Základy ekonomického modelování

Základy ekonomického modelování Ing. Jan Vlachý, Ph.D. vlachy@atlas.cz Dlouhý, M. a kol. Simulace podnikových procesů Hnilica, J., Fotr, J. Aplikovaná analýza rizika Scholleová, H. Hodnota flexibility: Reálné opce Vlachý, J. Řízení finančních rizik

Význam ekonomického modelování • Ekonomické modelování se využívá pro analýzu ekonomických jevů. • Modely v ekonomii nahrazují experiment v exaktních vědeckých disciplínách. • Modely umožňují pochopit chování ekonomických systémů a jejich složek při existenci rizika. • Ekonomické modelování řeší především tyto úlohy: • Citlivostní analýzu (význam při kvalitativní analýze rizik a při jejich zajišťování) • Hodnotovou analýzu • Tržní oceňování (rovnovážné tržní modely) • Komparaci; optimalizaci (dynamická analýza systémů) Ekonomické modelování

Praxe ekonomického modelování • Základní metody řešení modelů • Analytické řešení ... někdy složité, případně neexistuje (ale mnohé známé vzorce jsou ve skutečnosti analytická řešení modelů - úroková parita, CAPM, Blackův-Scholesův model, oceňovací model diskontovaných peněžních toků atd.) • Numerické řešení ... roste na významu díky dostupnosti a výkonu výpočetní techniky (např. bootstrap, rekurze, iterace, simulace) • Riziko modelu a jeho řízení • Chybné vstupy; nesprávné odhady předpokladů; chybná implementace; nesprávné použití (špatně zvolený model). • Nezávislá kontrola; úplná dokumentace; kvalitní správa dat; zpětné testování; validace. • Vždy je třeba používat modely, kterým uživatel dobře rozumí a kontrolovat je zdravým úsudkem. Ekonomické modelování

Co je riziko Riziko je míra odchylky možného budoucího stavu světa od stavu očekávaného. • Obecně nelze říci, jestli je riziko „dobré“ nebo „špatné“ • záleží na kvalitativní analýze („co se stane když“), a • subjektivním vnímání užitku (ze subjekt. pohledu lze ale riziko definovat i jen vzhledem k nepříznivým událostem). • Jednotlivci mohou • být rizikově neutrální • vyhledávat riziko • mít averzi (odpor) k riziku • Pokud se s rizikem obchoduje (úplné efektivní trhy), vznikne rovnovážná cena rizika; trh se pak chová, jako by měl odpor k riziku a vyšší riziko musí být kompenzováno vyšším očekávaným výnosem. Ekonomické modelování

Kvantifikace rizika • Používají se nástroje statistiky, vycházející z empiricky nebo teoreticky zjištěných statistických rozdělení náhodných jevů(= které nemůžeme s jistotou předvídat). • Míra polohy (medián) a variability (sm. odchylka) úplně popisují normální (Gaussovo) rozdělení (jiná rozdělení mohou mít méně nebo více parametrů). • Ke kvantifikaci rizika se používají statistické míry odchylky (variability) náhodného jevu: • Oboustranné (variační rozpětí, rozptyl, směrodatná odchylka) • Jednostrané (semivariance, kvantilové rozpětí) Ekonomické modelování

Riziková analýza hazardní hry • Pravidla: Výsledek hodu mincí určí, který z hráčů zaplatí druhému stanovenou částku. • Z kolektivního pohledu hra s nulovým součtem • Očekávaný výnos je nulový (není-li daň ani krupiér) • Riziko je nulové (co jeden prodělá, to druhý vydělá) • Kvalitativní (citlivostní) analýza (libov. hráče) • Kolik prohraju, když prohraju? Záleží na vsazené částce (10 Kč, 1 mil. Kč...) a pravidlu pro výplaty • Kvantitativní analýza • Jak je pravděpodobné, že se výsledek bude lišit od očekávaného? Ekonomické modelování

Kvantitativní analýza (1) P(R) 50% A B R +100 -100 • Analýzou teoretického statistického rozdělení (výčtem všech možných scénářů a přiřazením pravděpodobností) RA= 100 Kč, RB= -100 Kč, P(A)= 50%, P(B)= 50% E(R)= P(A) RA + P(B) RB = 0 Kč Existuje-li bezplatné právo volby („efektivní trh“), lze totéž odvodit i z rovnovážného argumentu: „Proč by měl být můj očekávaný výnos horší než očekávaný výnos protihráče nebo výsledek rozhodnutí ‚nehraju‘?“ s(R)= = =100 Kč Ekonomické modelování

Kvantitativní analýza (2) • Doplnění pravidel: Vítěze určí větší počet hodů (nezávislých náhodných jevů). • U malého počtu hodů lze spočítat; pro 2 hody: RA= 100 Kč, RB= 0 Kč, RB= -100 Kč, P(A)= 25%, P(B)= 50%, P(C)= 25% => 2E(R)= 0 Kč, 2s(R)= 70,7 Kč (očekávaná hodnota se nemění+riziko klesá) • Statistickou analýzou lze odvodit NE(R)= E(R), Ns(R)= s(R)/√N (tzn. např. 25E(R)= 0 Kč, 25s(R)= 20 Kč). • Měli by skuteční hráči zájem o takové doplnění pravidel? • Alternativou statistické analýzy je numerický experiment (simulace) (cvič.) Ekonomické modelování

Kvantitativní analýza (3) • Numerické experimentální metody využívají zákona velkých čísel (při velkém počtu nezávislých pokusů se relativní četnosti a jejich charakteristiky blíží teoretickému rozdělení). • Při neparametrické simulaci se vychází přímo z empirického pozorování daného jevu (předpoklad, že se výběrové rozdělení rovná skutečnému). • Při parametrické simulaci (statistická simulace, „Monte Carlo“) se mnohokrát opakuje experiment s využitím generátoru náhodných čísel se zvoleným rozdělením (předpoklad, že se teoretické rozdělení rovná skutečnému). Ekonomické modelování

Realizace statistických simulací • Generátory náhodných čísel • Tabulky náhodných čísel • Mechanické, fyzikální, chemické generátory • Aritmetické generátory (pseudonáhodná čísla splňující testy náhodnosti) • Využití výpočetní techniky • Speciální matematický či statistický software (např. MatLab) • Simulační software (např. Crystal Ball, @Risk) • Běžný tabulkový procesor (např. Excel) Ekonomické modelování

Statistické simulace v Excelu • Funkce =rand() nebo v české verzi =náhčíslo() generuje spojité rovnoměrné rozdělení v intervalu <0; 1> • Transformace na diskrétní rovnoměrná rozdělení =round(rand(); 0) ... nabývá hodnot {0; 1} =int(rand()×6)+1 ... nabývá hodnot {1; 2; 3; 4; 5; 6} • Transformace na běžná spojitá rozdělení (analyticky nebo pomocí inverzní kumulativní distribuční funkce) =rand()×6 – 3 ... spojité rovnoměrné -3; 3 =norminv(rand(); m; s) ... normální (Gaussovo) rozdělení dále např. =betainv(), =chiinv(), =gammainv(), =loginv() Do v. Excel 2002 se vestavěny generátor nedoporučuje pro velké modely (lze použít generátory třetích stran nebo přímo simulační nástavby); Excel 2003 má chybu (použít opravný balíček). Ekonomické modelování

Hazardní hra 2 (kostky) • Určete pravděpodobnost, s níž padne při hodu dvou kostek menší číslo než 8. • Výčtem scénářů (kombinační tabulka) ... P(<8) = N(<8)/N = 21/36 = 58,3% • Statistickou (Monte Carlo) simulací (cvič.) Ekonomické modelování

Spotřebitelské úvěry (diverzifikace) • Zadání: Banka poskytuje roční úvěry se sazbou 12% klientům, u nichž je pravděpodobnost nesplacení (navzájem nezávislá) 5%. Porovnejte očekávaný výnos a riziko pro 1, 2, 3... úvěry. • Analytické řešení je analogické jako u mincí, tzn. výčtem scénářů nebo podle analytického vzorce (viz Vlachý:40-41) • Numerické řešení statistickou simulací (cvič.) Ekonomické modelování

Komentář k aplikaci σ Specifické riziko Systematické riziko N • Specifické riziko způsobují (statisticky) nezávislé náhodné jevy. Specifickou složku rizika lze (teoreticky donekonečna) snižovat diverzifikací. • Systematické riziko je dáno rizikovostí ekonomiky (trhu, segmentu, pojistné třídy apod.) Není (v rámci investic na daném trhu) diverzifikovatelné. • Z pojistně-matematického principu (Bernoulli 1713, Poisson 1835) se vychází u nezávislých rizik (pojišťovnictví, spotřebitelské úvěry) • Chování závislých rizik (tržní rizika) popisuje Moderní portfoliová teorie(Markowitz 1952) Ekonomické modelování

Kvantily statistických rozdělení • Jaké minimální (maximální) hodnoty může nabýt určitý náhodný jev při určité požadované míře spolehlivosti odhadu. • U finančních aplikací hledáme zpravidla maximální možnou ztrátu v určitém časovém horizontu a nejčastěji se používá 95. nebo 99. percentil (u normálního rozdělení  1,65s, resp. 2s). Ekonomické modelování

Kvantily normálního rozdělení P(x) 99% m x 2,33s Vycházejí z distribuční funkce normovaného norm. rozdělení (běžně tabelováno, funkce normsdist()) u50% = 0 (medián) u90% = 1,28 (9. decil) u95% = 1,65 (95. percentil) u99% = 2,33 (99. percentil) x > xmin = m - u s x < xmax = m + u s Ekonomické modelování

Spotřebitelské úvěry (kvantily) • Portfolio n = 75 navzájem nezávislých úvěrů s p = P(d)i = 5% v celkové výši A = 2 mil. Kč. • Jakou je třeba vytvořit rezervu pro pokrytí ztrát, je-li L|d = 100%, při stat. spolehlivosti 95%? • Popis procesu: náhodný pokus bez vracení s možnými výsledky d a (1-d) (nesplatil/splatil). • Jde o hypergeometrické rozdělení, které lze (při velkém n a malém d) aproximovat Poissonovým rozdělením P(x) = (lx e-l) / x!, kde l = np. Ekonomické modelování

Cvičení (hody mincí) • Zadání: Ověřte statistickou simulací analytický výpočet očekávaného výnosu a směrodatné odchylky hry o 100 Kč, založené na výsledku 25 hodů mincí. Analyzujte chybu odhadu. • Nápověda: V jednom řádku Excelové tabulky generujte scénář s využitím 25 nezávislých náhodných čísel, transformovaných na diskrétní rovnoměrné rozdělení {-1; 1}. V sousedním sloupci na tomtéž řádku spočítejte výsledek hry (pokud vyhrajete většinu hodů, získáte 100 Kč, pokud prohrajete většinu hodů, ztratíte 100 Kč, v případě remízy nikdo nic neplatí). Na dalších řádcích scénář mnohokrát opakujte. Ze všech výsledků her spočítejte průměrnou hodnotu a směrodatnou odchylku. • Chybu zjištěné průměrné hodnoty odhadnete tak, že celý experiment opakujete 10× (klávesa F9) a odečtete druhý nejnižší od druhého nejvyššího výsledku. Porovnejte chybu pro experimenty s 50, 500 a 5000 scénáři. Ekonomické modelování

Cvičení (hody kostkou) • Zadání: Určete pravděpodobnost, s níž padne při hodu dvou kostek menší číslo než 8. • Zadání: Určete pravděpodobnost, s níž padnou při hodu dvou kostek čísla 2, 3, 4, ..., 12. Ekonomické modelování

Cvičení (Ludolfovo číslo) • Jak zjistit hodnotu Ludolfova čísla (p)? • Analyticky (geometricky)... Archimédes (200BC) => Ludolf van Ceulen (1600AD) (pomocí mnohoúhelníků opisujících obvod kružnice) • Numericky (Monte Carlo)... de Buffon (1777- Buffonova jehla) • Pro obsah kruhu platí S= pr2 • Obsah čtvrtkruhu o jednotkovém poloměru r = 1 je tedy SQ= p/4. Čtvrtkruh se vejde do čtverce o obsahu Sƀ= 1. • Platí tedy, že poměr Sƀ / SQ= 4/p => p = 4 SQ. • Poměr obsahů lze odhadnout náhodným generováním souřadnic {x; y} a zjištěním četností pokusů, při nichž x2 + y2≤ 1. Ekonomické modelování

Cvičení (spotřebitelské úvěry) • Zadání: Banka poskytuje roční úvěry se sazbou 12% klientům, u nichž je pravděpodobnost nesplacení (navzájem nezávislá) 5%. Porovnejte očekávaný výnos a riziko pro 1, 2, 3... úvěry. • Zadání: Banka poskytuje roční 12% úvěry po 20000 Kč klientům, u nichž je (nezávisl.) pravd. nespl. 5%. Jaké rezervy by měla tvořit, předpokládá-li že získá minimálně 75 klientů, náklady činí 6% úvěrů a požaduje-li se dostatečnost rezervy se spolehlivostí 95%. Ekonomické modelování

Základy ekonomického modelování