DEFINICIÓN

1. DEFINICIÓN Un sólido rígido posee movimiento esférico respecto de un sistema de referencia, S1, cuando se mueve de forma que uno de sus puntos permanece fijo en S1. • La rótula esférica es una forma • habitual de materializar un movi- • miento esférico.

2. Otra forma de conseguir un movimiento • esférico es utilizar suspensiones como • las que se emplean en algunos monta- • jes de giróscopos.

3. Al existir un punto fijo permanentemente, el segundo invariante es nulo y el e.i.r. pasa por el punto fijo en todo instante. El torsor cinemático en el punto fijo se reduce a la rotación instantánea ω. La velocidad y aceleración de un punto genérico son: siendo O el punto fijo. Los axoides fijo y móvil son conos con vértice común en el punto fijo (conos de Poinsot). Velocidades y aceleraciones

4. z1 z y σ y1 O x1 x Movimiento esférico de triedros Suelen adoptarse las siguientes hipótesis: • Punto fijo, O, origen de S1 • (sistema de ref. cartesiano y ortogonal) • S, sistema de ref. cartesiano y ortogonal • solidario del sólido rígido (σ). • O, origen de S. De esta forma, el movimiento de σrespecto de S1 es el mismo que el del triedro móvil (S) respecto del triedro fijo (S1).

5. Posición relativa entre dos triedros con vértice común Para establecer la posición de S (triedro móvil) respecto de S1 (triedro fijo) pueden utilizarse los ángulos de Euler: • ángulo de precesión (que se lee “fi”) • ángulo de nutaciónθ(que se lee “zeta” o “zeta griega”) • ángulo de rotación propiaψ(que se lee “psi”) En las figuras siguientes se ilustran estos ángulos y cómo permiten pasar desde la posición de Scoincidente con S1 a una posición arbitraria de S.

6. Posición inicial: S coincide con S1 z1 z y1 O y x1 x

7. Ángulo de precesión:  z1 z Primer giro: alrededor de Oz y y1  O  x1 x

8. z1 z θ y θ y1  O  x1 x Ángulo de nutación:  Segundo giro: alrededor de Ox

9. z1 z y θ ψ θ  O y1 ψ  x1 x Ángulo de rotación propia: ψ Tercer giro: alrededor de Oz

10. Ángulos de Euler z1 z Sobre cada una de las rectas que que han sido posiciones transito- rias de algún eje coordenado, se definen unos sentidos mediante los vectores unitarios indicados. y θ ψ u θ El más significativo de los tres es el vector n que orienta la línea de nodos (L.N.). u1  O y1 ψ  x1 x n L.N.

11. Triedro de Euler z1 z Además de los triedros fijo y móvil considerados, también se utiliza el triedro de Euler que no es rígido ni ortogonal. y θ ψ Se representa en verde en la figura. u La línea de nodos, intersección de los primeros planos coordenados (móvil y fijo) queda orientada posi- tivamente por θ u1  O y1 L. N. u1 ψ  x1 x n

12. z1 z y θ ψ u θ u1  O y1 ψ  x1 x n L.N. Definiciones Es importante recordar

13. MATRICES de PASO Cada uno de los giros que constituyen una etapa para al- canzar la posición genérica del sistema móvil respecto del del sistema fijo, viene definido por una matriz ortogonal, 3x3, que notamos para cada etapa mediante el ángulo res- pectivo: Las matrices son las siguientes:

14. u1  k1 u ψ j1 j i ψ n i1  n k k k1 θ u θ u1 n

15. MATRIZ GENERAL La matriz total que relaciona ambos sistemas es: Como la matriz total y las matrices parciales son ortogonales, las matrices inversas coinciden con las transpuestas por lo que:

16. ROTACIÓN INSTANTÁNEA Y SUS COMPONENTES La rotación ωdel sólido (triedro móvil) respecto del sistema fijo (triedro fijo) es un vector que, en general, varía en el tiempo en ambos triedros y también en la base de Euler. Esto determina que, en general, las componentes de ω varíen en el tiempo en cada una de las tres bases.

17. z1 z y θ ψ u θ u1  O y1 ψ  x1 x n L.N. ROTACIONES de EULER Las componentes de ω en la base de Euler se conocen como rotaciones de Euler y se denominan: nutación, precesión, rotación propia, Estas rotaciones se emplean en numerosas aplicaciones técnicas: giróscopos, robots y manipulado- res, sólidos libres (aviones, saté- lites, cohetes,..), etc.

18. RELACIÓN entre las COMPONENTES de ωenDISTINTAS BASES La relación entre las componentes en las bases ortonormales se obtiene a partir de las matrices ya definidas, en la forma: La relación entre las anteriores y las rotaciones de Euler determinan

19. z1 z ω y y1 O x1 x SINGULARIDADES Cuando el ángulo de nutación es 0º o 180º la línea de nodos queda indeterminada y también los otros ángulos y rotaciones de Euler. La posición del sistema mó- vil S no resulta completamente defi- nida respecto al sistema fijo S1 por medio de los ángulos de Euler. Esta singularidad es evitable al considerar el movimiento no en un instante sino durante un intervalo temporal. La inde- terminación se resuelve, en general, atendiendo a la continui- dad de las rotaciones de Euler en el transcurso del movimiento. ? ?

20. Los ángulos de Euler en la mano Animación EULER (applet preparado por el prof. J.M. Díaz de la Cruz) Cálculos EULER (hoja de cálculo elaborada por el prof. A.M. Sánchez Pérez)