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# 一般化 Bi-CGSTAB(s, L) (= 一般化 IDR(s, L)) - PowerPoint PPT Presentation

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## PowerPoint Slideshow about '一般化 Bi-CGSTAB(s, L) (= 一般化 IDR(s, L))' - kahlilia

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Presentation Transcript

### 一般化Bi-CGSTAB(s, L)(=一般化IDR(s, L))

• 概要
• IDR(s)法, GIDR(s,L)法の導出 (応用数理年会)
• IDR(s)法
• GIDR(s,L)法
• GBi-CGSTAB(s,L)法の導出 (RIMS研究集会)
• GBi-CG(s)法
• GBi-CGSTAB(s,L)法(=GIDR(s,L)法)
• まとめ

• 概要
• IDR(s)法, GIDR(s,L)法の導出 (応用数理年会)
• IDR(s)法
• GIDR(s,L)法
• GBi-CGSTAB(s,L)法の導出(RIMS研究集会)
• GBi-CG(s)法
• GBi-CGSTAB(s,L)法(=GIDR(s,L)法)
• まとめ
Krylov部分空間法

Krylov部分空間法

Bi-CG

GMRES

CGS

FOM

Bi-CGSTAB

GCR

Bi-CGSTAB(L)

Orthomin

GP-BiCG

Lanczos原理

(短い漸化式)

Arnoldi原理

(長い漸化式)

IDR(induced dimension reduction)(s)[1](2007)

[1]P. Sonneveld and M. B. van Gijzen, IDR(s): A Family of Simple and Fast Algorithms

for Solving Large Nonsymmetric Systems of Linear Equations, Reports Depart. Appl.

Math. Anal., REPORT 07-07, Delft Univ., Tech., 2007.

(短い漸化式)

Lanczos原理に基づくKrylov部分空間法 vsIDR(s)法

• Krylov部分空間法

• IDR(s)法

u

v

A

s>1の時、既存の方法より少ない

１回

IDR(s)法の一般化

GIDR(s,L)法[2]

IDR(s)法

N+N/s

N+N/s

の次数

L

1

[2]谷尾真明杉原正顯, GIDR(s,L): 一般化IDR(s), 応用数理学会2008年度年会, pp. 411—412, 千葉.

• IDR(1) = Bi-CGSTAB
• GIDR(1,L) = Bi-CGSTAB(L)

• Bi-CG(s)⇒Bi-CGSTAB(s)(=IDR(s))

(Sleijpen, 2008)

• GBi-CG(s)⇒GBi-CGSTAB(s,1)(=IDR(s))

⇒GBi-CGSTAB(s,L)(=GIDR(s,L))

• 概要
• IDR(s)法, GIDR(s,L)法の導出 (応用数理年会)
• IDR(s)法
• GIDR(s,L)法
• GBi-CGSTAB(s,L)法の導出 (RIMS研究集会)
• GBi-CG(s)法
• GBi-CGSTAB(s,L)法(=GIDR(s,L)法)
• まとめ
IDR定理(1/2)

IDR(s)法

• 定義:

:span{ }

と直交する空間

: N次元ベクトル空間

(注意)

は非ゼロのスカラー量

IDR定理(2/2)

IDR(s)法

• 定理

(genericな条件の下で)

-s次元

-s次元

IDR(s)法の概要

IDR(s)法

• 残差ベクトルが入れ子になっている空間列

の中を　　　　　　　　　　　　と潜っていくように更新.

N+N/sMATVECsで0に到達

• 概要
• IDR(s)法, GIDR(s,L)法の導出 (応用数理年会)
• IDR(s)法
• GIDR(s,L)法
• GBi-CGSTAB(s,L)法の導出 (RIMS)
• GBi-CG(s)法
• GBi-CGSTAB(s,L)法(=GIDR(s,L)法)
• まとめ
IDR(s)法の不満点

GIDR(s,L)法

• 係数行列が歪対称行列に近いと収束性悪化.
• IDR定理自身が持つ問題点.

→高次にしたい！

GIDR(s,L)法

• IDR(3) (1次の加速多項式)

vs Bi-CGSTAB(3) (3次の加速多項式)

3次元対流問題

・125000×125000

・歪対称行列に近い

Bi-CGSTAB(3)

IDR(3)

GIDR(s,L)法

• 定義:

:span{ }

: N次元ベクトル空間

:

GIDR(s,L)法

• 定理

(genericな条件の下で)

-sL次元

-sL次元

GIDR(s,L)のアルゴリズム

GIDR(s,L)法

1. repeat until 14. end

2. For i = 0,1,…,L-1 15. Select

3. For j = 1,…,s 16. For i=1,…,L

4. Solve for 17.

5. 18.

19.

6. Compute

7. 20. end

8. end 21.

9. Solve for 22.

10. 23. end repeat

11.

12.

13.

(k=0,…,i)

GIDR(s,L)法

• IDR(3) (1次の加速多項式)

vs GIDR(3,3) (3次の加速多項式)

3次元対流問題

・125000×125000

・歪対称行列に近い

IDR(3)

GIDR(3,3)

• 概要
• IDR(s)法, GIDR(s,L)法の導出 (応用数理年会)
• IDR(s)法
• GIDR(s,L)法
• GBi-CGSTAB(s,L)法の導出 (RIMS研究集会)
• GBi-CG(s)法
• GBi-CGSTAB(s,L)法(=GIDR(s,L)法)
• まとめ

M

= : Mathematically equivalent

M

M

M

M

M

Bi-CG法

GBi-CG(s)

• Krylov 部分空間
• 反復

Bi-CG法の1反復

GBi-CG(s)

s. t.

s. t.

GBi-CG(s)

GBi-CG(s)

Bi-CG

residual

N

N

・・・

1

s

span

GBi-CG(s)

• ML(s)BiCG(Yeung and Chan, 1999)
• Bi-CG(s) (Sleijpen, 2008)
• GBi-CG(s)

GBi-CG(s)の1反復

GBi-CG(s)

s. t.

For j = 1,…,s

set

s. t.

end

GBi-CG(s)法の計算量

GBi-CG(s)

• 1反復あたりの行列ベクトル積の演算
• 補助ベクトル・・・・・・・・・s
• 収束するのに必要な反復回数

×s

(genericな条件下で)

2s×N/s = 2N MATVECs

total

(Bi-CG法, Bi-CGSTAB法などと同じ)

• 概要
• IDR(s)法, GIDR(s,L)法の導出 (応用数理年会)
• IDR(s)法
• GIDR(s,L)法
• GBi-CGSTAB(s,L)法の導出 (RIMS研究集会)
• GBi-CG(s)法
• GBi-CGSTAB(s,L)法(=GIDR(s,L)法)
• まとめ

GBi-CGSTAB(s,L)

• Bi-CG⇒Bi-CGSTAB(L)と同じ構造を利用することによりGBi-CG(s)⇒GBi-CGSTAB(s,L)を達成！

M

M

M

M

M

GBi-CGSTAB(s,L)

• Bi-CG⇒Bi-CGSTAB

⇒Bi-CGSTAB(L)

M

M

M

M

M

GBi-CGSTAB(s,L)

・Bi-CG法における任意性

s. t.

s. t.

GBi-CGSTAB(s,L)

Bi-CG

Bi-CG

+

(fixed)

GBi-CGSTAB(s,L)

M

• GBi-CG(s)⇒GBi-CGSTAB(s,1)(=IDR(s))

⇒GBi-CGSTAB(s,L)(=GIDR(s,L))

M

M

M

M

M

GBi-CGSTAB(s,L)

・GBi-CG(s)における任意性

For i = 1,…,s

set

s. t.

end

35

GBi-CGSTAB(s,L)

GBi-CG(s)

GBi-CG(s)

+

(fixed)

GBi-CGSTAB(s,L)

GBi-CGSTAB(s,L)=GIDR(s,L)

M

M

M

M

M

GBi-CGSTAB(s,L)

GBi-CGSTAB(s,L)

GIDR(s,L)のアルゴリズム

1. repeat until 14. end

2. For i = 0,1,…,L-1 15. Select

3. For j = 1,…,s 16. For i=1,…,L

4. Solve for 17.

5. 18.

19.

6. Compute

7. 20. end

8. end 21.

9. Solve for 22.

10. 23. end repeat

11.

12.

13.

(k=0,…,i)

GBi-CG(s)における補助ベクトル

GBi-CGSTAB(s,L)

GBi-CGSTAB(s,L)の計算量

k反復後の

k反復後の残差

GBi-CG(s)

Matvec ks

Matvec ks

2N

k = [N/s]で収束

GBi-CG(s)

+

(fixed)

Matvec 0

Matvec ks + k

N+N/s

• 概要
• IDR(s)法, GIDR(s,L)法の導出 (応用数理年会)
• IDR(s)法
• GIDR(s,L)法
• GBi-CGSTAB(s,L)法の導出 (RIMS研究集会)
• GBi-CG(s)法
• GBi-CGSTAB(s,L)法(=GIDR(s,L)法)
• まとめ

• GIDR(s,L)法を, Bi-CG法の拡張として解釈出来た(GBi-CGSTAB(s,L)法)

M

M

M

M

M

• 前処理を含めたGBi-CGSTAB(s, L)法の提案.
• パラメータsとLの決定法.