fi 10 kmity a vln n i n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
FI-10 Kmity a vlnění I. PowerPoint Presentation
Download Presentation
FI-10 Kmity a vlnění I.

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 28

FI-10 Kmity a vlnění I. - PowerPoint PPT Presentation


  • 129 Views
  • Uploaded on

FI-10 Kmity a vlnění I. Hlavní body. Úvod do nauky o kmitech a vlnění Druhy kmitů Obecné, periodické, harmonické, tlumené a netlumené Harmonické kmity Pohybová rovnice a její řešení Časové závislosti výchylky, rychlosti, zrychlení, potenciální, kinetické a celkové energie

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'FI-10 Kmity a vlnění I.' - jud


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
hlavn body
Hlavní body
  • Úvod do nauky o kmitech a vlnění
  • Druhy kmitů
    • Obecné, periodické, harmonické, tlumené a netlumené
  • Harmonické kmity
    • Pohybová rovnice a její řešení
    • Časové závislosti výchylky, rychlosti, zrychlení, potenciální, kinetické a celkové energie
  • Příklad kmitajících soustav - kyvadla
vod do kmit a vln n i
Úvod do kmitů a vlnění I
  • K pohybům přímočarým a kruhovým, rovnoměrným a rovnoměrně zrychleným je nutné dále přibrat pohyby kmitavé neboli vibrační.
    • Jejich existence vyplývá z elastického charakteru sil, působících mezi částicemi.
    • V přírodě jsou značně rozšířeny.
    • Vibrační energie je důležitým druhem energie.
vod do kmit a vln n ii
Úvod do kmitů a vlnění II
  • Kmitem se nejobecněji rozumí pohyb hmotného bodu, který je omezen v prostoru.
  • Vlna je jisté šíření vibračního pohybu prostorem., které nepřenáší hmotu ale přenáší energii.
  • Aby mohl hmotný bod kmitat musí v oblasti, kde se může vyskytovat, existovat:
    • rovnovážná poloha, v níž na bod nepůsobí žádnésíly a
    • síly, které se snaží o návrat do rovnovážné polohy. Jedná se tedy o stabilní rovnováhu.
druhy kmit i
Druhy kmitů I
  • Charakter kmitů je určen :
    • konkrétní závislostí návratových sil na výchylce z rovnovážné polohy. Ty mají často charakter sil konzervativních a vyplývají z příslušného potenciálu.
    • možnou přítomností sil disipativních(ztrátových).
  • Důležitou podskupinou jsou kmity periodické, kde se určitá závislost výchylky pravidelněopakuje.
  • Jejich podmnožinou jsou kmity harmonické, u nichž lze výchylku vyjádřit jako goniometrickou nebo-li harmonickou funkci času.
druhy kmit ii
Druhy kmitů II
  • Skutečné periodické a tedy i harmonické kmity mohou existovat pouze nedochází-li při kmitání ke ztrátámmechanickéenergie. Potom se jedná o kmity netlumené.
  • Jsou-li přítomny ztrátové síly, mechanická energie se spotřebovává na jejich překonávání a pohyb se za čas zastaví. To je typické pro kmitání tlumené.
druhy kmit iii
Druhy kmitů III
  • Striktně vzato, každé reálné kmitání jetlumené.
  • Netlumené kmity ale přesto mají svůj význam protože :
    • tlumení může být zanedbatelně malé nebo
    • energie, o kterou kmitající systém přichází, mu může být vhodným způsobem doplňována.
druhy kmit iv
Druhy kmitů IV
  • Zabývat se harmonickými kmity má smysl neboť:
    • jejich existence vyžaduje sice speciání druh návratových sil. Takové se ovšem často vyskytují.
    • každý periodický pohyb lze vyjádřit jako Fourierovuřadu harmonických kmitů.
    • každý obecný kmit lze vyjádřit jako Fourierůvintegrál harmonických kmitů.
    • Součet i integrál jsou lineární operace  mnoho vlastností harmonických funkcí platí obecněji.
netlumen harmonick kmity i
Netlumené harmonické kmity I
  • Uvažujme pro jednoduchost tuto situaci :
    • hmotný bod se může pohybovat na přímce, kterou ztotožníme například s osou x.
    • počátek zvolíme v rovnovážné poloze
  • Charakter kmitů je dán návratovou silou :
    • návratová síla je přímo úměrná výchylce
netlumen harmonick kmity ii
Netlumené harmonické kmity II
  • tato síla odpovídá Hookovskému chování. Jedná-li se o sílu způsobenou odezvou materiálu nazývá se konstanta úměrnosti ktuhostpružiny a je úměrná příslušnému Youngovu modulu.
  • podobná síla ale může existovat v libovolném poli, které má potenciál, například gravitačním nebo elektrostatickém.
netlumen harmonick kmity iii
Netlumené harmonické kmity III
  • Dosadíme-li z 2. Newtonova zákona do vztahu pro sílu dostaneme pohybovourovnici. Konkrétně diferenciální rovnici 2. řádu, která neobsahuje člen 1. řádu :
  • Vyzkoušíme řešení například ve tvaru :
netlumen harmonick kmity iv
Netlumené harmonické kmity IV
  • Vypočteme první a druhou derivaci podle času a dosadíme do původní rovnice :
  • Odtud vyjádříme  :
netlumen harmonick kmity v
Netlumené harmonické kmity V
  • Časovou závislost výchylky můžeme tedy popsat:
    • Úhlováfrekvence popisuje analogicky jako u kruhového pohybu periodicitu. Kmit lze totiž chápat jako průmět rovnoměrného pohybu po kružnici na určitou přímku. Zavádíme tedy i frekvencif a perioduT :
netlumen harmonick kmity vi
Netlumené harmonické kmity VI
  • Protože výchylka vznikla dvojí integrací, obsahujedvěintegračníkonstanty :
    • amplitudux0, která má význam největší možné výchylky a
    • fázi, pomocí níž lze popsat kmity, které měly určitou počátečnívýchylku v okamžiku, kdy se začal měřit čas.
    • jejich hodnoty se určují z okrajových podmínek.
netlumen harmonick kmity vii
Netlumené harmonické kmity VII
  • Nyní vyšetříme časovou závislost výchylky, rychlosti a zrychlení :
netlumen harmonick kmity viii
Netlumené harmonické kmity VIII
  • Vidíme důležité vlastnosti :
    • Rychlost se předchází před výchylkou o čtvrtinuperiody. Když je výchylka nulová, je rychlost maximální a má odpovídající směr.
    • Zrychlení je úměrné výchylce, ale je s ní vprotifázi, neboli se předchází (nebo opožďuje) o polovinu periody To samozřejmě přesně odpovídá charakteru návratové síly, kterou předpokládáme.
netlumen harmonick kmity ix
Netlumené harmonické kmity IX
  • Vyšetříme časovouzávislostenergie, která zjevně musí mít dvě složky :
    • kinetickou, protože se hmotný bod pohybuje určitou časově proměnnou rychlostí a
    • potenciální, protože k posunutí hmotného bodu do místa s určitou výchylkou je třeba vykonat práci. Tu lze principu lze získat zpět, protože vzhledem k předpokladům netlumeného kmitu jsou ztrátyenergiezanedbatelné.
netlumen harmonick kmity x
Netlumené harmonické kmity X
  • Najděme tuto práci :
    • protože sílaneníkonstantní, ale závisí na výchylce, musímeintegrovat.
    • abychom docílili určité výchylky musíme dodatkladnou práci, a to i v případě záporné výchylky.
netlumen harmonick kmity xi
Netlumené harmonické kmity XI
  • Tedy :
  • V kinetické energii dosadíme za  :
netlumen harmonick kmity xii
Netlumené harmonické kmity XII
  • Pro celkovouenergii tedy platí :
  • a s využitím známe identity :
netlumen harmonick kmity xiii
Netlumené harmonické kmity XIII
  • Vidíme důležité vlastnosti :
    • Kinetická energie je ve fázi s absolutní hodnotou rychlosti. Tedy nezávisí na jejím směru.
    • Potenciální energie je ve fázi s absolutní hodnotou výchylky. Tedy opět nezávisi na její orientaci.
    • Celková energie nezávisí na čase, ale jen na hmotnosti a čtverci úhlové frekvence a čtverci amplitudy.
netlumen harmonick kmity xiv
Netlumené harmonické kmity XIV
  • Celková energie kmitajícího systému je tedy dána počátečními podmínkami a zachovává se.
    • Na začátku například vychýlíme hmotný bod do určité polohy, což bude maximální výchylka. Tím vykonáme práci a dodáme systému počáteční celkovou energii.
    • Ta se potom v závislosti na čase rozkládá určitým způsobem na potenciální a kinetickou, ale součet zůstává roven energii, kterou jsme dodali na počátku.
    • Podobně můžeme dodat energii kinetickou nebo obě.
p klady fyzick kyvadlo i
Příklady – fyzické kyvadlo I
  • Kyvadla jsou systémy kmitající zpravidla v gravitačním poli (výjimka např. torzní k.).
  • Fyzickýmkyvadlem může být jakékoli tuhé těteso, které se může otáčet kolem pevné osy neprocházející těžištěm. Budeme předpokládat vzdálenost osy od těžiště a.
  • Takové kyvadlo je ve stabilní rovnováze, když je těžiště pod osou.
p klady fyzick kyvadlo ii
Příklady – fyzické kyvadlo II
  • Vychylme kyvadlo z rovnováhy o malý úhel . V důsledku gravitace se objevuje moment síly, který se snaží vrátit těleso do rovnovážné polohy.
  • Napišme pohybovou rovnici :
p klady fyzick kyvadlo iii
Příklady – fyzické kyvadlo III
  • Jejím řešením budou za předpokladu malýchúhlů, kdy sin() , harmonické kmity :
  • Řešení je analogické teoretickému :
p klady fyzick kyvadlo iv
Příklady – fyzické kyvadlo IV
  • Úhlová frekvence  tedy je :
  • V čitateli opět vystupují “elastické” vlastnosti, které dávájí systém do pohybu a ve jmenovateli vlastnosti “setrvačné”, které kladou pohybu odpor.
p klady matematick kyvadlo i
Příklady – matematické kyvadlo I
  • Speciálním případem fyzického kyvadla je kyvadlomatematické, jehož veškerá hmotnost m je soustředěna ve vzdálenosti l od osy otáčení. Buď na nehmotném vlákně nebo tyčce.
  • Můžeme použít vztahy pro fyzické kyvadlo, do nichž dosadíme : a = l, G = mg, J = m l2.
p klady matematick kyvadlo ii
Příklady – matematické kyvadlo II
  • Pro úhlovou frekvenci  tedy dostáváme :

a pro periodu T :

  • Kyvadla se používají k odměřování času nebo k měření tíhového zrychlení.