第四节 使用概率的统计

1. 第四节 使用概率的统计 一 总体与样本概念 数理统计（即：使用概率的统计）中首先要遇到的基本而重要的概念便是所谓总体与样本概念。 总体：在数理统计中，研究某一问题时，常把要研究的对象的全体称为总体（或母体）（例如，考察某厂某天生产的一批产品时，这批产品就是总体）。

2. 个体：把总体中每一个基本单位称为个体（如，这批产品中的每个产品就是个体）。个体：把总体中每一个基本单位称为个体（如，这批产品中的每个产品就是个体）。 由于总体 中的个体一般较多（如，这 批产品中的产品个数一般较多），有时甚至要遇到破坏性试验（如，测量一批灯泡的寿命），研究该总体时，普查的方法往往是行不通的，只能从中抽取若干个个体进行考察。

3. 样本：假定在总体 中，抽取n个个体 这n个个体就称为来自总 体 的一个容量为n的样本（或子样）， 可记作 样品：组成样本的每一个个体称为样品。 至此，我们已给出了总体、个体、样本、样本容量及样品的概念。

4. 显然，考察样本的目的是为了由此推断总体的性质，引出科学的结论。于是有显然，考察样本的目的是为了由此推断总体的性质，引出科学的结论。于是有 数理统计的基本思想：由样本推断总体（由局部推断整体）

5. 上面给出的总体与样本的概念是比较直观的，容易为初学者所接受。但遗憾的是，这种提法不利于进行统计分析。为此，我们通过具体例子来引出另一种便于进行统计分析的提法。上面给出的总体与样本的概念是比较直观的，容易为初学者所接受。但遗憾的是，这种提法不利于进行统计分析。为此，我们通过具体例子来引出另一种便于进行统计分析的提法。 例1 某灯泡厂生产灯泡，由于种种随机因素的影响，生产出来的灯泡的寿命是不尽相同的。为了断定所生产灯泡的质量，这批灯泡的寿命是一个重要指标。

6. 此时，可把这批灯泡视为总体 ，而把这批灯泡中的每一个灯泡视为个体。为获得关于这批灯泡的寿命的资料，可以抽取若干个 （譬如说n个）灯泡 做寿命试验。 这样， 就是来自总体 的 一个容量为n的样本，而单个的 就是样品

7. 但需注意，这里我们并不关心这批灯泡的所有性能，而是仅仅考察这批灯泡的寿命（记为）X，这样就把“泛泛”的 统一成了X。 我们可以假想将这批灯泡逐一编好了号码，第j个灯泡的寿命记为X(j)。现从中任取一个灯泡，简单地用j表示“取到的是第j个灯泡”，则X(j)为试验结果的函数（当j跑遍所有试验结果时），从而为随机变量。显然，可将这样的X(j)与X视为一致。这样，总体就成了随机变量X 。

8. 再设所取灯泡 的寿命分别 为 。注意到预先根本不知 道抽取的是哪n个灯泡，因此 都是随机变量。至此已将 处 理成了随机变量 。为保证 样本能较好地代表总体，抽样（即抽取样品）时要排除人为的偏差，可把抽取 n个灯泡 的过程依下法进行：

9. 每次抽取一个（贴上标签后）再放回去，有放回抽取n次，且要保证每一次中这批灯泡中每个灯泡被抽到的机会都一样，每次抽取一个（贴上标签后）再放回去，有放回抽取n次，且要保证每一次中这批灯泡中每个灯泡被抽到的机会都一样， 然后将取到的n个灯泡 （可 能有重复的）进行寿命试验。这样，就获得了若干个（n个）独立且与X有相同 的概率分布的随机变量 （这 里，所谓 相互独立是指它 们的取值互不影响）。 我们总结出如下较严格的定义：

10. 定义 设 为随机变量， 若 相互独立，且都与X有 相同的概率分布（或密度函数）， 则 称X为总体，而称 为来自 总体X的一个容量为n的样本，可将样本 记为 ，单个的Xi称为 样品(i=1,2, ,n)。

11. 直观上，我们所要考察的随机变量（记为）X就是总体，而通过n次独立重复试验所获得的n个独立且与X有相同的概率分布（或密度直观上，我们所要考察的随机变量（记为）X就是总体，而通过n次独立重复试验所获得的n个独立且与X有相同的概率分布（或密度 函数）的随机变量 就是来自总 体X的一个容量为n的样本。

12. 在实际中，进行抽样时，人们并不总是采取有放回抽取的办法。如例1中，我们有可能是一次抽取n个灯泡进行寿命试验，这样得到的在实际中，进行抽样时，人们并不总是采取有放回抽取的办法。如例1中，我们有可能是一次抽取n个灯泡进行寿命试验，这样得到的 就不具有独立性了。然而，由于灯泡寿命试验是破坏性试验，因此不可能抽取很多个来试验，即n不会很大。再注意到厂家生产的灯泡批量一般是相当大的，此时，不放回抽取可近似地当作有放回抽取来对待。故 可近似看作相互独立 且与X有相同的概率分布（或密度函数）的随机变量，仍近似满足样本的定义。 （今后，类似的地方不重申）

13. 由于样本 是从总体X中随 机抽取出来的可能结果，在抽取之后， 它们必是具体的数值，记作 或 ，称之为样本值。 直观上讲，所谓样本值就是一批观测数据。

14. 例2 从所加工的某种型号的零件中，抽取若干个测量其长度（单位：毫米），得数据如下： 10.7 10.5 10.8 10.5 10.6 10.4 10.9 这7个数据就可看作是一个容量为7的样本的样本值。而对应的总体X就是这批零件（不是仅指抽到的7个）的长度（不要误解为总长度）

15. 样本值既可理解为样本的取值，也可理解为总体X在n次独立重复试验中所分别取的n个值（考察例2即知）样本值既可理解为样本的取值，也可理解为总体X在n次独立重复试验中所分别取的n个值（考察例2即知） 今后，以 表示样本值，而 以 表示随机变量。为方便 计，在不会引起混乱时， 既 表样本值，也表示样本，具体涵义视上下文而定。

16. 数理统计包括抽样方法与数据处理两部分。 我们只考虑数据处理问题（即对人们已抽取到的样本值进行统计分析）。

17. 二 期望与方差的点估计 1 期望的点估计 设总体X的期望E(X)未知，样本值为 因E(X)为X的“理论上的平均值”，那么估计E(X)的最简单的办法便是用“实际平均值” 来估计。

18. 定义 称 为样本均值 于是，总体均值E(X) 样本均值

19. 例3 某厂生产一批铆钉，为检验铆钉的质量，需测量其头部直径（毫米）。今随机地抽取了8颗铆钉，测得其头部直径为 13.30 13.38 13.40 13.43 13.51 13.32 13.48 13.50 试估计该铆钉的头部直径的平均值。

20. 为进一步讨论用 来估计E(X)的合理性，我们引入 定义 设 为样本 的函数，若 中不包含总体的 未知参数，则称 为统计量。若 用某一统计量 来估计总 体X的某一未知参数 ，则称 为 的估计 量。若 的估计量 满足 ，则 称为 的无偏估计量（或无偏估计）。

21. 例如，若令 则 为统计量。 令 ，若 未知，则 为总体X的 未知参数。若用 来估计 ，则 为 的估计量（即 为E(X)的估计量）。 可以证明： ， 故 为 的无偏估计量。

22. 这样，尽管用 来估计 可能会有 或大或小的随机偏差，但从总体情况（理论 平均情况）来看，用 估计E(X)是“没有系 统偏差”的。这往往是估计量应满足的起码要求。 至于在上述定义中为什么要求一个估计量必须是统计量，其实道理很简单：因为估计量是用来估计未知参数的，如果估计量本身包含有未知参数，则即使有了具体的样本值，估计量也算不出明确的已知结果，达不到估计未知参数的目的。

23. 由上可知， 无论样本容量n为多少， 始 终是E(X)的无偏估计量。那么究竟是n大好还是n小好呢？可以证明（从略）： 。可见，n越大， 的分散程 度越小， 的稳定性越好。这正是我们所 期望的。但在实际中，样本容量n过大，有时在试验中会浪费大量的人力、物力、财力，等等。因此，正确的提法是：样本容量n的大小应视问题的具体背景而定。

24. 2 方差的点估计 有时，总体X的方差D(X)未知，如何估计它呢？ 注意 到 为 随 机 变 量 的“理论平均值”，故可考虑用 的“实际平均值” 来估计D(X)。但E(X)往往也是未知的，应用X 的样本均值 代替E(X)。于是可用 来作为D(X)的估计量。然而，可以证明（从略），此估计量并非D(X)的无偏估计量，D(X) 的无偏估计量乃是

25. 定义 称 为样本方差， 记作 于是，总体方差 样本方差 ， 且 为D(X)的无偏估计量。

26. 例4 对某型号飞机的飞行速度进行了15次试验，测得最大飞行速度（米/秒）为 422.2 417.2 425.6 420.3 425.8 423.1 418.7 428.2 438.3 434.0 412.3 431.5 413.5 441.3 423.0 求最大飞行速度之方差的无偏估计。

27. 定义 称 为样本标准差。 用样本标准差 可估计总体标准差 不过 一般不是 的无偏估计。 象上面这种对总体未知参数 寻找估计 量 的过程就叫做对 进行点估计。

28. 三 期望的区间估计 前面的点估计讨论的是 的问题。但是 的精确度究竟如何？ 与 究竟相差多少？并不很清楚。这使我们感到：点估计是比较肤浅的。 现在深入讨论一下：总体未知参数 究竟 落在什么范围（即区间）[a,b]内？而且自然希望区间[a,b]长度越短越好（否则，譬如举一个极端的例子：我们有百分之百的把握保证 落在 内，但这又能给我们提供什么有价值的信息呢？），“把握”越大越好。这就是所谓区间估计问题。

29. 我们先研究期望的区间估计问题，而且总假定总体X是正态的：我们先研究期望的区间估计问题，而且总假定总体X是正态的： 1 已知总体方差 ，对总体均值 进行区间估计 考察实际问题时，一般不能幻想有100%的“把握”（即概率）。为说理清楚，先考虑一个特殊情况：“把握”为95%。“把握”也叫置信度。前述 所在的范围[a,b]称为置信区间。

30. 假定样本值为 ，现在来求期望 的置信度为0.95（即95%）的置信区间。 定义 设Y为随机变量，E(Y)和D(Y)均存在， 且 ，则称 为Y的标 准化随机变量。

31. 注意到在进行点估计时，我们是用样本均值 来估计E(X)的，而 ， 。故 的标准化随机变 量为

32. 因 ，可以证明： 。 对置信度0.95，查正态分布数值表（P191）知 注意：是这样查得的：设 ， 则

33. 解不等式 ，得 故 的置信度为0.95的置信区间为 亦即

34. 在工业生产和科学研究中，通常采用的置信度就是0.95。只要不加申明，所用置信度均为0.95在工业生产和科学研究中，通常采用的置信度就是0.95。只要不加申明，所用置信度均为0.95 例5 某车间生产滚珠，其直径X可以认为是服从正态分布的 。从某天的产品里随机抽取6个，量得直径如下（单位：毫米）： 14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32 试找出平均直径的置信区间（已知直径方差是0.05）。

35. 有时还需要采用0.90，0.99等作为置信度，习惯上，一般的置信度用 表示。完全类似地可求得 的置信度为 的置信区间为 或 其中 满足 （查正态分布数值表）。

36. 例6 对例5，求平均直径的0.90置信区间。

37. P176: 1. 2. 布置作业：