應用數學期中報告

1. 應用數學期中報告 Towing and Melting Enormous Icebergs : PartΙ 學號:B956C0049 姓名:卓婉婷

2. 水的含量 • 地球上水的含量大致為1387.5×1015 m3，其中約有1350×1015 m3 (97.3%)為海水，37.5×1015 m3 (2.7%)為淡水；「淡水」的成份有29.0×1015 m3(77.3%)是鎖於冰與冰河中，8.37×1015 m3 (22.3%)在地下含水層中，約有0.33%的淡水分布於湖、河以及剩下的0.035%則分布於大氣層；而其中被鎖於冰與冰河中的含量為29.0×1015 m3，還可再細分為：南極(Antarctica)含有26×1015 m3的水量(90%)，剩餘的8%則位於格林蘭島(Greenland）以及剩餘的2%位於北極(Arctic)。

3. 冰的產出 • 接著來談談地球每年冰的產出，其中有90% 是從 南極(Antarctica)產出，剩下的10%由北極 (Arctic)產出。冰河沿著格林蘭島(Greenland） 東方的海岸流進大西洋(Atlantic)，在這樣的過 程中會產出為數很少量的冰山有往北方移動的傾 向。另外，冰河沿著格林蘭島(Greenland)西方 的海岸流入海洋時，在這樣的過程中有時候一年 竟會產出1.5萬個冰山，這是相當大的一個數字 。而格林蘭島(Greenland)產生的冰山，只有較 大的冰山會到達大西洋(Atlantic)。

4. 鐵達尼號 • 講到冰山就會聯想到有名的鐵達尼號，1912年 4月14號它在第一次航行時，撞上一個大冰山 。這個冰山造成鐵達尼號很嚴重的傷害，讓船 艙開始淹水，在三個小時之內鐵達尼號就沉沒 了。鐵達尼號沉入大西洋的最底端長達70多 年，在這段期間內有許多人想要找出它，不過 都失敗了。直到在1985年9月船終於被發現， 大概在西南方30公里、4000米深處斷成二截。

5. 在一長串的討論與計畫後，我們打算把大的冰山從Ross ice shelf牽引到Long Beach，讓冰山融化，再賣给一些住在Los Angeles的缺水民眾。可是我們將會看到在這趟牽引冰山的旅程，有許多幾乎可以說是工程上不能克服的問題。

6. 我們第一步先組織一間公司，名字為Iceberg Towing and Water and Electricity Technology (IT WET)，組完公司之後，我們就向海軍買船艦。 • 之後IT WET出租馬力夠強的船，租船的人會利用船到達南極(Antarctica)，然後在Ross ice shelf附近抓住冰山而且把他們牽引到Long Beach。在Long Beach的冰山將會融化在這個時候租船的人就會把這座冰山賣給Los Angeles的水公司。

7. Question 1 • 要牽引冰山首先要考慮的是距離牽引的目的地 多 遠，距離多少? 利用座標軸的概念來計算距離，起點為Ross ice shelf ，經緯度為150°W、75°S，目的地為Long Beach ，經緯度為118°W、34°N。算距離要利用下列公式: • cos a=sinφ1sinφ2＋cosφ1cosφ2cos(λ1 - λ2) • φ1：為Ross ice shelf的緯度 • λ1：為Ross ice shelf的經度 • φ2：為Long Beach的緯度 • λ2：為Long Beach的經度

8. a為主要的角度，從地球的中心經過起點再 到目的地。 • 計算的時候要小心符號。經度: west(＋)、east(-)，緯度: north(＋)、south(-)。 • 經由計算可得a≒111°，利用a角度可以求得起點Ross ice shelf與目的地Long Beach之間的距離D=RΘ=(111/360)2π(6370)=12340 km，地球的半徑為6370 km。

9. Question 2 • 假設冰山的融化有二個主要的因素:第一個是在沒有接觸到水的地方吸收太陽的輻射，我們假設由於輻射導致融化與曝曬在太陽底下的時間t＊為常數比 (t＊=D/U)。第二個導致融化的因素是由於移動的速度經過水，而在水下的區域會有熱與質量的轉換，我們假設融化量與U2為常數比。下面是描述冰山的質量減少的公式: (6.2)

10. 當速度U是多少的時候會有最小的△M/Mo?或者是理想的速度Uopt是多少? 把6.2式對U微分可以得到6.3式: (6.3) 假設6.3式為0，把U用Uopt代替，再把得到的Uopt代回去6.2式得(△M/Mo)min，得到的式子在6.4中: (6.4)

11. 牽引的距離D我們在Question 1的時候已經討論過，D=12.34×106 m 並且我們已知常數k1=5.57×10-9 s-1與 k2=0.0314 s2 m-2把這些值代入6.4式中，可得 (△M/Mo)= 0.1= 10 % ， Uopt=1.03 m/s=2.0 nautical miles per hour=2.0knots 。 • [單位換算: 1(Knot) = 1 (Nautical Mile/Hours)、海哩(Nautical Mile)->海哩就是經度(Longitude), 或緯度(Latitude) 1度的距離、1海哩約等於1853公尺]

12. Question 3 • 我們需要花多久的時間才能把冰山從Ross ice shelf牽引至Long Beach呢? 距離D=12.34×106m和速度U=1.03 m/s ，在上面的Question 2已經得知。 • 所以我們可以求得牽引冰山所需要的時間為何，t＊=11.98×106 s，換算成天數的話為139天[s=11.98×106/(60×60×24)]，如果用一週一週來算的話，大概為20週[w=139/7]。

13. Question 4 • 到達了Ross ice shelf，找到了大小合適的冰山的位置和拿纜線把冰山固定好。我們需要提供多少的power P來提供推力I(看圖6.3)，讓冰山開始移動。利用牛頓第二定理: (6.5) F為阻力，Mo為質量，加速度為a= dU/dt。 Trust, T h2 Iceberg ▽ ρw ρi F2 F1 H h2 Water surface L <圖:6.3>

14. 造成水的阻力原因有三個： (1)form drag (2)skin friction (3)wave resistance。 最後面一個可以被忽略，Fr=U/(2gH)1/2很小，所以我們的冰山問題只考慮form drag(F1) 和skin friction(F2) ， F1F2總和為F=1/2ρwC*AU2 (6.6)

15. 假設下列的數值: L:1200m、H:200m、h1:25m、h2:175m、B:400m、ρi=900 kg/ m3、ρw= 1205 kg/ m3，CD=1.20、CF=0.01。 令C1=1/2ρw CD(Bh2)、C2=1/2ρw CF(BL+2Lh2)帶回到6.6式可得到下列式子: (6.7) • 帶入上面各值可以求出C1=43.3×106、C2=4.6×106、C=47.9×106，可以得知form drag佔了總阻力的90%，skin friction佔了總阻力的10%。

16. Question 5 • 連接冰山與船的鋼索它的半徑是多少呢?這是在這趟牽引的旅程中，其中一個在工程上最困難的問題。ㄧ個推力在這條鋼索上為T=50.8×106N，我們假設鋼索可以忍受的張力為σ=35000 lb/in2，然後鋼索的截面積為A=T/σ=0.210 m2 ，所以鋼索的半徑d=0.52 m[d=(A/π)1/2]。

17. Question 6 • 我們現在準備離開Ross ice shelf我們的船將會走最小的路徑回到Long Beach。最短的弧型路徑的距離為12340 kilometers。