吉林大学远程教育课件

1. 吉林大学远程教育课件 离散数学 (第二十九讲) 主讲人: 杨凤杰 学 时：64

2. 例6.4.8 Zn-1=0在复数域中恰 有n个不同的根,称为n次单位根， 它们做成一n元的乘法交换群 （Un，*）， Un可由任意一个本 原n次单位根（即周期为n者） 生成，设ξ是一个n次本原单位根， 那么，任一个n次单位根都可表示成ξ的一个方幂，因此，（Un，*）是一个循环群，ξ是它的一个生成元。 例6.4.9 在所有非0复数构成的乘法群中，1的周期为1，-1的周期为2，±i的周期为4，模数r≠1的复数z≠reiθ的周期为无穷大。

3. 定理6.4.5 若群G中元素a的周 期为n，则 （1）1,a2,a3,…,an-1为n个不同 元素； （2）am=1当且仅当n∣m; （3）as=at当且仅当n∣(s-t)。 证明：因为任意整数m恒可唯一 地表为m=nq+r，0≤r<n。 故am=anqar=（an）qar=1qar=lar=ar；由于0≤r<n，故按周期的定义知ar=1当且仅当r=0;所以am=1当且仅当r=0当且仅当n∣m,即（2）得证。由(2)即知 as=at当且仅当as-t=1当且仅当n∣(s-t),即（3）得证，最后由（3）立即可得（1）。

4. 由本定理,设a为群G的一个元素， 如果a的周期为无穷大，则a生 成的子群（ a）是无限循环群， （a）由彼此不同的元素 …，a-2，a-1，1，a，a2，… 组成；如果a的周期为n，则子群（a）为n元循环群，它由n个不同的元素 1，a，a2，a3，…，an-1组成。 例6.4.8中（Un，*）是一个n元循环群。例6.4.7中（Z，+），（nZ，+）为无限循环群。

5. 在加法群中,(1)应换为a的所有倍数： …,-2a,-a,0,a,2a,… (1ˊ) 当(1ˊ)中的所有元素均彼此不同时， 说a的周期为无穷大或为0；否则说a的 周期为n,当n为适合na=0的最小正整数时， 而定理6.4.5应换为 定理6.4.5ˊ 若加法群中a的周期为n， 则有(1′)0,a,2a,…,(n-1)a为n个不同元素； (2′)ma=0当且仅当n∣m; （3′）sa=ta当且仅当n∣（s-t）; 而且子群（a）为n元循环加法群，它由n个不同元素0，a，2a，…，（n-1）a 组成，若a的周期为无穷大，则子群（a）为无限循环加法群，它由（1′）中所有元素组成。

6. 循环群的生成元素未必唯一。 例如（Z，+）也可看成是由-1生 成的循环群；当n>2时，本原n次 单位根不只一个。那么，在一个 循环群中,怎样的元素才能作为生 成元呢? 定理6.4.6 （1） 无限循环群（a） 一共有两个生成元：a及a-1。 （2）n元循环群（a）中,元素ak是（a）的生成元的充要条件是（n，k）=1。 所以（a）一共有（n）个生成元素。 证明：如果ak是（a）的一个生成元，那么（a）中每个元素都可表示为ak的方幂。特别地，a也可表示为ak的方幂。设 a=（ak）m= ak m。

7. （1）由(a)是无限循环群知,km=1。 因此，k=±1。即，a及a-1为无限循 环群（a）的生成元。 （2） 如果（a）是一个n元有限群， 那么a的周期为n。由定理6.4.5,n|km-1。 因此 km-1=nq， km-nq=1。 这说明k与n互质。另一方面， 如果k与n互质，则有h和-q，使 h k-qn=1， hk-1=qn， n│（kh-1）， a1=akh， a=（ak）h， 故a可表为ak的若干次方，总之，a可表为ak的若干次方，当且仅当k与n互质。但在0≤k<n中，共有（n）个k与n互质，故共有(n)个元素ak也生成（a）。

8. 例6.4.10 设ξ是一个12次本原 单位根，则全部12次单位根所成 的群U12是由ξ生成的循环群： U12=(ξ) ={ ξk | k=0，1，2，…，11}。 U12一共有（12）= 4个生成元： ξ1， ξ5， ξ7， ξ11。

9. 6.4.4 陪 集 定义6.4.3 设G是群，H是G的子 群，a，b∈G，若有h∈H，使得 a =bh，则称a合同于b（右模H）， 记为 a≡b（右mod H）。 例6.4.11 设G是三次对称群， H是由（1 2 3）生成的子群： H={I，（1 2 3），（1 3 2）}。 因为有I∈H，使得（1 2）=（1 2）I，所以 （1 2） ≡（1 2）（右mod H）。 因为有（1 2 3）∈H，使得 （2 3）=（1 2）（1 2 3）， 所以（2 3）≡（1 2）（右mod H）。

10. 结论： 合同关系（右模H）是一个等 价关系。 证明：1）证反身性,因为对任意a∈G， 有1∈H,使得a=a1,所以a≡a(右mod H)。 2）证对称性,即证若a≡b（右mod H）， 则b≡a（右mod H）。由a=bh， h∈H 可以推出b = ah-1，而且h-1∈H， 故b≡a（右mod H）。 3)证传递性。即证若a≡b（右mod H）， b≡c（右mod H），则a≡c（右mod H）。 由a=bh，b=ck，h，k∈H，可得a=ckh，其中kh∈H，故a≡c（右mod H）。 既然合同关系（右模H）是一个等价关系，所以G分成了所有等价类的并集。