slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
吉林大学远程教育课件 PowerPoint Presentation
Download Presentation
吉林大学远程教育课件

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 10

吉林大学远程教育课件 - PowerPoint PPT Presentation


  • 143 Views
  • Uploaded on

吉林大学远程教育课件. 离散数学. ( 第 二十九 讲 ). 主讲人 : 杨凤杰. 学 时: 64. 例 6.4.8 Z n -1=0 在复数域中恰 有 n 个不同的根 , 称为 n 次单位根, 它们做成一 n 元的乘法交换群 ( U n ,*), U n 可由任意一个本 原 n 次单位根(即周期为 n 者) 生成,设 ξ 是一个 n 次本原单位根, 那么,任一个 n 次单位根都可表示成 ξ 的一个方幂,因此,( U n ,*)是一个循环群, ξ 是它的一个生成元。

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about '吉林大学远程教育课件' - kaden


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

吉林大学远程教育课件

离散数学

(第二十九讲)

主讲人: 杨凤杰

学 时:64

slide2
例6.4.8 Zn-1=0在复数域中恰

有n个不同的根,称为n次单位根,

它们做成一n元的乘法交换群

(Un,*), Un可由任意一个本

原n次单位根(即周期为n者)

生成,设ξ是一个n次本原单位根,

那么,任一个n次单位根都可表示成ξ的一个方幂,因此,(Un,*)是一个循环群,ξ是它的一个生成元。

例6.4.9 在所有非0复数构成的乘法群中,1的周期为1,-1的周期为2,±i的周期为4,模数r≠1的复数z≠reiθ的周期为无穷大。

slide3
定理6.4.5 若群G中元素a的周

期为n,则

(1)1,a2,a3,…,an-1为n个不同

元素;

(2)am=1当且仅当n∣m;

(3)as=at当且仅当n∣(s-t)。

证明:因为任意整数m恒可唯一

地表为m=nq+r,0≤r<n。

故am=anqar=(an)qar=1qar=lar=ar;由于0≤r<n,故按周期的定义知ar=1当且仅当r=0;所以am=1当且仅当r=0当且仅当n∣m,即(2)得证。由(2)即知 as=at当且仅当as-t=1当且仅当n∣(s-t),即(3)得证,最后由(3)立即可得(1)。

slide4
由本定理,设a为群G的一个元素,

如果a的周期为无穷大,则a生

成的子群( a)是无限循环群,

(a)由彼此不同的元素

…,a-2,a-1,1,a,a2,…

组成;如果a的周期为n,则子群(a)为n元循环群,它由n个不同的元素

1,a,a2,a3,…,an-1组成。

例6.4.8中(Un,*)是一个n元循环群。例6.4.7中(Z,+),(nZ,+)为无限循环群。

slide5
在加法群中,(1)应换为a的所有倍数:

…,-2a,-a,0,a,2a,… (1ˊ)

当(1ˊ)中的所有元素均彼此不同时,

说a的周期为无穷大或为0;否则说a的

周期为n,当n为适合na=0的最小正整数时,

而定理6.4.5应换为

定理6.4.5ˊ 若加法群中a的周期为n,

则有(1′)0,a,2a,…,(n-1)a为n个不同元素;

(2′)ma=0当且仅当n∣m;

(3′)sa=ta当且仅当n∣(s-t);

而且子群(a)为n元循环加法群,它由n个不同元素0,a,2a,…,(n-1)a

组成,若a的周期为无穷大,则子群(a)为无限循环加法群,它由(1′)中所有元素组成。

slide6
循环群的生成元素未必唯一。

例如(Z,+)也可看成是由-1生

成的循环群;当n>2时,本原n次

单位根不只一个。那么,在一个

循环群中,怎样的元素才能作为生

成元呢?

定理6.4.6 (1) 无限循环群(a)

一共有两个生成元:a及a-1。

(2)n元循环群(a)中,元素ak是(a)的生成元的充要条件是(n,k)=1。

所以(a)一共有(n)个生成元素。

证明:如果ak是(a)的一个生成元,那么(a)中每个元素都可表示为ak的方幂。特别地,a也可表示为ak的方幂。设

a=(ak)m= ak m。

slide7
(1)由(a)是无限循环群知,km=1。

因此,k=±1。即,a及a-1为无限循

环群(a)的生成元。

(2) 如果(a)是一个n元有限群,

那么a的周期为n。由定理6.4.5,n|km-1。

因此 km-1=nq, km-nq=1。

这说明k与n互质。另一方面,

如果k与n互质,则有h和-q,使

h k-qn=1, hk-1=qn, n│(kh-1), a1=akh, a=(ak)h,

故a可表为ak的若干次方,总之,a可表为ak的若干次方,当且仅当k与n互质。但在0≤k<n中,共有(n)个k与n互质,故共有(n)个元素ak也生成(a)。

slide8
例6.4.10 设ξ是一个12次本原

单位根,则全部12次单位根所成

的群U12是由ξ生成的循环群:

U12=(ξ)

={ ξk | k=0,1,2,…,11}。

U12一共有(12)= 4个生成元:

ξ1, ξ5, ξ7, ξ11。

slide9
6.4.4 陪 集

定义6.4.3 设G是群,H是G的子

群,a,b∈G,若有h∈H,使得

a =bh,则称a合同于b(右模H),

记为 a≡b(右mod H)。

例6.4.11 设G是三次对称群,

H是由(1 2 3)生成的子群:

H={I,(1 2 3),(1 3 2)}。

因为有I∈H,使得(1 2)=(1 2)I,所以 (1 2) ≡(1 2)(右mod H)。

因为有(1 2 3)∈H,使得

(2 3)=(1 2)(1 2 3),

所以(2 3)≡(1 2)(右mod H)。

slide10
结论: 合同关系(右模H)是一个等

价关系。

证明:1)证反身性,因为对任意a∈G,

有1∈H,使得a=a1,所以a≡a(右mod H)。

2)证对称性,即证若a≡b(右mod H),

则b≡a(右mod H)。由a=bh,

h∈H 可以推出b = ah-1,而且h-1∈H,

故b≡a(右mod H)。

3)证传递性。即证若a≡b(右mod H),

b≡c(右mod H),则a≡c(右mod H)。

由a=bh,b=ck,h,k∈H,可得a=ckh,其中kh∈H,故a≡c(右mod H)。

既然合同关系(右模H)是一个等价关系,所以G分成了所有等价类的并集。