線型変換のイメージ固有値、固有ベクトル

線型変換のイメージ固有値、固有ベクトル 平賀譲（２０９研究室） hiraga@slis.tsukuba.ac.jp 資料http://www.slis.tsukuba.ac.jp/~hiraga/LA/

話の概要 • 線型写像、線型変換とは • 線型変換と図形、ベクトル • 固有値と固有ベクトル • 線型変換と座標変換 • 線型変換・座標変換の応用

線型変換 • ベクトル x,y、行列 A によって：y = Axで表される x→ yの関係 • （ x, yは n 次元ベクトル、A は n×n 行列） • 正比例　y=axの一般化（多変数化）「掛け算」で表せる関係

線型変換の（代数的）定義 • ベクトル空間 V上の写像 f: V→Vで： • 足してから掛けても掛けてから足しても同じ：f (x+y) = f (x)+f (y) • 定数倍してから掛けても、掛けてから定数倍しても同じ： f (ax) = af (x) • 特に f (0) = 0（0はゼロベクトル） • 行列積はこの条件を満たす（確かめよ）： • A(x+y) = Ax+Ay • A(ax) = aAx

変換の合成、逆変換 • ２つの変換φ、ψ（変換行列 A, B）の合成x→φ(x)→ψ(φ(x))は、行列の積として表せる。x→Ax→BAx • 逆変換は逆行列で表せる。x→y = φ(x)= Ax⇒x = A-1y（ただし正則変換であることが条件）

（参考：「線形」と「線型」） • “linear”の訳語で、どちらでもいいようなものだが、正確に言えば「線型」のほうが正しいだろう。 • しかし世の中は「線形」のほうが優勢。ここでは（趣味として）「線型」を用いる。 • 高校等で「１次結合」、「１次変換」、「１次独立」などと言う場合の「１次」も同じ意味。

図形的な性質（１） • 一般には、線型変換によってベクトルの向きも大きさも変わる。 • どのように変わるかは、変換行列 A の性質として決まる。 • 個別のベクトルでは特殊な性質が成り立つものがある。向きが変わらない⇒「固有ベクトル」デモ１

図形的な性質（２）：正則変換 • 直線 ⇒ 直線 • 　原点を通る直線　⇒　原点を通る直線 • 　平行な２直線　⇒　平行な２直線 • 同じ向きの線分は長さの比が変わらない • 多角形 ⇒ 多角形 • 平行四辺形 ⇒ 平行四辺形（長方形 ⇒ 平行四辺形） • 三角形 ⇒ 三角形

図形的な性質（３）：正則変換 • 円 ⇒ 円、楕円 • 放物線 ⇒ 放物線 • （一般に２次曲線は２次曲線に写る） • 図形の面積 ⇒ 定数倍（定数：行列式の値（の絶対値））デモ２

図形的な性質（４）：非正則な場合 • Ax= 0（x≠0）となるベクトル xが存在する場合、A は非正則行列。 • 非正則な場合、変換によって情報が失われる（復元不能である）。 • 例：　（正）射影 • 任意の xについて、Ox =0（Oはゼロ行列） 1 0 0 0 x y x 0 0 0 0 1 x y 0 y = = デモ３

（正則）線型変換の分類（２次元） • 角 q の回転 • 相似拡大 • 反転（鏡映） • ずらし変換（Shear 変換） cosq -sinq sinq cosq a 0 0 a a 0 0 b 1 0 0 -1 0 1 1 0 1 a 0 1 デモ４

（続き） • どのベクトルの向きも変わらない変換←この場合だけ • どのベクトルの大きさも変わらない変換⇒直交変換（直交行列） • 直交変換は回転と鏡映の２種類。これに平行移動を加えたもの：「合同変換」 • 直交行列の列ベクトル同士・行ベクトル同士は互いに直交する。 • 直交行列の行列式は±１。 a 0 0 a

固有値、固有ベクトル（１） • 行列 A によって向きが変わらないベクトル⇒ A の固有ベクトル • xが A の固有ベクトルなら、Ax = lxとなる定数 lがある　⇒A の固有値

固有値、固有ベクトル（２） • 一般に n次正方行列には、複素数まで許せば（重複も数えて） n個の固有値がある。 • 回転行列の固有値は複素数（非実数）。⇔回転はすべてのベクトルの向きを変える。 • 対称行列の固有値はすべて実数。 • A が非正則　⇔A は固有値 0 をもつ。（Ax = 0・x = 0だから）デモ５

固有値、固有ベクトル（３） • l が A の固有値なら、Ax = lx=lI x（I は単位行列） • したがって：(AーlI ) x = 0つまり行列 AーlI は非正則⇔ det(A ーlI ) = 0 （det A は A の行列式） • これを A の固有方程式、左辺を固有多項式と呼ぶ。

固有値、固有ベクトル（４） a-lb c d-l • ２次元なら： AーlI = det(AーlI ) = (a－l)(d－l)－bc = l2－(a+d)l + ad－bc = 0つまりlはこの２次方程式の根。（一般に n次行列なら n次方程式になる） • 参考： n次方程式は複素数の範囲で必ず n個の根を持つ（代数学の基本定理）。

おまけ • 行列A の固有多項式を f (l) とする。このとき f (A) = O が成り立つ。（Cayley-Hamilton の定理） • f (l) は普通の多項式であるのに対し、f (A)は行列の多項式であることに注意。 • ２次元の場合が高校で覚えさせられるもの：A2－(a+d) A + ad－bc = O

固有値・固有ベクトルの役割 • 行列 A による線型変換は、固有ベクトルの方向には単なる定数倍として働く。 • したがって固有ベクトルを軸とする座標系では、A は簡単な形で表せる。 • 対角行列（対称行列の場合など） • 一般には対角化できない場合もあるが、その場合でも「ジョルダン標準形」にはできる。 • ⇒座標変換

座標変換 • 座標系を固定して図形を変換するのと、図形を固定して座標系を逆変換するのとは実質的に同じこと。　例：　図形を角q 回転するのと、座標系を　　　角(－q) 回転するのとは同じ結果。 • 座標系の移動　⇒座標変換デモ６

座標変換（２） x y 1 0 0 1 • = x + y が、一次独立なベクトル, により = X + Yと表せる⇒(x,y) 座標系から (X,Y) 座標系への変換 • = F = ：座標変換行列 a b c d x y a b c d x y a c b d X Y a c b d

座標変換（３） • 行列（＝線型変換）A により y = Axとする。 • x = FX, y = FYとして、FY = AFX、つまりY = F-1AF X（XY座標系での変換） • 同様に Y = BXなら y = FBF-1 x • B = F-1AF：　A の相似変換

座標変換（４） • xy座標系での y = Ax を計算するには、XY座標系で Y = BXを計算して xy座標系に戻せばよい。 • B = F-1AF が簡単な形の場合に有効。（特に B が対角行列の場合） • 例えば An = (FBF-1)n= (FBF-1) (FBF-1)...(FBF-1) = FBnF-1であり、B が対角行列なら計算が簡単。

相似変換 • B = F-1AF が対角行列であるような F が存在するとき： • B の対角成分は A の固有値 • F の行・列ベクトルは A の固有ベクトル • （一般には対角化できない場合もある。） • A が対称行列の場合、固有値はすべて実数、対角化可能で、F は直交行列。

線型変換・座標変換の応用 • 応用例はヤマのようにある。 • 漸化式（線型差分方程式）の解法 • （線型）微分方程式の解法 • 統計解析（回帰分析、相関分析等々） • ２次曲線・２次曲面の分類 • コンピュータグラフィックス、計算幾何 • 正射影（平行投影） • 透視射影 • 同次座標事例紹介

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