基于儿童 · 感悟数学

1. 基于儿童 · 感悟数学 ——对若干小学数学教学案例的思考 南京市成贤街小学 王学其

3. 儿童有儿童的数学眼光； 儿童有老师的角色渴望。 儿童往往有一种超越成人的视野，这种超越，是因为他们还没有成人的那种“知识羁绊”而促就的。

5. 一条蜿蜒的河流，水面波光粼粼，教师踩着河面上的一个个独木桩，从河的这边走到了对岸。一条蜿蜒的河流，水面波光粼粼，教师踩着河面上的一个个独木桩，从河的这边走到了对岸。 “我们已走得太远，却忘了为什么而出发。” ——《小学数学教师》

6. “我们也走得太快，以至于忽略了路边的风景。”“我们也走得太快，以至于忽略了路边的风景。”

7. 师：这种方法好吗？ 生5： “不好！” —— 一个刺耳的声音。

8. 你有什么发现？还有什么问题？ 生1：“平方百米！” 生2：中间似乎少了一个什么？——“平方十米”

9. 练习十四中的困惑

10. 你让儿童质疑了吗？ • 你让儿童创造了吗？ 我们总是问学生学会了什么，而忽略了他们还想知道什么？ 我们总是以自己的方式来装饰他们那个万花筒般的心灵世界。

11. 案例：年、月、日 “同学们对这节课所学习的有关年、月、日的知识，还有什么问题？” 1、一个月为什么有时候是31天，有时候是30天呢” 2、2月就更奇怪了，为什么只有28天呢？ 3、闰年多的一天，为什么偏偏加在2月里呢？ 4、 “一、三、五、七月都是单数的月份，都是31天，我还以为9月、11月自然也会是31天，可又变成了30天，为什么要这样呢？ 5、1年有12月，1天有24时，1时有60分，1分有60秒，这多好，一个月的天数怎么这么复杂呢？ 6、这是谁规定的？有点乱（有点范伟小品的味道）。 历法的由来：月份的大小开始于罗马帝国的恺撒时代。当时恺撒派人修订历法，决定凡是具有特别意义的月份都是31天，不重要的月份是30天。为表示尊敬恺撒大帝而取名的7月，都是31天。

12. 案例：年、月、日 因为2月是处死犯人的月份，属于不吉利的时间，所以只有29天。恺撒大帝的继任人奥古斯都以自己的名字命名8月。为了和恺撒等同起来，他要求把8月也加成31天。为了要使8月有31天，他便从2月再借来1天，把2月减少到28天。又为了避免3个大月的月份连在一起，又规定8月和11月各有30天，把10月和12月加长到31天。 这些问题或许只有儿童才会提及，很多的时候，我们或许认为这不是问题，但是，我们却不比儿童知道的多、思考的深。所以保护儿童的问题意识，是我们每个教师应有的责任。让儿童敢于质疑，勇于提问，是提升其探究能力的重要前提，并且有时可以成为一种有效的教学资源。 于是有了一节精彩生成的创造课——课外数学实践活动课：《历法的改革》 （1） （2） （3） … …

13. 案例：放大与缩小 1、为什么不是 1：2 放大？ （大多数学生原来都说是按1：2放大） 2、为什么不是按 4：1 放大？

14. 案例：小数乘整数（竖式） 学生质疑：为什么不是把小数点对齐，而是末位对齐呢？

15. 你给儿童机会了吗？ 案例：面积的意义。 一天上数学课，我们学习“面积”的相关知识，我按照数学书的步骤，给学生介绍了物体表面的面积。然后请学生下位在教室里的物体表面摸一摸，体会一下面积的意义。学生有的摸课桌面，有的摸黑板面，等等。然后再说一说：什么物体表面的大小叫做什么面的面积。孩子们很感兴趣，边摸物体的表面边说感受。正在孩子一个一个说的时候，有一个男生一直举手。要提问。 他站起来问：“老师，大树有没有面积啊” 有部分学生起哄的笑了。 老师装做一脸疑惑，未置可否。 短暂的时刻后学生安静的等待老师。 老师在耐心的等待，等待机会。 也是给学生机会。 学生开始争论。 1、大树的叶子是有面积的，虽然它的面和我们刚才摸的不一样，不是平的，而且它的边沿是波浪形的。 2、叶子的面不好测量，但是还是有大小的。 3、叶子的面不是平的，是翘的，但是我们可以把它抹平了。 4、大树的的树皮也是有面积的，我们也可以把它剥下来，伸展平。（表面积） 5、大树的树荫也是有面积的。“前人栽树，后人乘凉”。

16. 你给儿童机会了吗？ 案例：不知所“错”。 批改完全班的课堂作业本，我很不开心，是因为几个后进生的作业很不理想，更加因为一贯正确率很高的杨柳青小朋友，在几道比较简单的口算题中竟错了一题，而且错的离谱：46减8怎么可能等于2呢？真是奇怪，再怎么算，也不可能等于2！她可不是班里学困生呀！于是我想找她说说原因。 中午休息时间，我把杨柳青小朋友叫到了办公室，小丫头以为我要派什么差事给她，还兴奋地问：“老师，有什么事吗？” 我打开她的作业本，指着错题“46-8=2”问：“个位上6去减8够减吗？” “不够” “6减8是不够，那什么办？我接着问。 “那就8减6，然后” “什么8减6，你错了！”我的声音有点高，小杨柳青一副不知所措的神情望着我。见状，我缓和了一下语气。说：“你看，算46-8时，我们先算6减8，不够减，就从40里借一个10给6等于16，然后16减8等于8；40借走一个10还剩30，30加上刚刚算出来的8得38，46-8应该等于38。”我耐心的给她讲着。 “老师，先算16-8=8，再算30+8=38，这种方法我会，但我用的不是你教的方法，我用的是我自己的算法。”小丫头也有点不高兴。

17. 你给儿童机会了吗？ 案例：不知所“错”。 “你的算法，你的什么算法？说给我听听!”我倒疑惑了。 “就是6减8不够减时，我就反过来用8减6，得2，再用40减2等于38.做作业时，我粗心了，忘记算40减2了。” “46是被减数，8是减数，怎么能用8减6呢？”我大声叫道。 “可我这样算，得数也等于38，是对的呀！”小姑娘涨红了脸。 我暗想：是巧合，还是确有道理？我想探个究竟。于是，我静下心来，写上一道算式65-9，让杨柳青用她的方法算给我看。 “9-5=4，60-4=56，65减9就等于56。”她说的自信、流利。 “65减9等于56，结果正确！再出一题算算看。”我又写下一题43-7，这次是我和她一块儿算：7-3=4，40-4=36，43-7=36，结果竟然还是正确的！ 难道这小姑娘真的找到了一种口算方法？可如果要说她的方法对吧，他却是先用减数去减被减数；如果说她方法不对吧，她的方法在“两位数减一位数的退位减”上也确实能算出正确得数，而且还比我教的常用方法快一些，不管怎么说，我应保护她的主动思考与敢于创新的精神。于是，我对杨柳青小朋友说：“了不起，你又创造了一种口算方法！

18. 你让儿童参与了吗？ 我们总是喜欢为儿童创设情境，却不善于让儿童置身于情境之中。我们是否忽略了儿童天生的表演欲望和角色意识。

19. 案例：找规律。

20. 案例：找规律。 同学们排过队吗？咱们平时一般是怎么排队的？ 按高矮（次序） 按组（属性） 按性别（属性） 放学的时候按自家所住的方位（方向） 今天老师也给大家排排队，看看老师是怎么排队的？谁愿意上来做排头？ 男、女、男、女、男、女、男、女、 下一位会是谁？可能会找到你吗？ 你认为有可能是你，你就站起来接受老师挑选。（按规律） 师：把这个队伍的排列用你喜欢的方式表达出来，可以怎样表示？ 生1：我用文字来表示：男 女 男 女…… 生2：我用图形来表示：□ ○ □ ○…… 生3：我用字母来表示：A B A B A B …… 用现实的场景替代教材中设置的情境，剥去了覆盖在模拟情境外面的那层膜衣，使学生对所学的内容产生了更自然的亲近感，这样更容易吸引学生的注意，激发学生的学习热情。“排队”的过程凸显了排列的规律和特征，学生在观察中从轻松地发现开始，顺势走入新课中。

21. 案例：找规律。 案例：“比的意义”课前谈话。 方案（一）：园林局正在给一个景观区做绿化，有一批树苗需要栽种。他们应该选择哪个绿化队？ 植树招标，选用哪个绿化队？哪一个小组丝绸布印成国旗合适 方案（二）：哪一个小组丝绸布印成国旗合适 方案（三）：**同学 师：看这位同学，能给大家介绍介绍自己吗？ 生：（略） 师：能否告诉老师你的身高？ 师：看这位同学的身材，匀称吗？ 师：王老师班上也有位同学和你的身高一模一样，你能确定他的身材也匀称吗？ 生：（略）。 师：为什么？ 生：不行，还需要看他的体重。 师：那就是说，我们看一位同学的身材是否匀称，如果见不到其人，我们应该同时关注他的（身高）和（体重）。即把体重和他的身高相比较。

22. 你让儿童感悟了吗？ 我们更忽略了儿童好动的特性，用一味的讲解替代了儿童操作过程中的感悟和发现。

23. 案例：“长、宽、高”。 首先，教师出示长方体的透视图(如下，12条棱应全部能看清)。 师：如果请你擦掉其中的一条棱，你还能想象出这个长方体的大小吗？ 学生擦掉其中的一条棱，结果发现，根据剩下的11条棱，同样能想象出长方体的大小。 师：如果再让你擦掉一些棱，想一想，至少要剩下哪几条棱，才能保证我们可以想象出长方体的大小？先想一想，再动手试一试。 学生展开想象，随后动手尝试。结果，多数学生的作业纸上都留下了如下三条线段。

24. 案例：“长、宽、高”。 师：根据这三条棱，你真的能想象出长方体的大小？ 生：能! 师：请给大家比划一下它的大小。 学生边想象，边比划。 师：还能再擦掉一条棱吗？ 生：不能。再擦掉横着的这条棱，就想象不出长方体有多长了；擦掉斜着的这条棱，就想象不出长方体有多宽了；擦掉竖着的这条棱，就想象不出长方体有多高了。 师：看来，这三条棱都很重要，缺一不可，它们直接制约着这个长方体的大小。 师：这三条棱的名称：长、宽、高。 “小学数学的教学是活动的教学”，在这里教师把一次看起来只能通过用告知的方式来教学的数学课自然转化为了一次有意义的活动，学生在教师精心组织的数学活动中，边观察、边操作、边想象，多种感官协同作用，此时的“长、宽、高”已不是简单意义上的长方体的各部分名称，它们对于长方体大小的决定作用，它们的不可或缺性都化作了学生的深刻思考。

25. 你放手了吗？ 我们开始重视让学生去做点什么，却总是紧紧抓住他（她）稚嫩的手。因为我们还在担心——我们总是希望他们的行动吻合我们的指令。

26. 案例：圆柱体积公式的推导。 （1）老师分小组探究圆柱体积的计算公式。 （2）分发完学具后，学生动手操作，教师要求学生观察。 （3）教师在组与组之间巡视指导。 小组1：竖放 小组2：侧放 老师过去帮助他们“纠正”了摆放的方法。 （4）同学汇报。 （5）那位被老师纠正的同学说：“我发现，这个长方体的底面积就是原来圆柱的侧面积的一半，高就是圆柱的半径。” （6）师愕然。

27. 尊重儿童， • 发现儿童， • 欣赏儿童, • 激励儿童 • … … • 迎合儿童

28. “小学数学”——教什么，怎么教？ 教什么，怎么教？答案在我们每一位小学数学老师心中是不完全一致的。正是对这一问题认识的差异，才使得我们的教学呈现出了五彩缤纷的风格，也让我们的教学获得了千差万别的结果。每位老师都有自己的教材观和教学观，这么多年来，我们的教学研究就是在彼此不断的交流和碰撞中相互汲取，走向成熟。 小学语文界有这样的呼声：让小学语文姓“语”，让小学语文更应该姓“小”。这样的声音也引发了我的思考：如何让我们的小学数学教学充盈着深刻的数学味儿？又如何让我们的孩子得以忘却数学的“威严”，趣味盎然地投入到数学学习中去，刻骨铭心地获得他“自己”的数学——让数学的教学弥漫出浓浓的儿童味儿呢？

29. 相比其他学科而言，数学是最抽象的，是离儿童最“远”的。所以，当下的数学教学倡导生活化理念，我们一方面是强调了其目标功能，即数学可以为解决生活所用，但其手段功能也是不容忽视的——即充分应用生活素材、生活原型帮助学生理解数学，拉近儿童与数学的距离。从这个角度联想开去，如果说数学的生活化理念是小学数学教学回归生活的话，那么，小学数学教学是否更应该回归儿童呢？相比其他学科而言，数学是最抽象的，是离儿童最“远”的。所以，当下的数学教学倡导生活化理念，我们一方面是强调了其目标功能，即数学可以为解决生活所用，但其手段功能也是不容忽视的——即充分应用生活素材、生活原型帮助学生理解数学，拉近儿童与数学的距离。从这个角度联想开去，如果说数学的生活化理念是小学数学教学回归生活的话，那么，小学数学教学是否更应该回归儿童呢？ 那么，如何拉近儿童与数学的距离，让数学如同“好吃”的”、“好玩”的 、“好看”的东西，被儿童悄悄地揣进他们的心灵口袋呢？

30. 一、数学是可以“表演”的。 案例：“占地面积”。 学生在计算沙坑的占地面积时，总有学生把它和表面积的计算问题相混淆。下面截取一段作业讲评的实录： 师：什么是占地面积？ 生1：就是一个面的面积 生2：就是下面的面积 …… 师：你能说一说什么是沙坑的占地面积吗？ 生：就是沙坑下面的面积（经过这几个学生的解释，似乎所有的同学都明白了） 师：王老师有占地面积吗？ 生：（笑）——（部分学生大声说）——有！ （几乎所有的学生都来了精神，刚刚还有几位思想不集中的孩子也在某种气氛的渲染下被激发出了学习的激情，课堂里的温度开始爬升） 师：（逗引）谁上来指一指王老师的占地面积？ 生：（很踊跃）一名学生上来蹲着身子用粉笔描老师两只鞋的边线。 生：后面的学生（因为看不见而着急）建议老师把脚抬起来。 师：老师用力抬起脚(比较艰难的抬起，想让所有学生看见)，露出鞋底。 师：最后排的学生仍然看不见，建议老师把鞋脱了。（学生哄堂大笑） （下课了之后，学生还沉浸在课堂的兴奋中，他们跑过来，看老师的鞋。）

31. 一、数学是可以“表演”的。 让小学生掌握某些数学概念，直接的讲解和强化是必要的，但无疑是直白和空洞的。硬塞给儿童的教学，学生掌握的及时，但忘却的也迅速。当我们把一个数学知识转化为一次游戏或活动，儿童在“儿童的环境”下感受或体验出的东西才是一种自然的沉淀。这样获得的数学才是儿童自己的数学。 案例中，“老师的占地面积”显然比“沙坑”来得生动，“老师的占地面积”也显然要比“沙坑”来的直白而不容易被曲解（老师的身体上只有鞋底是平面的、和地面接触的）所以这样的教学，自然拉近了问题和学生的距离，学生面对的是活生生的现实，这样的“开玩笑”式的教学进程，始终吸引了学生的注意，而学生积极参与的活动平添了学习的乐趣，学生学得轻松而愉快。看来—— 如果我们把数学知识看作是一本有意义的小说，我们是否可以把这篇小说改编为一段段属于儿童的剧本，甚至在课堂上演绎成一场精彩的表演，让儿童在这场表演中成为主角呢？

32. 案例： “公顷 平方千米”。 平方厘米 平方分米 平方米 公顷 平方千米 师：老师为什么空一格 师：演示，学生练习 “青 蛙 跳”

33. 二、数学是可以“意会”的。 案例：“找规律”。 当学生选用“冬去春来”时，下面画面在滚动

34. 二、数学是可以“意会”的。 案例：“找规律”。 找什么规律？如何描绘这个规律？ 像这样，数学中有许多东西是很难用语言去描述的，正如生活中对“胸口”的理解，郭思乐教授的解释是：“我一步一步登上了九寨的峰顶，胸前隐隐作痛的那个地方”。数学的理解有时和这个例子折射出的道理一样。“一步一步”的过程、“隐隐作痛”的个人体验，最终让我们明白了胸口的“位置”。从这个意义上说，自然的意会或许是离儿童最近的也是最合适的学习方式。反思我们当下的数学教学，常常为难学生，把学生本该意会的东西强行要求用一种精准的语言去显性表达，学生体会到的是一堆被语言文字阻塞、隔绝所带来的痛苦。所以，教师是否应该通过提供一些素材，让学生感悟，让学生通过意会，使数学知识在学生身体里自然积淀下来呢？

35. 二、数学是可以“意会”的。 案例：数学中的语文。 在一道小数乘法中，所得的积是3.2，若其中一个因数乘1.2，另外一个因数（ ），积还是3.2。 此起彼伏 ——永恒不变 （1）是什么此起彼伏？ （2）是什么永恒不变？ 数学知识的学习除了理解，少不了理解后的记忆。我们知道儿童是记忆的黄金年岁，所以我们便自然遵循这一心理学知识，让学生通过记忆获得数学的深刻理解。事实上，理解的深刻性并不一定是通过熟练记忆而获得的。通过机械的记忆，获得的知识也必然是机械的。而深刻的理解只有借助于儿童喜闻乐见的记忆方式，才能最让他们刻骨铭心。

36. 三、数学是可以“比方”的。 案例：“真分数和假分数”。 （小时候的数学老师是这样告诉我的，多少年过去了，但是我至今印象深刻。） 师：分数线下面的数是分母，上面的数是分子，如果儿子比妈妈大，那这个分数还是真的吗？ 生：还有什么情况下，也不是真的呢？ 生：只有儿子比妈妈小，这个分数才是真的。 得益于我的这位数学老师，我从没有在早读课上背诵过关于真、假分数的那些枯燥的文字概念。但是我对这个概念的理解却是精确而难忘的。

37. 三、数学是可以“比方”的。 案例：“分数和除法的关系”。 （由教室里的标语不经意想到的） 生：被除数÷除数 = 师：你有什么发现？让学生联系书报的文字排版2种方式，即横版（从左往右排版）和竖版（从上往下排版）。 于是，学生在练习把除法算式转化为分数的时候，自然少了一份死记硬背——“被除数相当于分子、除数相当于分母、除号相当于分数线 ……”。他们多了的是从容和淡定：比如，11÷13 = （当把除法算式竖着书写的时候，只要把除号简写为分数线就可以了）

38. 三、数学是可以“比方”的。 案例：“条形统计图”。 在学习了条形统计图之后，学生练习画图时，总是有很多学生忘记在直条的上方标明统计的数据，或是忘记在直条的下方忽略统计的对象。无论老师怎么强调，学生总是很难完整的完成一副统计图。以下的做法是否给我们启发呢？

39. 案例：“条形统计图”。 一位老师在上完了条形统计图之后，突然请全班同学起立。这时，他又请最前面一排同学原地立正，后面的同学坐下，全班同学面面相觑。老师让后面的同学联系今天所学的内容联想，经过老师的提示，有人联想到了这仿佛8位同学的身高统计图，同学们这才恍然大悟。老师不满足这些，让同学们说说这幅具有生命意义的统计图有什么不足的地方？同学们七嘴八舌又津津有味的讨论开来： 生1：虽然我知道谁高谁矮，但是我还不知道他们的身高究竟是多少？ 生2：我在后面看到的是他们的背影，如果是一个陌生人，我还不知道这个人究竟是谁？老师插话：让他们每个人都戴上一顶帽子，帽子上标上每个人身高的数据就好了，是吗？ 生3：最好还写上他们的姓名。 生4：不对，姓名应该标在后背，象运动员号码簿那样，而不应该标在头顶上。 老师：不用标在后背也行，让他们在自己的鞋子上绑上“姓名”吧，好吗？你明白“戴帽子”、“穿鞋子”的意思了吗？

40. 四、数学是可以“联想”的。 案例：“÷”。 学生在学习了比号“ ：”之后，我让学生去联想除法中的“÷”。 生1：我发现把除号中的横线去掉就是分数线了。 生2：我觉得除号中的那条横线就是分数线。 生3：我还发现除号中的两个圆点就是分子和分母。 生4：我发现除号、分数线、比号好像是“兄弟3个人”。 生5：不对，应该是爷爷、爸爸和儿子。因为我们是先学习了除号，它是爷爷，后来才有的分数线和比号。 生6：我发现这三个符号具有一样的“功能”。

41. 案例：“三层楼房图”。 几乎每位学生都做过这样的练习： 把圆的半径扩大5倍，圆的周长会扩大（ ），圆的面积会扩大（ ）。 一位老师讲评过练习后，顺势引导学生讨论，得出下面的“楼房图” 老师再引导学生交流各自的理解，学生感悟到，长度住“一楼”；面积住“二楼”，它的变化是长度的“2次方”；体积住“三楼”，它的变化是长度的“3次方”。 以后学生在类似的练习题中，变得驾轻就熟起来。

42. 五、数学是可以“玩”的。 案例：“手指数学” 课堂上，我们可以用精美的课件吸引学生，也可以用生动的游戏拉近数学与学生的距离。儿童的天性是“玩”，是“动”。课堂上他们用的最多的也许就是自己那个不够 “安分” 的小手了，其实，小手也是可以帮助儿童理解数学的。 我的手指数学:

43. 答案1：数与计数 数 数：1、2、3 …… 帮助记进位：三七二十一，写“1”进“2”

44. 答案2：解决问题 小鸡和小鸭一共有40只，小鸡的只数是小鸭的3倍，小鸡有多少只？ 小鸡是三个小指头，小鸭是一个小指头，合起来是4个小指头，是40只，一个小指头是（ ）只？

45. 答案3：策略 —— 图示法 3个连续奇数的和是27，这3个奇数分别是（ ）。 你会先算出中间这个指头是多少吗？你是怎么想的？

46. 答案4：概念理解 什么是素数？什么是合数？ 大拇指代表什么意思？（最大的因数它本身） 小拇指呢？（最小的因数1） 中间的手指头代表什么意思？（还有其他的因数）

47. 答案5：对称图形 两边可以完全重合的图形，是轴对称图形。 为什么同样是两个手掌，却不是对称图形呢？对称图形的关键是什么？ （两边完全一样不一定互相重合，而互相重合一定是完全一样）

48. 答案6：认识规律 手指比手指丫多一个。（物体是手指，间隔是手指丫，物体的个数总是比间隔多1） ……

49. 迎合儿童 数学是一门精确的学科，但是获得数学的途径却未必是直接的传授。有人说，最深刻的教育应该是一种感染和熏陶，正仿佛浇花，倾倒不如渗透。教学也是这样，一股脑儿的告之不如学生自己感悟得来的深刻而持久。直白而简单的方式迎合不了儿童万花筒般的心灵世界，当我们的小学数学教学不仅仅姓“数”，而又姓“小”的时候，才能把数学变得更亲近一些，自然一些。数学才不会让学生觉得那么生硬，那么苍白，那么抽象而深不可测。如果我们的小学数学教学在学生的孩童时段就留给他们十分敬畏的感受，那对于他今后的学习是多么可怕的事情，反之小学生的数学是可以变得有滋有味的，是可以变的五彩缤纷的，也是可以动手把玩的。这正是我们每一位小学数学老师所要研究的，也是我们有别于中学数学老师、大学数学老师的使命之所在。

50. 感悟数学 数学味——我就是数学。