Instituto Tecnológico de Costa Rica

1. Instituto Tecnológico de Costa Rica REGLA DE SIMPSON Métodos Numéricos

2. AGENDA • Regla de Simpson • Introducción • De 1 / 3 • De 3 / 8 • Desarrollo de problemas • Manualmente • Mediante Matlab

3. Regla de Simpson • Es un método para estimar el resultado de una integral. • Es una mejor aproximación a la regla Trapezoidal, sin incurrir en un mayor número de subdivisiones. • Ajusta una curva de orden superior en lugar de una línea recta como en la regla trapezoidal

4. Error Regla Trapezoidal Polinomio de primer orden o o a b = ancho* altura promedio

5. Regla Trapezoidal o o o a b Dos segmentos

6. o o o o Regla Trapezoidal o o o o a b Tres segmentos

7. Regla trapezoidal b a Regla de Simpson (1/3) Aproximación a la Regla trapezoidal. Polinomio de Segundo orden o o o a b = ancho* altura promedio

8. Regla trapezoidal o o o o a b Regla de Simpson (3/8) Polinomio de tercer orden o o o o a b = ancho* altura promedio

9. Problemas • “Descripción del problema 1” Se tiene un sistema magnético en un transformador, en donde la energía se almacena en la inductancia. Recordemos que la energía en este caso está relacionada con el enlazamiento de flujo λ y sabemos que la corriente en función de los enlazamientos de flujo es: i(λ) = (λ/2-10)5. Determine la energía almacenada en la inductancia desde λ=20, hasta λ=25Wb. Además encuentre el error estimado usando la regla de Simpson.

10. Problemas • “Solución Matemática problema 1” La energía está dada por la siguiente ecuación: Sustituyendo la ecuación anterior en la integral:

11. Problema 1 Utilizando el método de Simpson 1/3, hacemos la siguiente aproximación: Determinación de puntos: Sustituyendo en (2)

12. Problema 1 El error de truncamiento o error estimado en este ejemplo está dado por la ecuación: (3) Hacemos la siguiente aproximación: (4)

13. Problema 1 Derivando la expresión: Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (4) y colocando los límites de integración se obtiene:

14. Problema 1 Ya obtenido el valor anterior sustituimos en la ecuación (3) para encontrar el error. Si derivamos de manera analítica la solución es: 81.3802083333. Si restamos el valor real menos el aproximado obtenido con la regla de SImpson se obtiene: . En este caso se concluye que el error es el mismo.

15. Problemas • “Descripción del problema 2” Utilice la regla de 1/3 Simpson para evaluar la doble integral. Los límites de integración son: a=1, b=3, c(x)= ln(x), d(x)= 3 + exp(x/5).

16. Problema 2 • “Solución matemática problema 2” Para aplicar la regla de Simpson puede hacer la siguiente sustitución: Por lo que se obtiene: Aplicando la regla de Simpson se obtiene:

17. Problema 2 Los puntos son los siguientes: X0 = 1; X1= 2 ; X2=3 Por lo tanto sustituyendo (*) en (**). Obtenemos:

18. Problema 2

19. Problemas • “Solución en Matlab problema 2”

20. Problemas • “Descripción del problema 3” El circuito de la figura 1 corresponde al de un amplificador operacional conectado como integrador. La ecuación que relaciona el voltaje de salida con el voltaje de entrada es la siguiente: Si , R1 = 100 kohm, Cf = 4.7uF y Vc = 2V. Calcule el voltaje de salida en t de 0 a 0.8 segundos. Figura 1 Amplificador operacional conectado como un integrador.

21. Problema 3 a) Solución del problema en forma analítica:

22. Problema 3 b) A continuación se muestra la solución del problema utilizando la Regla de Simpson: Determinación de los puntos

23. Problema 3 Si n = 4  Para obtener la integral se utiliza la ecuación: Por lo tanto el voltaje de salida es:

24. Problema 3 El error exacto es: El error estimado se calcula como: Como

25. Problema 3 Así:

26. Problemas • “Solución en Matlab problema 3”

27. Regla de Simpson 3/8 Por cálculos Programado

28. Problema # 1 • Para los datos de máximo punto del volumen en un tanque, tabulados en una fábrica de jugos y medidos por un sensor cada cierto tiempo

29. Integrar con trapecio de segmentos múltiples • I = (b-a)* f(Xo)+2∑f(X1)+∑ f(Xn) 2n • I = (3,4-1,6) 4,593+2*(108,015 +29,964) 2*18 • I = 25,0547

30. Aplicando Simpson 3/8 • I1 = (0,6)*4,593+3(6,050)+3(7,389)+9,025 8 • I1 = 4,045125 • I2 = (0,6)*9,025+3(11,023)+3(13,464)+16,445 8 • I2 = 7,4198 • I3 =(0,6)*16,445+3(20,086)+3(24,533)+29,964 8 • I3 = 13,1449 • I = 24,6099

31. Problema # 2 –Chapra • Con la regla de Simpson de 3/8 integre la función f(x)= 0,2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5. Desde a = 0 hasta b= 0,8.

32. Resolución del problema • n = 3 → h = 0,8-0 = 0,2667, entonces, 3 f(0) = 0,2 f(0,2667)= 1,433 f(0,5333) = 3,487 f(0,8) = 0,232 • I = 0,8*0,2+3(1,432724+3,487177+0,232 8 • I = 1,519170.

33. Errores en el problema • Error de truncamiento: • Et = 1.640533 – 1,519170 = 0,1213630 • Et = 7,4% • Para un error estimado de: • Ea= -(0,8)2*(-2400) 6480 • Ea = 0,1213630.

34. #include <iostream.h> #include <iostream.h> #include <stdlib.h> #include <stdlib.h> #include <stdio.h> #include <conio.h> #include <math.h> int Lee_Datos(void); int Nseg; float a,b; double Xi; float X[10]; float Fx[10]; int main (void) { int i; float Base; double Area; double SumMulti = 0; double SumResto = 0; Lee_Datos(); Base = (b-a)/Nseg; Xi = a; Problema #3 - programado

35. Encabezados printf("\nDatos Tabulados......."); printf("\n-------------------------"); printf("\n| i | Xi | Funcion"); printf("\n-------------------------"); printf("\n| 0 | %.2f | %.4lf",a,Fx[0]);

36. Inicia Proceso (Calculo de Sumatorias) for ( i=1; i<Nseg; i++) { Xi += Base; if ( i == (i/3)*3 ) SumMulti += 2*Fx[i]; else SumResto += 3*Fx[i]; printf("\n| %2d | %.2f | %.4lf",i,Xi,Fx[i]); } printf("\n| %2d | %.2f | %.4lf",Nseg,b,Fx[i]);

37. Aplicacion de la Formula Area = 3*(b-a)/(8*Nseg)*( Fx[0] + SumMulti + SumResto + Fx[Nseg]); printf("\n------------------------------------------"); printf("\n Area bajo La Curva es => %.8lf",Area); getche(); }

38. int Lee_Datos(void) { printf("\n Numero de Segmentos (Multiplo de 3) ="); scanf("%d",&Nseg); printf("\n Valor de a =>"); scanf("%f",&a); printf("\n Valor de b =>"); scanf("%f",&b);

39. Cambiar valores aqui X[0] = 0; F x[0]= 0; X[1] = 2; F x[1]= 4; X[2] = 4; F x[2]= 16; X[3] = 6; F x[3]= 36; X[4] = 8; F x[4]= 64; X[5] = 10; F x[5]= 100; X[6] = 12; F x[6]= 144;

40. Fin de la presentación