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一般化 Bi-CGSTAB(s, L) (= 一般化 IDR(s, L))

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一般化 Bi-CGSTAB(s, L) (= 一般化 IDR(s, L)) - PowerPoint PPT Presentation


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一般化 Bi-CGSTAB(s, L) (= 一般化 IDR(s, L)). 東京大学大学院 情報理工学系研究科 数理情報学専攻 谷尾 真明 杉原 正顯. 発表の流れ. 概要 IDR(s) 法 , GIDR(s,L) 法の導出 ( 応用数理年会 ) IDR(s) 法 GIDR(s,L) 法 GBi-CGSTAB(s,L) 法の導出 (RIMS 研究集会 ) GBi-CG(s) 法 GBi-CGSTAB(s,L) 法 (=GIDR(s,L) 法 ) まとめ. 発表の流れ. 概要 IDR(s) 法 , GIDR(s,L) 法の導出 ( 応用数理年会 )

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Presentation Transcript
bi cgstab s l idr s l

一般化Bi-CGSTAB(s, L)(=一般化IDR(s, L))

東京大学大学院 情報理工学系研究科

数理情報学専攻

谷尾 真明杉原 正顯

slide2
発表の流れ
  • 概要
  • IDR(s)法, GIDR(s,L)法の導出 (応用数理年会)
    • IDR(s)法
    • GIDR(s,L)法
  • GBi-CGSTAB(s,L)法の導出 (RIMS研究集会)
    • GBi-CG(s)法
    • GBi-CGSTAB(s,L)法(=GIDR(s,L)法)
  • まとめ
slide3
発表の流れ
  • 概要
  • IDR(s)法, GIDR(s,L)法の導出 (応用数理年会)
    • IDR(s)法
    • GIDR(s,L)法
  • GBi-CGSTAB(s,L)法の導出(RIMS研究集会)
    • GBi-CG(s)法
    • GBi-CGSTAB(s,L)法(=GIDR(s,L)法)
  • まとめ
krylov
Krylov部分空間法

概要

Krylov部分空間法

Bi-CG

GMRES

CGS

FOM

Bi-CGSTAB

GCR

Bi-CGSTAB(L)

Orthomin

GP-BiCG

Lanczos原理

(短い漸化式)

Arnoldi原理

(長い漸化式)

IDR(induced dimension reduction)(s)[1](2007)

[1]P. Sonneveld and M. B. van Gijzen, IDR(s): A Family of Simple and Fast Algorithms

for Solving Large Nonsymmetric Systems of Linear Equations, Reports Depart. Appl.

Math. Anal., REPORT 07-07, Delft Univ., Tech., 2007.

(短い漸化式)

lanczos krylov vs idr s
Lanczos原理に基づくKrylov部分空間法 vsIDR(s)法

概要

一番重たい計算=行列とベクトルの積

  • Krylov部分空間法

高々2N回行えば収束(理論)

  • IDR(s)法

高々N+N/s回行えば収束(理論)

u

v

A

行列ベクトル積

s>1の時、既存の方法より少ない

1回

実際の数値計算においても

早く収束する!

idr s
IDR(s)法の一般化

概要

GIDR(s,L)法[2]

IDR(s)法

計算量

N+N/s

N+N/s

加速多項式

の次数

L

1

歪対称に近い係数行列と相性が良くない

[2]谷尾真明杉原正顯, GIDR(s,L): 一般化IDR(s), 応用数理学会2008年度年会, pp. 411—412, 千葉.

krylov idr s gidr s l
既存のKrylov部分空間法とIDR(s), GIDR(s,L)の関係図

概要

  • IDR(1) = Bi-CGSTAB
  • GIDR(1,L) = Bi-CGSTAB(L)

加速多項式の次数

拡張

拡張

slide8
既存研究

概要

  • Bi-CG(s)⇒Bi-CGSTAB(s)(=IDR(s))

(Sleijpen, 2008)

加速多項式の次数

拡張

slide9
本研究

概要

  • GBi-CG(s)⇒GBi-CGSTAB(s,1)(=IDR(s))

        ⇒GBi-CGSTAB(s,L)(=GIDR(s,L))

加速多項式の次数

拡張

slide10
発表の流れ
  • 概要
  • IDR(s)法, GIDR(s,L)法の導出 (応用数理年会)
    • IDR(s)法
    • GIDR(s,L)法
  • GBi-CGSTAB(s,L)法の導出 (RIMS研究集会)
    • GBi-CG(s)法
    • GBi-CGSTAB(s,L)法(=GIDR(s,L)法)
  • まとめ
idr 1 2
IDR定理(1/2)

IDR(s)法

  • 定義:

:span{ }

と直交する空間

: N次元ベクトル空間

(注意)

は非ゼロのスカラー量

idr 2 2
IDR定理(2/2)

IDR(s)法

  • 定理

(genericな条件の下で)

-s次元

-s次元

idr s1
IDR(s)法の概要

IDR(s)法

  • 残差ベクトルが入れ子になっている空間列

  の中を            と潜っていくように更新.

残差ベクトル

N+N/sMATVECsで0に到達

slide14
発表の流れ
  • 概要
  • IDR(s)法, GIDR(s,L)法の導出 (応用数理年会)
    • IDR(s)法
    • GIDR(s,L)法
  • GBi-CGSTAB(s,L)法の導出 (RIMS)
    • GBi-CG(s)法
    • GBi-CGSTAB(s,L)法(=GIDR(s,L)法)
  • まとめ
idr s2
IDR(s)法の不満点

GIDR(s,L)法

  • 係数行列が歪対称行列に近いと収束性悪化.
  • IDR定理自身が持つ問題点.

加速多項式に相当

→高次にしたい!

slide16
数値実験による確認

GIDR(s,L)法

  • IDR(3) (1次の加速多項式)

vs Bi-CGSTAB(3) (3次の加速多項式)

3次元対流問題

離散化

・125000×125000

・歪対称行列に近い

Bi-CGSTAB(3)

IDR(3)

idr 1 21
一般化IDR定理(1/2)

GIDR(s,L)法

一般化

  • 定義:

:span{ }

: N次元ベクトル空間

高次

:

idr 2 21
一般化IDR定理(2/2)

GIDR(s,L)法

  • 定理

(genericな条件の下で)

-sL次元

-sL次元

gidr s l
GIDR(s,L)のアルゴリズム

GIDR(s,L)法

1. repeat until 14. end

2. For i = 0,1,…,L-1 15. Select

3. For j = 1,…,s 16. For i=1,…,L

4. Solve for 17.

5. 18.

19.

6. Compute

7. 20. end

8. end 21.

9. Solve for 22.

10. 23. end repeat

11.

12.

13.

(k=0,…,i)

残差の更新の際に

補助ベクトルを導入している

slide20
数値実験による確認

GIDR(s,L)法

  • IDR(3) (1次の加速多項式)

vs GIDR(3,3) (3次の加速多項式)

3次元対流問題

離散化

・125000×125000

・歪対称行列に近い

IDR(3)

GIDR(3,3)

slide21
発表の流れ
  • 概要
  • IDR(s)法, GIDR(s,L)法の導出 (応用数理年会)
    • IDR(s)法
    • GIDR(s,L)法
  • GBi-CGSTAB(s,L)法の導出 (RIMS研究集会)
    • GBi-CG(s)法
    • GBi-CGSTAB(s,L)法(=GIDR(s,L)法)
  • まとめ
slide22
関係図

M

= : Mathematically equivalent

加速多項式の次数

M

M

M

M

M

bi cg
Bi-CG法

GBi-CG(s)

  • Krylov 部分空間
  • 反復

条件

shadow residual

bi cg 1
Bi-CG法の1反復

GBi-CG(s)

s. t.

s. t.

残差が満たす性質

slide25

GBi-CG(s)

Bi-CG法の一般化shadow residualの高次化

GBi-CG(s)

Bi-CG

shadow

residual

N

N

・・・

1

s

条件

span

slide26

GBi-CG(s)

Bi-CG法の一般化 shadow residualの高次化

  • ML(s)BiCG(Yeung and Chan, 1999)
  • Bi-CG(s) (Sleijpen, 2008)
  • GBi-CG(s)

加速多項式の次数

shadow residual

gbi cg s 1
GBi-CG(s)の1反復

GBi-CG(s)

s. t.

For j = 1,…,s

set

s. t.

残差が満たす性質

end

gbi cg s
GBi-CG(s)法の計算量

GBi-CG(s)

  • 1反復あたりの行列ベクトル積の演算
    • 補助ベクトル・・・・・・・・・s
    • shadow residual ・・・・・・s
  • 収束するのに必要な反復回数

×s

(genericな条件下で)

2s×N/s = 2N MATVECs

total

(Bi-CG法, Bi-CGSTAB法などと同じ)

slide29
発表の流れ
  • 概要
  • IDR(s)法, GIDR(s,L)法の導出 (応用数理年会)
    • IDR(s)法
    • GIDR(s,L)法
  • GBi-CGSTAB(s,L)法の導出 (RIMS研究集会)
    • GBi-CG(s)法
    • GBi-CGSTAB(s,L)法(=GIDR(s,L)法)
  • まとめ
slide30

GBi-CGSTAB(s,L)

拡張のアイデア
  • Bi-CG⇒Bi-CGSTAB(L)と同じ構造を利用することによりGBi-CG(s)⇒GBi-CGSTAB(s,L)を達成!

加速多項式の次数

M

M

M

M

M

bi cg 1 3

GBi-CGSTAB(s,L)

加速多項式の仕組み(Bi-CG) (1/3)
  • Bi-CG⇒Bi-CGSTAB

     ⇒Bi-CGSTAB(L)

加速多項式の次数

M

M

M

M

M

bi cg 2 3

GBi-CGSTAB(s,L)

加速多項式の仕組み(Bi-CG) (2/3)

・Bi-CG法における任意性

s. t.

s. t.

bi cg 3 3

GBi-CGSTAB(s,L)

加速多項式の仕組み(Bi-CG) (3/3)

shadow residual

残差

Bi-CG

Bi-CG

+

加速多項式

加速多項式

(fixed)

gbi cg s 1 3

GBi-CGSTAB(s,L)

加速多項式の仕組み(GBi-CG(s)) (1/3)

M

  • GBi-CG(s)⇒GBi-CGSTAB(s,1)(=IDR(s))

        ⇒GBi-CGSTAB(s,L)(=GIDR(s,L))

加速多項式の次数

M

M

M

M

M

gbi cg s 2 3

GBi-CGSTAB(s,L)

加速多項式の仕組み(GBi-CG(s)) (2/3)

・GBi-CG(s)における任意性

For i = 1,…,s

set

s. t.

残差が満たす性質

end

35

gbi cg s 3 3

GBi-CGSTAB(s,L)

加速多項式の仕組み(GBi-CG(s)) (3/3)

shadow residual

残差

GBi-CG(s)

GBi-CG(s)

+

加速多項式

(fixed)

加速多項式

gbi cgstab s l gidr s l

GBi-CGSTAB(s,L)

GBi-CGSTAB(s,L)=GIDR(s,L)

加速多項式の次数

M

M

M

M

M

gidr s l1

GBi-CGSTAB(s,L)

GBi-CGSTAB(s,L)

GIDR(s,L)のアルゴリズム

再掲

1. repeat until 14. end

2. For i = 0,1,…,L-1 15. Select

3. For j = 1,…,s 16. For i=1,…,L

4. Solve for 17.

5. 18.

19.

6. Compute

7. 20. end

8. end 21.

9. Solve for 22.

10. 23. end repeat

11.

12.

13.

(k=0,…,i)

補助ベクトル

GBi-CG(s)における補助ベクトル

gbi cgstab s l

GBi-CGSTAB(s,L)

GBi-CGSTAB(s,L)の計算量

k反復後の

shadow residual

k反復後の残差

GBi-CG(s)

Matvec ks

計算量

Matvec ks

2N

k = [N/s]で収束

GBi-CG(s)

+

加速多項式

(fixed)

Matvec 0

Matvec ks + k

計算量

N+N/s

slide40
発表の流れ
  • 概要
  • IDR(s)法, GIDR(s,L)法の導出 (応用数理年会)
    • IDR(s)法
    • GIDR(s,L)法
  • GBi-CGSTAB(s,L)法の導出 (RIMS研究集会)
    • GBi-CG(s)法
    • GBi-CGSTAB(s,L)法(=GIDR(s,L)法)
  • まとめ
slide41
結論
  • GIDR(s,L)法を, Bi-CG法の拡張として解釈出来た(GBi-CGSTAB(s,L)法)

M

M

M

M

M

slide42
今後の課題
  • 前処理を含めたGBi-CGSTAB(s, L)法の提案.
  • パラメータsとLの決定法.

加速多項式の次数

shadow residual