FI-10 Kmity a vlnění I.

1. FI-10 Kmity a vlnění I.

2. Hlavní body • Úvod do nauky o kmitech a vlnění • Druhy kmitů • Obecné, periodické, harmonické, tlumené a netlumené • Harmonické kmity • Pohybová rovnice a její řešení • Časové závislosti výchylky, rychlosti, zrychlení, potenciální, kinetické a celkové energie • Příklad kmitajících soustav - kyvadla

3. Úvod do kmitů a vlnění I • K pohybům přímočarým a kruhovým, rovnoměrným a rovnoměrně zrychleným je nutné dále přibrat pohyby kmitavé neboli vibrační. • Jejich existence vyplývá z elastického charakteru sil, působících mezi částicemi. • V přírodě jsou značně rozšířeny. • Vibrační energie je důležitým druhem energie.

4. Úvod do kmitů a vlnění II • Kmitem se nejobecněji rozumí pohyb hmotného bodu, který je omezen v prostoru. • Vlna je jisté šíření vibračního pohybu prostorem., které nepřenáší hmotu ale přenáší energii. • Aby mohl hmotný bod kmitat musí v oblasti, kde se může vyskytovat, existovat: • rovnovážná poloha, v níž na bod nepůsobí žádnésíly a • síly, které se snaží o návrat do rovnovážné polohy. Jedná se tedy o stabilní rovnováhu.

5. Druhy kmitů I • Charakter kmitů je určen : • konkrétní závislostí návratových sil na výchylce z rovnovážné polohy. Ty mají často charakter sil konzervativních a vyplývají z příslušného potenciálu. • možnou přítomností sil disipativních(ztrátových). • Důležitou podskupinou jsou kmity periodické, kde se určitá závislost výchylky pravidelněopakuje. • Jejich podmnožinou jsou kmity harmonické, u nichž lze výchylku vyjádřit jako goniometrickou nebo-li harmonickou funkci času.

6. Druhy kmitů II • Skutečné periodické a tedy i harmonické kmity mohou existovat pouze nedochází-li při kmitání ke ztrátámmechanickéenergie. Potom se jedná o kmity netlumené. • Jsou-li přítomny ztrátové síly, mechanická energie se spotřebovává na jejich překonávání a pohyb se za čas zastaví. To je typické pro kmitání tlumené.

7. Druhy kmitů III • Striktně vzato, každé reálné kmitání jetlumené. • Netlumené kmity ale přesto mají svůj význam protože : • tlumení může být zanedbatelně malé nebo • energie, o kterou kmitající systém přichází, mu může být vhodným způsobem doplňována.

8. Druhy kmitů IV • Zabývat se harmonickými kmity má smysl neboť: • jejich existence vyžaduje sice speciání druh návratových sil. Takové se ovšem často vyskytují. • každý periodický pohyb lze vyjádřit jako Fourierovuřadu harmonických kmitů. • každý obecný kmit lze vyjádřit jako Fourierůvintegrál harmonických kmitů. • Součet i integrál jsou lineární operace  mnoho vlastností harmonických funkcí platí obecněji.

9. Netlumené harmonické kmity I • Uvažujme pro jednoduchost tuto situaci : • hmotný bod se může pohybovat na přímce, kterou ztotožníme například s osou x. • počátek zvolíme v rovnovážné poloze • Charakter kmitů je dán návratovou silou : • návratová síla je přímo úměrná výchylce

10. Netlumené harmonické kmity II • tato síla odpovídá Hookovskému chování. Jedná-li se o sílu způsobenou odezvou materiálu nazývá se konstanta úměrnosti ktuhostpružiny a je úměrná příslušnému Youngovu modulu. • podobná síla ale může existovat v libovolném poli, které má potenciál, například gravitačním nebo elektrostatickém.

11. Netlumené harmonické kmity III • Dosadíme-li z 2. Newtonova zákona do vztahu pro sílu dostaneme pohybovourovnici. Konkrétně diferenciální rovnici 2. řádu, která neobsahuje člen 1. řádu : • Vyzkoušíme řešení například ve tvaru :

12. Netlumené harmonické kmity IV • Vypočteme první a druhou derivaci podle času a dosadíme do původní rovnice : • Odtud vyjádříme  :

13. Netlumené harmonické kmity V • Časovou závislost výchylky můžeme tedy popsat: • Úhlováfrekvence popisuje analogicky jako u kruhového pohybu periodicitu. Kmit lze totiž chápat jako průmět rovnoměrného pohybu po kružnici na určitou přímku. Zavádíme tedy i frekvencif a perioduT :

14. Netlumené harmonické kmity VI • Protože výchylka vznikla dvojí integrací, obsahujedvěintegračníkonstanty : • amplitudux0, která má význam největší možné výchylky a • fázi, pomocí níž lze popsat kmity, které měly určitou počátečnívýchylku v okamžiku, kdy se začal měřit čas. • jejich hodnoty se určují z okrajových podmínek.

15. Netlumené harmonické kmity VII • Nyní vyšetříme časovou závislost výchylky, rychlosti a zrychlení :

16. Netlumené harmonické kmity VIII • Vidíme důležité vlastnosti : • Rychlost se předchází před výchylkou o čtvrtinuperiody. Když je výchylka nulová, je rychlost maximální a má odpovídající směr. • Zrychlení je úměrné výchylce, ale je s ní vprotifázi, neboli se předchází (nebo opožďuje) o polovinu periody To samozřejmě přesně odpovídá charakteru návratové síly, kterou předpokládáme.

17. Netlumené harmonické kmity IX • Vyšetříme časovouzávislostenergie, která zjevně musí mít dvě složky : • kinetickou, protože se hmotný bod pohybuje určitou časově proměnnou rychlostí a • potenciální, protože k posunutí hmotného bodu do místa s určitou výchylkou je třeba vykonat práci. Tu lze principu lze získat zpět, protože vzhledem k předpokladům netlumeného kmitu jsou ztrátyenergiezanedbatelné.

18. Netlumené harmonické kmity X • Najděme tuto práci : • protože sílaneníkonstantní, ale závisí na výchylce, musímeintegrovat. • abychom docílili určité výchylky musíme dodatkladnou práci, a to i v případě záporné výchylky.

19. Netlumené harmonické kmity XI • Tedy : • V kinetické energii dosadíme za  :

20. Netlumené harmonické kmity XII • Pro celkovouenergii tedy platí : • a s využitím známe identity :

21. Netlumené harmonické kmity XIII • Vidíme důležité vlastnosti : • Kinetická energie je ve fázi s absolutní hodnotou rychlosti. Tedy nezávisí na jejím směru. • Potenciální energie je ve fázi s absolutní hodnotou výchylky. Tedy opět nezávisi na její orientaci. • Celková energie nezávisí na čase, ale jen na hmotnosti a čtverci úhlové frekvence a čtverci amplitudy.

22. Netlumené harmonické kmity XIV • Celková energie kmitajícího systému je tedy dána počátečními podmínkami a zachovává se. • Na začátku například vychýlíme hmotný bod do určité polohy, což bude maximální výchylka. Tím vykonáme práci a dodáme systému počáteční celkovou energii. • Ta se potom v závislosti na čase rozkládá určitým způsobem na potenciální a kinetickou, ale součet zůstává roven energii, kterou jsme dodali na počátku. • Podobně můžeme dodat energii kinetickou nebo obě.

23. Příklady – fyzické kyvadlo I • Kyvadla jsou systémy kmitající zpravidla v gravitačním poli (výjimka např. torzní k.). • Fyzickýmkyvadlem může být jakékoli tuhé těteso, které se může otáčet kolem pevné osy neprocházející těžištěm. Budeme předpokládat vzdálenost osy od těžiště a. • Takové kyvadlo je ve stabilní rovnováze, když je těžiště pod osou.

24. Příklady – fyzické kyvadlo II • Vychylme kyvadlo z rovnováhy o malý úhel . V důsledku gravitace se objevuje moment síly, který se snaží vrátit těleso do rovnovážné polohy. • Napišme pohybovou rovnici :

25. Příklady – fyzické kyvadlo III • Jejím řešením budou za předpokladu malýchúhlů, kdy sin() , harmonické kmity : • Řešení je analogické teoretickému :

26. Příklady – fyzické kyvadlo IV • Úhlová frekvence  tedy je : • V čitateli opět vystupují “elastické” vlastnosti, které dávájí systém do pohybu a ve jmenovateli vlastnosti “setrvačné”, které kladou pohybu odpor.

27. Příklady – matematické kyvadlo I • Speciálním případem fyzického kyvadla je kyvadlomatematické, jehož veškerá hmotnost m je soustředěna ve vzdálenosti l od osy otáčení. Buď na nehmotném vlákně nebo tyčce. • Můžeme použít vztahy pro fyzické kyvadlo, do nichž dosadíme : a = l, G = mg, J = m l2.

28. Příklady – matematické kyvadlo II • Pro úhlovou frekvenci  tedy dostáváme : a pro periodu T : • Kyvadla se používají k odměřování času nebo k měření tíhového zrychlení.