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二次函数的应用

二次函数的应用. 导墅中学 史东良. 创设问题意境. 学习的目的在于应用，日常生活中，工农业生产及商业活动中，方案的最优化、最值问题，如盈利最大、用料最省、设计最佳等都与二次函数有关。. 一、根据已知函数的表达式解决实际问题：. 问题 1 ：. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所 示的坐标系，其函数的表达式为 y= - x 2 ， 当水位线在 AB 位 置时，水面宽 AB = 30 米 ， 这时水面离桥顶的高度 h 是（ ） A 、 5 米 B 、 6 米； C 、 8 米； D 、 9 米. y.

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二次函数的应用

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  1. 二次函数的应用 导墅中学 史东良

  2. 创设问题意境 学习的目的在于应用，日常生活中，工农业生产及商业活动中，方案的最优化、最值问题，如盈利最大、用料最省、设计最佳等都与二次函数有关。

  3. 一、根据已知函数的表达式解决实际问题：

  4. 问题1： 河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所 示的坐标系，其函数的表达式为y= - x2 ，当水位线在AB位 置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h是（ ） A、5米 B、6米； C、8米； D、9米 y 0 h A B x 1 25 Y=- × 152 =-9 D 解：当x=15时，

  5. 二、根据实际问题建立函数的表达式解决实际问题二、根据实际问题建立函数的表达式解决实际问题

  6. 问题2：某商场将进价40元一个的某种商品,按50元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，销量减少10个，为赚得最大利润，问售价定为多少元时能获得最大利润是多少？问题2：某商场将进价40元一个的某种商品,按50元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，销量减少10个，为赚得最大利润，问售价定为多少元时能获得最大利润是多少？ 分析：利润=（每件商品所获利润）×（销售件数） 设每个涨价x元， 那么 （1）销售价可以表示为 （50+x）元（x≥ 0，且为整数） （2）一个商品所获利润可以表示为 （50+x-40）元 （3）销售量可以表示为 (500-10x)个 （4）共获利润可以表示为 (50+x-40)(500-10x)元

  7. 解： 设每个商品涨价x元， 那么 y=(50+x-40)(500-10x) =-10 x2 +400x+5000 =- 10（x-20）2 +9000 ∵(0 ≤ x≤50 ,且为整数 ) ∴x=20时，最大值y=9000 20+50=70 答：定价为70元/个，利润最高为9000元.

  8. 问题3:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。问题3:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。 A D B C (2)当x＝ 时，S最大值＝ ＝36（平方米） (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米 ∴ 花圃长BC为（24－4x）米 解： ∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 x（0<x<6） (3) ∵墙的可用长度为8米 ∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6 ∴当x＝4m时，S最大值＝32 平方米

  9. 小试牛刀 如图，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°， 点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动， 点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度 移动，如果P,Q分别从A,B同时出发， 几秒后ΔPBQ的面积最大？ 最大面积是多少？ A B C P Q

  10. A 则 y= x（8-2x） B C 解：根据题意，设经过x秒后ΔPBQ的面积y最大 AP=2x cm PB=（8-2x） cm QB=x cm P （0<x<4） =-x2 +4x =-（x2 -4x +4-4） Q = -（x - 2）2 + 4 所以，当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大 最大面积是 4 cm2

  11. 再显身手 G C D F H 6 E A B 10 在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6,今在四边上分别选取E、F、G、H四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园EFGH，如何设计，可使花园面积最大？ 解：设花园的面积为y 则 y=60-x2 -（10-x）（6-x） =-2x2 + 16x （0<x<6） =-2（x-4）2 + 32 所以当x=4时 花园的最大面积为32

  12. 谈谈你的学习体会 抽象 运用 实际问题 数学问题 问题的解 数学知识 转化 返回解释 检验

  13. 拓展提高 AP•PB CQ•PB = S△PCQ＝ 即S＝ 　 (0<x<2） 如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，线段PQ与直线AC相交于点D。 (1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式； (2)当AP的长为何值时，S△PCQ= S△ABC 解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等 ∴AP=CQ=x 当P在线段AB上时

  14. S△PCQ＝ 即S＝(x>2） 当P在线段AB的延长线上时

  15. ＝２ ②　 ＝２ ∴ x1=1+ , x2=1－(舍去) ∴当AP长为1+ 时，S△PCQ＝S△ABC (2)当S△PCQ＝S△ABC时，有 此方程无解

  16. “二次函数应用” 的思路 1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.用数学方法求解; 5.检验结果的合理性,拓展等.

  17. 谢谢指导!

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