第二章 函数的作用

1. 第二章 函数的作用 本章将学习函数的概念及有关知识，了解函数的用途。 第一步：弄清有关的基本概念，如常量、变量、定义域等等。 第二步：理解函数的实质——变量之间的对应关系。熟悉构成函数的要素——定义域、对应关系和值域。了解函数的表示法，如公式法、图像法、表格法。 第三步：了解函数的基本属性。如单调性、奇偶性、有界性、周期性。 本章将介绍用数学软件Mathematic作函数的图形。

2. 第二章 函数的作用 §2-1 现实生活中的问题与函数的概念 §2-2 函数的特性 *§2-3 建立函数的模型

3. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 一、现实生活中的问题 二、函数的概念 三、基本初等函数 四、简单函数 五、复合函数 六、初等函数 七、反函数 八、函数的表示方式 九、用Mathematica画图

4. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 r r r h h r r 一、现实生活中的问题 例1．一听罐头盒要用多少铁皮 某罐头厂要生产容积为Vcm3的圆柱形罐头盒，需要求出罐头盒表面积S 与底半径r 的关系,来计划使用铁皮的量。 r 解：设圆柱形罐头盒的高为h 由题意得： 则得： 答：罐头盒表面积S与底半径r的关系是

5. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 例2．钟表问题 我们知道钟表分针1小时走一圈,时针1小时走一个整点，因此，任意两个整点之间时针与分针都会重合，则时针与分针在0-12点内能重合12次. 问题:这12次重合的时间各是多少? 若用 x 表示时针与分针重合的整点数，y 表示重合时的分钟数，你能表示出y与x的关系吗？

6. 12 x 3 9 6 经过y分钟后 时针与分针重合 y分钟分针旋转角度 分针每分转 y分钟转 x小时时针旋转角度 y分钟时针旋转角度 x小时=60x分钟 时针每分钟转 x小时转0.5× 60x y分钟转0.5y

7. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 解：由题意得: y分钟时针旋转 时针每分钟转 分针每分转 y分钟分针旋转 x小时=60x分钟 x小时时针旋转　0.5× 60x 则有: 即:

8. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 x, y 的取值情况如下表: 答：这12次重合的时间各是0点,1点5.45分, 2点10.91分,3点16.36分等。

9. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 例3．我国工薪人员应纳多少税 根据中华人民共和国个人所得税法规定:个人工资,薪金所得应纳个人所得税，应纳税所得额的计算为：工资、薪金所得，以每月收入额减除费用八百元后的余额，为应纳税所得额.最后列出下面的税率表：个人所得税率表（工资、薪金所得适用）

10. §2-1现实生活中的问题与函数的概念

11. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 按税法规定当 元时,不必纳税，y=0. 当 元时, 纳税部分是 , 税率为 . 所以 ; 当 元时,其中1600元不纳税,500元应纳 的税.即, 再多的部分, 即 按 纳税. 故应纳税 ； 解：设其工资，薪金所得x元， 应缴纳税款y元，即列出y与x之间的关系。

12. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 当 元时,其中1600元不纳税,500元应纳税 , 1500元应纳 的税,即 （元）； 再多的部分,即 按 纳税. 故他应纳税款为 ; 依此可列出各部分y与x之间的关系。

13. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 二、函数的概念 1.函数的定义 2.确定函数的两个要素

14. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 1．函数的定义 定义：设有两个变量x和y，若当变量x在实数的某一范围D内任意取定一个数值时，变量y按照一定的规律f有唯一确定的值与之对应，则称对应规律f是D上的函数，有时也简称因变量y是自变量x的函数。 记作 y=f (x) ，x∈D 函数 f 的定义域 因变量 自变量 f(D)＝{f(x)|x∈D}称为函数的值域。

15. 邻域：开区间 称为以 为中心，以 为半径的邻域，简称为点 的 邻域，记为 ． 邻域：开区间 称为以 为中心，以 为半径的邻域，简称为点 的 邻域，记为 ． 不包括中心点的邻域称为点 的空心邻域，记为 ． 函数的定义域一般用区间或集合的形式表示，有时也用邻域表示．

16. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 2．确定函数的两个要素 （1）对应规律 （2）定义域 （3）相同函数的判断

17. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 （1）对应规律 如 y = f( x ) （x ∈D ），或 S= f( t ) （t ∈D ）. 在没有其他含义时，表示同一函数 ,因为 y 的值由 x 在 D上所取的值通过 f 就能完全确定，所以常常省略 y ,而把一个函数简记为 f ( x ) ( x ∈D）. 注意： 如果同时研究几个不同的函数，即不同的对应规律，就必须用不同的记号加以区别，如 f ，g，φ ，ψ ，…… 等等，有时为了简便起见，可用 y=y(x) 表示一个函数，这样 y 既代表对应规律又代表因变量.

18. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 例3． 就是一个特定的函数 f 确定的对应规律为： 即对自变量实行的操作是： 自变量的平方乘以2加自变量的3倍减1. 例4．求上例中的 f (-3)，f (x+1)。 解：

19. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 （2）定义域 （a）如果一个函数是由数学表达式给出，而定义域没有具体的规定，那么它的定义域就是使得函数在数学上有意义的自变量所取数值的全体。 （b）如果该函数有实际背景，则它的定义域还要根据问题的实际条件来确定。

20. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 （如： ） 如： 对于初等函数，可从以下几个方面考虑： （ⅰ）函数表达式的分母中是否含有自变量，考虑含自变量的分母不为零； （ⅱ）函数表达式的开偶数次方中是否含有自变量，考虑含自变量的被开方式大于等于零；

21. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 (ⅳ)函数表达式的正切符号 tan( ), 括号中的表达式是否含有自变量,考虑含自变量的表达式不等于 ; 如： , （ⅲ）函数表达式的对数符号 log 的真数中或底数中是否含有自变量，考虑含自变量的真数大于零，含自变量的底数大于零且不等于1； 如： （k为整数)

22. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 如： (ⅴ)函数表达式的余切符号cot( )，括号中的表达式中是否含有自变量，考虑含自变量的表达式不等于 ; 如： , （k为整数) (ⅵ)函数表达式的反正弦符号arcsin( ),括号中的表达式中是否含有自变量，考虑含自变量的表达式大于等于-1小于等于1;

23. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 如： （ⅶ）函数表达式的反余弦符号arccos( )，括号中的表达式中是否含有自变量，考虑含自变量的表达式大于等于-1小于等于1； （ⅷ）对函数表达式进行以上七个方面的考虑后，列出不等式组，不等式组的解即为函数的定义域。 表示函数的定义域常用区间、集合两种方法.

24. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 例5．求函数 的定义域。 解不等式组得： 解：列出使函数在数学上有意义的不等式组： 所求函数的定义域是： 即

25. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 例6． 与 是不是相同的函数。 解： 的定义域为 : 的定义域为 : 与 不是相同的函数。 （3）相同函数的判断 两函数定义域不同,

26. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 例7． 与 是不是相同的函数。 解： 与 的定义域都是全体实数R， 所以 与 是相同的函数。 且对应规律相同,

27. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 三、基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数．这五种函数统称为基本初等函数． 1．幂函数 y = xa ( a为实数)，该函数的定义域由常数 a 确定，该定义域总包含区间 ( 0，＋∞ ) . 2．指数函数 y = ax ( a > 0, 且 a ≠ 1 ) ，定义域为：(–∞，+∞). 3．对数函数 y = loga x ( a > 0,且 a ≠1)，定义域： (0，+∞).

28. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 4．三角函数 正弦函数y=sinx，定义域为：(–∞，+∞) 余弦函数y=cosx，定义域为：(–∞，+∞) 正切函数y=tanx，定义域为： 余切函数y=cotx，定义域为： 正割函数y=secx，定义域为： 余割函数y=cscx，定义域为：

29. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 5．反三角函数 反正弦函数y=arcsinx，定义域为：[-1,1] 反余弦函数y=arccosx，定义域为：[-1,1] 反正切函数y=arctanx，定义域为：(–∞，+∞) 反余切函数y=arccotx，定义域为：(–∞，+∞)

30. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 由基本初等函数经过四则运算所得到的函数。 在实际问题中，我们常常遇到由几个较简单的函数构成一个较为复杂的函数的问题。 四、简单函数： 五、复合函数

31. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 例8．有一质量为m的物体，以初速度v0竖直上抛，在不考虑空气阻力的前提下，求物体上行过程中动能E与时间t的函数关系。

32. 解：由物理学知，如果物体的运动速度为v,则其动能E与速度v之间的函数关系为 ① ② 而竖直上抛运动物体在上行过程中的速度v与时间t之间 的函数关系为 （其中g为重力加速度） 将②式代入①式，得 上式即为动能 E 与时间t 的函数关系。

33. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 设函数 的定义域为U，而函数 的定义域为 X , 值域为 U*，并且 U* 包含在U 内，那么对于X 中的每一个 x 经过中间变量 u，相应地得到唯一确定的一个值 y, 于是 y 经过中间变量,而成为的函数，记为 ,这种函数称为复合函数．其中 x 称为自变量, y 称为因变量, u 称为中间变量. 1．定义：

34. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 能不能构成复合函数,只要看 的定义域是否为非空集,若不为空集,则能构成复合函数,否则不能构成复合函数. 例9．将下列函数 y 表示成 x 的复合函数: (1) (2) 解: (1) (2) 注意：并非任意两个函数都能构成复合函数.

35. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 例10.函数 与 能否构成复合函数. 上述函数复合后定义域为空集,所以 与 不能构成复合函数。 解:

36. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 （1） 解：（1） 是由 2.复合函数的结构分析： 把一个复合函数拆成几个简单函数的复合 例11．分析下列复合函数的结构 复合而成的。

37. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 解: （2） 是由 解:（3） 是由 (3) (2) 复合而成的。 复合而成的。

38. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 六、初等函数 定义：由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成，并且能用一个式子表示的函数，叫做初等函数。 例如： 凡不是初等函数的函数,皆称为非初等函数。

39. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 定义: 设给定 y 是x 函数 y=f(x), x∈D, 若把 y 作为自变量, x 作为函数,则由关系式 y=f(x) 所确定的函数 , y∈f(D) 称为函数 y=f(x) 的反函数,而y=f(x) 称为直接函数. 习惯上总是用 x 表示自变量,而用 y 表示因变量,因此,往往把 改写成 称为函数 y=f(x) 的矫形反函数,记作 y = f--1(x)。所以, 我们常称函数 y=f(x) 的反函数 为直接反函数。 七、反函数

40. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 八、函数的表示方式 函数至少可以用三种不同的常用方法来表示：公式法、表格法和图象法. 1．公式法： 公式法是把一个函数通过指明运算的数学式子表示出来，依照它从自变量的值可以计算出因变量的对应值,其特点是精确、完整，便于理论上分析研究。 例如：y=2x+1, y=sinx, y=ln(3x-1)等,都是函数的公式法表示方式。 函数公式法有很多种表示形式（分段函数、隐函数、参数方程）

41. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 例如:函数 是一个分段函数,它的定义域是 当 时, 当 时, （1）分段函数 定义：在自变量x的不同取值范围内，函数有不同的解析表达式，这样的函数叫做分段函数． 如:例3。

42. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 例3中的函数可表示为

43. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 分段函数是函数公式法表示方式，它是一个在其定义域的不同部分用不同数学表示的函数,注意分段函数不是由几个函数组成,而是一个函数,只不过是在定义域的不同部分用不同的数学表达式表示.

44. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 （2）隐函数 前面所说函数y可以用自变量x的关系式y=f(x)表示，这种函数称为显函数，但是实际问题中有时会遇到另一类函数，例如 等，是由一个含x和y的方程F(x,y)=0所确定的函数，这类函数称为隐函数.由含x和y的方程F(x,y)=0所确定的函数，称为隐函数.

45. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 定义： 参数方程 确定x与y的函数 关系，称为由参数方程所确定的函数。 例如:斜抛运动方程为 确定了y是x的函数. （3）由参数方程所确定的函数

46. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 2. 表格法: 在实际中，常将一系列的自变量值与对应的函数值列成表，如对数表、三角函数值表等，如此表示函数的方法叫做函数的表格表示法，简称表格法。 表格法不但是为了应用上的便利，同时也避免了函数计算中的麻烦，且可以表示不知道数学表达式时的函数,这在自然科学与工程技术上是常用的。

47. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 下表是常见的保险丝在不同直径时的熔断电流 • 直径D • (毫米) • 0.508 • 0.559 • 0.61 • 0.71 • 0.813 • 0.915 • 1.22 • 3.0 • 3.5 • 4.0 • 5.0 • 6.0 • 7.0 • 10 • 熔断电流I(安) • 1.63 • 1.83 • 2.03 • 2.34 • 2.65 • 2.96 • 3.26 • 16.0 • 19.0 • 22.0 • 27.0 • 32.0 • 37.0 • 44 例12．保险丝的熔断电流和直径之间的关系 由直径 D 可以读出对应的 I 值,表格法的特点是简明方便,缺点是自变量的取值有限。

48. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 3．图像法： 例13. 在自动记录气压计中,有一个匀速转动的圆柱形记录鼓,印有坐标方格的记录纸就裹在这鼓上,记录鼓每24小时转动一周,气压计指针的端点装有一支黑水笔,笔尖接触着记录纸,这样经过24小时之后,取下的记录纸上就描画了一条曲线,这条曲线表示气压P随时间t变化的函数关系.

49. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 例14.下图的心电图(EKG)显示两个人的心率摸式,一位正常,另一位不正常,尽管也可以构造一个心电图函数的近似公式,但很少这样做,这种重复出现的图形正是医生需要了解的,从图象上看这些重复图形远比从公式上看要容易的多,而每个心电图都把一个显示电流活动的函数表示为一个相对于时间的函数.

50. §2-1现实生活中的问题与函数的概念 九、用Mathematica画图 1. 显函数的图形 作图命令：Plot[{函数1，函数2，函数3…},{自变量，自变量最小值，自变量最大值}，参数1->参数值1，参数2->参数值2，…]。 说明：在同一坐标系中输出一元函数1，函数2，……的图象（曲线）。