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极坐标系

极坐标系. 江门市杜阮华侨中学 杨清孟. 点. 有序实数对. P （ x,y ）. 平面直角坐标系中. 巨响发生在接报中心的西偏北 45 0 距中心 处. y. C. P. B. o. A. 信息中心. x. 从这向北 200 米。. 请问：去杜阮 侨中怎么走？. 请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？. 从这向北走 200 米！. 方向. 距离. 出发点. 在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用 方向 和 距离 表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。. D 实验楼.

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极坐标系

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Presentation Transcript

  1. 极坐标系 江门市杜阮华侨中学 杨清孟

  2. 点 有序实数对 P（x,y） 平面直角坐标系中

  3. 巨响发生在接报中心的西偏北450距中心 处. y C P B o A 信息中心 x

  4. 从这向北 200米。 请问：去杜阮 侨中怎么走？

  5. 请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？ 从这向北走200米！ 方向 距离 出发点 在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。

  6. D实验楼 C图书馆 120m E办公楼 450 50m 600 B体育馆 60m A教学楼

  7. X 一、极坐标系的建立： 在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。 O 这样就建立了一个极坐标系。

  8. M   O X 二、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M，用  表示线段OM的长度，用  表示从OX到OM 的角度， 叫做点M的极径， 叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。 特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。

  9. 题组一：说出下图中各点的极坐标

  10. 特别规定： 当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。 想一想？ ①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？

  11. M   O X 三、点的极坐标的表达式的研究 如图：OM的长度为4， 请说出点M的极坐标的其他表达式。 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。 本题点M的极坐标统一表达式：

  12. 题组二：在极坐标系里描出下列各点

  13. C E B A F G D O X 知点的坐标，描出点

  14. 知点的位置，写出点的坐标 C E A B F O X G D

  15. P  O X M 四、1、负极径的定义 说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。（？） 对于点M（，）负极径时的规定： [1]作射线OP，使XOP=  [2]在OP的反向延长 线上取一点M，使OM=   

  16. P = /4 O X M 四、2、负极径的实例 在极坐标系中画出点 M（－3，/4）的位置 [1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM= 3

  17. 说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：

  18. ？？？ 四、3、关于负极径的思考 “负极径”真是“负”的？ 根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？ 把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？

  19. M P P O O X X M 四、4、正、负极径时，点的确定过程比较 画出点 （3，/4） 和（－3，/4） [1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的上取一点M，使OM= 3 [1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM= 3 给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点。

  20. M P P O O X X M 四、5、负极径的实质 从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。 而反向延长也可以看成是旋转  ，因此，所谓“负极径”实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向 ”。

  21. 练习：写出点 的负极径的极坐标 答：（－6， +π） 或（－6，－ +π） （6， ） 负极径小结：极径变为负，极角增加  。 特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为 ≥0 。因为负极径只在极少数情况用。

  22. M P O X 五、极坐标系下点的极坐标 探索点M（3，/4）的 所有极坐标 [1]极径是正的时候： [2]极径是负的时候：

  23. M (ρ,θ)… P O X 六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 [1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。 [2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。 原因在于：极角有无数个。

  24. 一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)、[－ρ,θ+(2k+1)π]都可以作为它的极坐标.一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)、[－ρ,θ+(2k+1)π]都可以作为它的极坐标. 如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤ π, 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.

  25. 题组三 1. 在极坐标系中，与点(－3, )重合的点是( ) A.(3, ) B. (－3, － ) C. (3, － ) D. (－3, － ) C 2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是( ) D A.(－ρ,θ) B.(－ρ,－θ) C.(－ρ,θ＋π) D.(－ρ,π－θ)

  26. 3.在极坐标系中,与点(－8, )关于极点对称的点 的一个坐标是 ( ) A.(8, ) B. (8, － ) C. (－8, ) D.(－8, － ) A

  27. 小结 [1]建立一个极坐标系需要哪些要素 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极径有正有负；极角有无数个。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ，2kπ+θ）

  28. 极坐标和直角坐标的互化

  29. 平面内的一个点的直角坐标是(1, ) 思 考: 这个点如何用极坐标表示?

  30. y θ x O 点M的直角坐标为 在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位 M ( 2, ∏ / 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)

  31. 极坐标与直角坐标的互化关系式: y θ x O 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ) x=ρcosθ, y=ρsinθ

  32. 互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半 轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.

  33. 例1. 将点M的极坐标 化成直角坐标. 解: 所以, 点M的直角坐标为

  34. 已知下列点的极坐标，求它们的直 角坐标。

  35. 例2. 将点M的直角坐标 化成极坐标. 解: 因为点在第三象限, 所以 因此, 点M的极坐标为

  36. 练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.

  37. π π π 例3 已知两点（2， ），（3， ） 求两点间的距离. 3 6 2 解：∠AOB = B A 用余弦定理求 AB的长即可. o x

  38. 练习：已知两点（3， ），（4， ） 求两点间的距离

  39. 小结 y θ x O 极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ) x=ρcosθ, y=ρsinθ

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