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§2.9 函数的应用举例

§2.9 函数的应用举例. 信丰中学 罗小平. 一、问题引入. 数学是预测的重要工具，而预测是管理和决策的依据，就像汽车的明亮的前灯一样，良好的预测展示的前景有助于决策者根据这些条件来采取行动．

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§2.9 函数的应用举例

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Presentation Transcript

  1. §2.9 函数的应用举例 信丰中学 罗小平

  2. 一、问题引入 数学是预测的重要工具，而预测是管理和决策的依据，就像汽车的明亮的前灯一样，良好的预测展示的前景有助于决策者根据这些条件来采取行动． 在我们考察不同的预测方法之前，必须指出：预测既是一门科学，也是一门艺术．科学预测的力量在于：经过长期的实践，职业的预测者胜过那些没有受过专业训练的、非系统的、或使用非科学方法——例如根据月亮的盈亏来预测的人．我国数学工作者在对天气、台风、地震、病虫害、海浪等的研究方面进行过大量的统计，对数据进行处理，拟合出一些直线或曲线，用于进行预测和控制．例如，中科院系统对我国粮食产量的预测. 连续11年与实际产量的平均误差只有1％．

  3. 数学模型与数学建模 数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述. 数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.

  4. y 30米 O x 10 25 解决数学问题 函数关系式 引例 有一堵长为30米的墙，现有50米的篱笆，如果利用这堵墙为一边，将篱笆围成一个长方形的鸡舍,请写出鸡舍的面积S与其宽x的关系式． 解：S=x(50-2x)= - 2x2+50x 定义域: {x|10≤x<25} x S 当长为25米,宽为12.5米时面积最大. 50-2x 引申：如果在现有条件下想得到一个面积最大的鸡舍，将如何确定它的长和宽呢？ 12.5 矩形面积 实际应用问题

  5. 解函数应用问题的基本步骤: 函数法 第一步：引入变量，抽象数量关系； 第二步：尝试建立函数关系式； 第三步：解决这个已转化成的函数问题； 第四步：将所得结论转绎成具体问题的解答.

  6. 二、例题讲解 例1按复利计算利息的一种储蓄，本金为 a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和 y随存期 x变化的函数式．如果存入本金1 000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少? 复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算做本金,再计算下一期的利息.

  7. 例2某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，写出该城市人口数 y（万人）与年份 x（年）的函数关系式；试计算大约多少年后该城市人口将达到120万人? 解： x年后该城市人口总数为y： y=100(1+1.2%)x 结论 : 在实际问题中 , 常常遇到有关平均增长率的问题 , 如果原来产值的基数为N，平均增长率为 p，则对于时间 x 的总产值y，可以表示为: y=N(1+p)x 依题意：100×(1+1.2%)x=120 即 1.02x = 1.2 答：该城市人口数函数为y=100(1+1.2%)x，大约经过15年该城市人口达到120万.

  8. v =60km/h A B 150km x km 例3某人开汽车沿一条直路以 60 km/h 的速度从A地到 150 km远处的B地, 在B地停留1 h后,再以 50 km/h的速度返回A地. 把汽车与A地的距离 x (km)表示为时间 t (h) (从A地出发时开始)的函数,并画出函数的图象;再把车速 v km/h表示为时间 t (h) 的函数,并画出函数的图象. v = - 50km/h 1图 2图

  9. 例4、已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少kx%，其中k为正常数.例4、已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少kx%，其中k为正常数. ⑴当k=0.5时,该商品的价格上涨多少,能使销售的总金额最大？ ⑵如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求k的取值范围. 解: ⑴设商品现在定价a元，卖出的数量为b个. 由题设：当价格上涨x%时，销售总额为 y=a(1+x﹪) ·b(1-kx﹪) 即 得: 取 k =0.5 当 x = 50时， 即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大.

  10. 例5、已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少kx%，其中k为正常数.例5、已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少kx%，其中k为正常数. ⑴当k=0.5时,该商品的价格上涨多少,能使销售的总金额最大？ ⑵如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求k的取值范围. 解: ⑵∵二次函数 上递减 . 上递增，在 在 ∴适当地涨价，即 x > 0 , 即 就是 0 < k <1 , 能使销售总金额增加 .

  11. 例6、北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京晚报》的价格是每份是0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社,在一个月（30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？例6、北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京晚报》的价格是每份是0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社,在一个月（30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？ 解： 若设每天从报社买进x（ ）份，则每月 共可销售（20x+10×250）份， 每份可获利润0.10元， 退回报社10（x-250)份，每份亏损0.15元，建立月纯利润函数，再求的最大值，可得一个月的最大利润. 设每天从报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意，得 ∵函数y在 上单调递增， （元） 时， 即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润825元.

  12. 三、课堂练习

  13. 练习1如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量 的函数式，并讨论这个函数的定义域． x a-2x a-2x x a-2x a

  14. A D O B C 练习2将一个底面圆的直径为 d的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，若这个长方形截面的一条边长为 x,截面的面积为S，求面积S以 x为自变量的函数式，并写出它的定义域． d x

  15. 抽象概括 推理演算 还原说明 函数应用题的解题步骤可以用下面的框图表示: 实际应用问题 数学模型 四、小 结 实际问题的解 数学模型的解

  16. 五、作业： P99习题2.9第1，3题.

  17. 欢迎指导！ 谢谢！

  18. x (km) 150 100 50 O t (h) 1 2.5 6.5 3.5

  19. v (km/h) 60 40 20 O 1 2.5 6.5 t (h) 3.5 -20 -40 -50

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