部切断并代以约束力、内力。２）对未知外力（如支座反力），可先假定其方向，由计算后所得结果的正负判断所求力的实际方向，并要求在计算结果后的圆括号内用箭线表示实际方向。３）计算截面的内力时，截面两侧的隔离体可任取其一，一般按其上外力最简原则选择。截面内力均按规定的正方向画出。 二、荷载与内力的关系　１、内力图概念　表示结构上所有截面的轴力、剪力和弯矩分布的图形称为内力图。 作内力图的最基本的方法是，按内力函数作内力图。　

10. １）建立表示截面位置的x坐标２）取x处的（即K截面）以右部分建立平衡方程　　　∑Ｆy= 0　　得梁ＡＣ段的剪力函数：FQk＝70-20x ( 0≤x≤4) 梁ＡＣ段的剪力图是一条斜直线，取该区段内任意两截面的座标值代入函数，既可画出该区段的剪力图。内力函数是分段的连续函数。

11. ２、荷载与内力的关系 微分关系： dFN/dx=-qx dFQ/dx=-qy dM/dx=Q d2M/dx2=-qy 增量关系： DFN=-FPx DFQ=-FPy DM=m

12. １）微分关系及几何意义： dFN/dx=-qx dFQ/dx=-qy dM/dx=Q d2M/dx2=-qy （１）在无荷载区段，ＦQ图为水平直线； 当ＦQ≠０时，Μ图为斜直线;当ＦQ＝０时，Μ图为水平直线。（２）在均布荷载区段，ＦQ图为斜直线；Μ图为抛 　　物线，且凸向与荷载指向相同。

13. ２)增量关系及几何意义： • DFN=-FPx DFQ=-FPy DM=m • (１）水平集中力FPx作用点两侧截面FN图有突变， 其突变值等于FPx。FQ图和Μ图不受影响。（２）竖向集中力FPy作用点两侧截面FQ图有突变， 其突变值等于FPy。Μ图有折点，其折点的尖角与 FPy方向相同；FN图不受影响。（３）集中力偶Μ作用点两侧截面的Μ图有突变， 其突变值等于Μ；FN图和FQ图不受影响。

14. ３、利用荷载和内力关系的几何意义,可由荷载的分布和类型定性地判断或校核区段上的内力图形状以及突变点和突变值的大小。３、利用荷载和内力关系的几何意义,可由荷载的分布和类型定性地判断或校核区段上的内力图形状以及突变点和突变值的大小。

16. 三、叠加法作弯矩图 1、简支梁的弯矩图叠加法

17. ２、弯矩图叠加的实质：　指弯矩竖标的叠加（而不是图形的简单叠加），当同一截面在两个弯矩竖标在基线不同侧时，叠加后是两个竖标绝对值相减，弯矩竖标画在绝对值大的一侧；当两个竖标在基线同一侧时，则叠加后是两个竖标绝对值相加，竖标画在同侧。　基线接力法概念。３、直杆段弯矩图的区段叠加法直杆区段的弯矩图叠加可利用简支梁的弯矩图叠加法。其步骤是：２、弯矩图叠加的实质：　指弯矩竖标的叠加（而不是图形的简单叠加），当同一截面在两个弯矩竖标在基线不同侧时，叠加后是两个竖标绝对值相减，弯矩竖标画在绝对值大的一侧；当两个竖标在基线同一侧时，则叠加后是两个竖标绝对值相加，竖标画在同侧。　基线接力法概念。３、直杆段弯矩图的区段叠加法直杆区段的弯矩图叠加可利用简支梁的弯矩图叠加法。其步骤是： （１）计算直杆区段两端的最后弯矩值，以杆轴为基线画出这两个值的竖标，并将两竖标连一直线； （２）将所连直线作为新的基线，叠加相应简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。

19. 例3-1-2　作图示简支梁的内力图。 解：（１）求支座反力　　（２）求控制截面内力取截面Ｃ以左： FQC=70-20×4=－10 kN MC=70×4－20×4×2=120kNm (下侧受拉)

20. 取截面ＤＲ以右： 　 ＦQDB＝－50kN ΜＤB＝50×２＝100kNm (下侧受拉)取截面ＤＬ以右： ＦQDC＝－50＋40＝－10kN(3）作内力图

21. 区段叠加法求Ｅ、Ｄ截面弯矩；ΜE＝20×42/8＋120/2＝100kNm (下侧受拉)ΜＤ＝40×4/4＋120/2＝100kNm (下侧受拉)说明：集中力或集中力偶作用点，注意对有突变的　　内力应考虑分两侧截面分别计算。

22. 例3-1-3 求作图示伸臂梁的ＦＱ、Ｍ图。 分析：仅有竖向荷载作用时，梁的内力只有弯矩和剪　力。剪力图的控制截面在Ｃ、ＤＬ和ＤＲ，而弯矩　图取截面Ｃ即可，综合考虑，取控制截面为截面Ｃ、　ＤＬ和ＤＲ。

23. 解：（１）支座反力　梁的整体平衡方程∑ΜＡ=0 FＢy=140.67 kN(↑) ∑ΜＢ=0 FＡy=27.33 kN (↑) ∑Ｆx=0 FＡx= 36 kN (→)由∑Ｆy=0　校核，满足。 （2）计算控制截面的剪力并作FQ图取支座Ｂ以左： FQBC= 60×4/5= 48 kN取支座Ｂ以左：FQBD = 60×4/5 –140.67= － 92.67 kN

24. (3) 计算控制截面的弯矩并作Ｍ图取截面ＣL以左： ＭＣＡ＝27.33×4－20×4×2=－50.68 kNm (上侧受拉)取截面ＣR以左： ＭＣB＝27.33×4－20×4×2+100 =49.32 kNm (下侧受拉)取截面B以右： ＭＣB＝ＭＣB=60×4×2/5 =96 kNm (上侧受拉）

25. 例3-1-4　比较图示斜梁和简支梁的异同。 分析：（１）支座反力相同。（２）两梁的内力由内力函　　数比较简支梁：F0Nx=0F0Qx=ql/2－qxM0x=qlx/2－qx2/2斜梁: FNx= －(ql/2qx)sina = － F0Qx sina FQx=(ql/2－qx)cosa = F0Qx cosa Mx=qlx/2－qx2/2= M0x

27. 单跨静定梁小结 要求：　１）理解内力、内力图的概念；　２）了解梁的主要受力、变形特点；　３）理解并掌握截面法计算内力的方法；　４）熟练掌握用叠加法做直杆段的弯矩图。 本节难点及重点：　１）内力正、负号的判断；　２）叠加法做弯矩图。

28. §3-2　多跨静定梁

29. 多跨静定梁由相互在端部铰接、水平放置的若干直杆件与大地一起构成的结构。一、多跨静定梁的组成及传力特征多跨静定梁由相互在端部铰接、水平放置的若干直杆件与大地一起构成的结构。一、多跨静定梁的组成及传力特征 　　对上图所示梁进行几何组成分析：　　ＡＤ杆与大地按两个刚片的规则组成无多余约束的几何不变体，可独立承受荷载；然后杆ＤＦ和杆ＦＧ也分别按两个刚片的规则依次扩大先前已形成的几何不变体。显然，杆ＤＦ是依赖于Ｄ以右的部分才能承受荷载，而杆ＦＧ是依赖于Ｆ以右的部分才能承受荷载的。或者说，杆ＦＧ被杆ＤＦ支承，杆ＤＦ被杆ＡＤ支承。根据各杆之间这种依赖、支承关系，引入以下两个概念：

30. 基本部分： 结构中不依赖于其它部分而独立与大地形成几何不变的部分。附属部分： 结构中依赖基本部分的支承才能保持几何不变的部分。 把结构中各部分之间的这种依赖、支承关系形象的画成如图示的层叠图，可以清楚的看出多跨静定梁所具有的如下特征： １)组成顺序：先基本部分，后附属部分； ２)传力顺序：先附属部分，后基本部分。 由于这种多跨静定梁的层叠图象阶梯，可称为阶梯形多跨静定梁。

31. 二、多跨静定梁的内力计算　多跨静定梁的内力总能由静力平衡条件求出。关键是按怎样的途径使计算概念清晰、简明。　例3-2-1　计算图示多跨静定梁，并作内力图。二、多跨静定梁的内力计算　多跨静定梁的内力总能由静力平衡条件求出。关键是按怎样的途径使计算概念清晰、简明。　例3-2-1　计算图示多跨静定梁，并作内力图。

32. 解：按层叠图依次取各单跨梁计算 ∑MA=0FCy×4+(10－5×√2×√2/2)×6+20=0 FCy=－12.5kN (↓) ∑MC=０　　FAy×4－20+(5×√2×√2/2－10)×2=0FAy=7.5 kN (↑) ∑Fx= 0FAx+5×√2×√2/2=0 FAx=－5kN (←)

34. 说明：　（１）按层叠图从上往下的顺序，画各单跨梁的受力图，并按这个顺序逐一计算各单跨梁的约束力。说明：　（１）按层叠图从上往下的顺序，画各单跨梁的受力图，并按这个顺序逐一计算各单跨梁的约束力。 杆ＦＧ的约束力有３个，如简支梁的计算。 杆ＤＦ上没有直接作用的外荷载（注意铰Ｄ上作用的集中荷载FP可放在铰的任意侧），但在Ｆ处有杆ＦＧ部分传来的已知约束力FPy。该杆的计算相当于伸臂梁的计算，其上的荷载即是由其上的附属部分由约束处传来的已知约束力。 杆ＡＤ是整个梁的基本部分，有三个与大地相连的待求的支座约束力，其上除了有在Ｄ处由Ｄ以右部分传来的已知约束力，还有直接作用的外荷载FP 和m。该杆仍是伸臂梁的计算。

35. （２） 将所有单根梁的约束力求得后，即可将各单跨梁的内力图作出后汇集，也可先汇集成整体再一次作内力图。注意ＡＣ段上集中力偶作用时弯矩图的叠加特点。（３）当多跨静定梁的附属部分上有外荷载时，该外荷载将使该附属部分产生内力，并传给它以下的基本部分使其也产生内力；当在其基本部分上有外荷载时，该外荷载仅使该基本部分（及以下）产生内力，对其上的附属部分不产生内力。

36. 例3-2-2　分析图示多跨静定梁可分解成单跨梁分别计算的条件，并作梁的FQ、M图。例3-2-2　分析图示多跨静定梁可分解成单跨梁分别计算的条件，并作梁的FQ、M图。

37. 分析：（１）图示梁的荷载以及约束的方向，是竖向平行力系。一个平面平行力系只能列两个独立的平衡方程，解两个未知数。（２）杆ＣＥ有两个与大地相连的竖向支座链杆，当仅在竖向荷载作用下时，可维持这个平行力系的平衡。所以，杆ＣＥ在仅有竖向荷载的作用下，可视为与杆ＡＢ同等的基本部分。分析：（１）图示梁的荷载以及约束的方向，是竖向平行力系。一个平面平行力系只能列两个独立的平衡方程，解两个未知数。（２）杆ＣＥ有两个与大地相连的竖向支座链杆，当仅在竖向荷载作用下时，可维持这个平行力系的平衡。所以，杆ＣＥ在仅有竖向荷载的作用下，可视为与杆ＡＢ同等的基本部分。

38. 解：（１）画层叠图　　（２）计算各单跨梁的约束力　　按层叠图以次画出各单跨梁的受力图，注意杆ＢＣ在杆端只有竖向约束力，并按由上向下的顺序分别计算。 （３）作内力图

39. 说明：本例中杆ＢＣ是不直接与大地相连的杆件，　称这类杆为有悬跨多跨静定梁。当仅有竖向荷载作用时，悬跨梁可视为附属部分；当是任意的一般荷载作用时，杆ＢＣ不能视为附属部分，杆ＣＥ部分也不能作为基本部分。　　　　　　多跨静定梁小结　了解多跨静定梁两种基本类型的几何组成特点。多跨静定梁分层计算的目的，为了不解联立方程。　计算要点：按先附属，后基本的顺序。说明：本例中杆ＢＣ是不直接与大地相连的杆件，　称这类杆为有悬跨多跨静定梁。当仅有竖向荷载作用时，悬跨梁可视为附属部分；当是任意的一般荷载作用时，杆ＢＣ不能视为附属部分，杆ＣＥ部分也不能作为基本部分。　　　　　　多跨静定梁小结　了解多跨静定梁两种基本类型的几何组成特点。多跨静定梁分层计算的目的，为了不解联立方程。　计算要点：按先附属，后基本的顺序。

40. §3-3　静定刚架 刚架一般指由若干横（梁或斜梁）杆、竖（柱）杆构成的，可围成较大空间的结构形式。刚架的杆件主要是以弯曲变形为主的梁式杆。刚架的特点在于它的刚结点。刚架可按支座形式和几何构造特点分为： 简支刚架、悬臂刚架、三铰刚架和复合刚架。 前三类是可仅用一次两各刚片或三个刚片的规律组成的几何不变体，可统称为简单刚架；而复合刚架是多次用两各刚片或三个刚片的规律确定的几何不变体。 显然，简单刚架的分析是复合刚架分析的基础。

41. 静定刚架的计算步骤：（１）计算支座反力（或约束力）；（２）计算杆端截面内力（简称杆端力）和控制截面内力；（３）画各内力图。例3-3-1 计算图示静定刚架的内力，并作内力图。 分析：图示刚架由3个支座链杆按两个刚片的规则与大地相连，这种形式的刚架为简单刚架。由于其与简支梁的支座类似，又称为简支刚架。

42. 解：（１）求支座反力 由整体平衡：∑MA=0 FDy×4－40×２　　　　－20×4×2＝0FDy＝60kN (↑)∑MO=0 FAy×4－40×2　　　＋20×4×2＝0FAy＝-20kN (↓)∑Fx=0FAx－20×4＝0FAx＝80kN (←)由 ∑Ｆy= 0　校核，满足。

43. （２）计算杆端力取AB杆B截面以下部分，计算该杆Ｂ端杆端力：　∑Fx=0FQBA+20×4－80=0 FQBA=0 ∑Fy=0 FNBA-20=0 FNBA=20 kN ∑MB=0 MBA+20×4×2-80×4=0 MBA=160kNm (右侧受拉)

44. 取BD杆B截面以右部分，计算该杆B端杆端力：∑Fx=0FNBD=0 ∑Fy=0 FQBD－40+60=0 FQBD=－20kN ∑MB=0 MBD+40×2－60×4=0 MBD = 160kNm (下侧受拉)由结点B校核　∑Fx=0　∑Fy=0 ∑MB=0　满足。

45. ３）绘制内力图　由已求得各杆端力，分别按各杆件作内力图。弯矩图可由已知杆端弯矩，按直杆段的区段叠加法作杆件的弯矩图。３）绘制内力图　由已求得各杆端力，分别按各杆件作内力图。弯矩图可由已知杆端弯矩，按直杆段的区段叠加法作杆件的弯矩图。 说明：在刚架中，各杆件杆端是作为内力的控制截面的。杆端力，即杆端内力。刚架的内力正负号规定同梁。刚结点传递弯矩（归边原理）。　为了区分汇交于同一结点的不同杆端的杆端力，用内力符号加两个下标（杆件两端结点编号）表示杆端力。如用MBA表示刚架中AB杆在B端的弯矩。

46. 例3-3-2 计算图示悬臂刚架，并作内力图。 分析：悬臂刚架的特点是，支座反力集中在刚架的　一个杆端，因此可由截面的悬臂一侧的平衡条件求出该截面的全部内力，即不需计算支座反力。

47. 1)计算各杆端弯矩，并作弯矩图MBC=10×3×3/2=45kNm ( 上侧受拉 )MBD=5×2=10kNm ( 右侧受拉 ) MBA=10×3×3/2－5×2=35kNm ( 左侧受拉 ) MAB=10×6×3－5×6=150kNm ( 左侧受拉 )

48. (2)计算各杆端剪力，并作剪力图：FQBC=10×3 =30kN FQBD=－5kN　∑MA＝0 FQBA×5+35+10×3×3/2=0FQBA=－16kN ∑MB＝0 FQAB×5－150－10×3×3/2=0 FQAB=39kN FQBA FQAB

49. (3)计算各杆端轴力，并作轴力图： 由结点Ｂ的平衡条件，建立沿ＡＢ杆方向的投影方程，得：FNBA+5×3/5+30×4/5=0 FNBA=－27kNFNAB－27－10×3×4/5=0 FNAB= 51 kN（压力）

50. 说明：　本例计算和作内力图的过程是：弯矩图→剪力图→轴力图。当刚架上所有的外力已知时先作弯矩图；再截开杆件两端取出杆件为隔离体，对两杆端截面形心分别建立力矩方程求出杆端剪力，作剪力图；最后取结点为隔离体，利用结点的投影平衡方程求杆端轴力，作轴力图。说明：　本例计算和作内力图的过程是：弯矩图→剪力图→轴力图。当刚架上所有的外力已知时先作弯矩图；再截开杆件两端取出杆件为隔离体，对两杆端截面形心分别建立力矩方程求出杆端剪力，作剪力图；最后取结点为隔离体，利用结点的投影平衡方程求杆端轴力，作轴力图。