第六章决策分析 ----Decision Analysis

第六章决策分析----Decision Analysis

决策——就是人们在从事各种活动过程中所采取的决定或者选择。决策——就是人们在从事各种活动过程中所采取的决定或者选择。 • 决策分析——就是分析在各种条件下不同的决策行动的合理性以及在多种可能方案中选择最佳方案的过程。 • 决策问题通常分为——确定性决策、风险性决策和不确定性决策。 • 确定性决策——就是在决策环境完全确定的情况下进行的决策，因而所作的决策应是合理的。 • 风险决策和不确定性决策是在决策环境不完全确定的情况下进行的决策，其中： • 风险决策对于其面临的自然状态发生的概率，决策者可以预先计算或估计出来； • 不确定性决策对于其所面临的自然状态发生的概率，决策者完全不知，只能靠决策者的主观倾向进行决策。

第一节决策分析问题及其一般性描述 一、决策分析问题举例 • 例1某食品店牛奶的月需求量为25至28箱，每箱牛奶的进价为16元，售价为22元。若牛奶当月为售完，则因过期而每箱损失16元。试制定食品店每月牛奶的订购箱数。 • 该问题的基本分析可用如下两个表格来描述。

需求订货 25箱 26箱 27箱 28箱 25箱 150 150 150 150 26箱 134 156 156 156 27箱 118 140 162 162 28箱 102 124 146 168 （1）收益（利润） • 此处的收益表示利润。食品店在各种决策（订货25～28箱）下的收益如下表。表1 不同决策下的收益表单位：元

需求订货 25箱 26箱 27箱 28箱 25箱 0 6 12 18 26箱 16 0 6 12 27箱 32 16 0 6 28箱 48 32 16 0 （2）损失 • 食品店的损失分两种情况。第一种情况是订货大于需求时，牛奶因过期而损失，损失价值为损失的箱数乘以每箱进价；第二种情况是当需求大于订货量时，因失去获取利润机会的机会损失，其损失值为需求超过订货的箱数乘以每箱利润。食品店在各种决策下的损失如下表。表2 不同决策下的损失表单位：元

自然状态 损益值行动方案需求量大 S1 需求量一般 S2 需求量小 S3 大批量生产A1 36 14 -8 中批量生产A2 20 16 0 小批量生产A3 14 10 3 例2某公司需要对某种新产品的批量作出决策。市场对该种产品的需求有三种可能，即需求量大、需求一般和需求量小。现有三种决策方案，即大批量生产、中批量生产和小批量生产。经估算，各行动方案在各种需求的情况下的收益值情况如下表，问哪种行动方案为最好？表3 收益表单位：万元

二、决策问题的一般性描述 （一）决策问题的基本要素 • 从以上两个例子可以总结出，决策问题一般包括三个基本要素：行动方案、自然状态和损益函数(Alternative, State of Nature, Payoff)。 • 首先，任何决策问题都必须具有两个或两个以上的行动方案。通常用Ai（i=1，…，m）表示某一具体的可行方案，用A=｛A1，A2，…，Am｝表示方案集。 • 其次，任何决策问题，无论采取何种方案，都面临着一种或几种自然状态。自然状态简称状态，也称事件。决策问题中的自然状态是不可控制因素，因而是随机事件。通常用Si（j=1，…，n）表示某一具体的状态，用S=｛S1，S2，…，Sn｝表示状态集。

第三，在某一具体的状态下，作出某一具体的行动方案（决策），必然会生产相应的效果，这种效果通常用损益函数来描述。设在状态Sj下，作出决策为Ai，则其产生的效果可用函数rij=R（Ai，Sj）来表示。第三，在某一具体的状态下，作出某一具体的行动方案（决策），必然会生产相应的效果，这种效果通常用损益函数来描述。设在状态Sj下，作出决策为Ai，则其产生的效果可用函数rij=R（Ai，Sj）来表示。（二）决策问题的基本条件（1）决策者有一个明确的预期达到的目标，如收益最大或损失最小；（2）存在着两个或两个以上的可供选择的行动方案；（3）各行动方案所面临的可能的自然状态完全可知；（4）各行动方案在不同的状态下的损益值可以计算或能够定量地估计出来。

自然状态 损益值行动方案 S1 S2 … Sn A1 r11 r12 … r1n A2 r21 r22 … r2n ┆ ┆ ┆ ┆ Am rm1 rm2 … rmn • 决策问题可以用损益矩阵或损益值表来描述，即决策问题的模型。（1）损益矩阵(Pay off Matrix)： • R=（rij）m×n i=1，2，…，m；j=1，2，…，n （2）损益值表(payoff table) • 上述是决策问题的一般性描述，决策者要作出满意的决策必须分析问题的类型并确定正确的决策方法，这些是下面所要讲述的内容。

第二节不确定性决策(Decision Making without probability) • 不确定性决策是在决策者已知决策可能面临的自然状态，但各状态出现的概率完全不知情况下的决策。 • 由于缺乏自然状态的进一步信息，决策者只能根据自己的主观判断，采用某一准则进行决策。 • 决策者可以根据具体情况，选用最为合适的准则进行决策。 • 除特别说明外，以下所说损益值均为收益。若损益值为损失，则各决策准则需要作相应地调整。

一、悲观准则(保守法,conservative approach) • 决策者总是从最不利的角度去考虑问题。认为，不论作出什么决策，总会出现最不利的状态与之对应。这样，决策者只能对各决策方案的最小损益值进行比较，从中选择最大者对应的方案为满意方案。因此，该准则也称最大最小准则。这是一种万无一失的保守型决策者的选择准则。其数学描述如下： • 则r*所对应的方案为所选方案。

悲观准则举例 • 在各行中找出损益值最小的值，列于表中第五列，然后在该列中找出最大值，对应方案为所选方案。故应选方案A3

二、乐观准则(optimistic approach) • 与悲观准则相反，在该准则下，决策者总是从最有利的角度去考虑问题，即认为，无论采取何种决策，总会出现最有利的自然状态与之对应。这样，决策者可以对各决策方案的最大损益值进行比较，从种选择最大值，相应的方案为最优方案。其数学描述如下： • 则r*所对应的方案为所选方案。 • 这种决策方法是一种偏于冒险的决策方法，在客观条件一无所知的情况下，一般不宜采用这种方法进行决策。

乐观准则举例 • 在各行中找出损益值最小的值，列于表中第五列，然后在该列中找出最大值，对应方案为所选方案。故应选方案A1

三、乐观系数准则(Hurwicz decision criterion) • 这是一种折中的准则，即决策者对客观条件的估计既不乐观也不悲观，主张一种平衡。通常用一个表示乐观程度的系数来进行这种平衡。其数学描述如下： • 则r*所对应的方案为所选方案。 • 其中，α为乐观系数（0≤α≤1），当α=1时，就是乐观准则，当α=0时，就是悲观准则。di为第i方案的折中损益值。

乐观系数准则举例 • 选乐观系数为α=0.6，则有： = 18.4 d2=0.6×20+0.4×0= 12 d3=0.6×14+0.4×3= 9.6 • 故选方案A1。

四、后悔值准则(minimum regret approach) • 该准则认为，决策者制定决策之后，如果实际情况没有达到理想的结果，决策者必后悔。该准则将各自然状态下的最大损益值确定为理想目标，将该状态下的各方案的损益值与理想值的差值称为相应方案的后悔值（或称为机会损失值），然后在各方案的最大后悔值中选择一个最小的，相应的方案为最优方案。因此，该原则也称为最小后悔值准则。其数学描述如下： • 则h*所对应的方案为所选方案。 • 式中，hij为在状态Sj下采取方案Ai的后悔值；h*为最小最大后悔值。

后悔值法举例 • 首先按公式 (i=1，…，m；j=1，…，n) 计算后悔值，结果如下表： • 表6 后悔值决策表 • 根据表中数据有： =11， • 因此，按此方法应选方案A1。

五、等可能准则（Laplace decision criterion） • 等可能准则的思想是：认为各自然状态发生的可能性均相同，即若有n各自然状态，则每个自然状态出现的概率均为1/n。这样，就可以求各方案损益值的期望值，取期望值最大所对应的方案为最优方案。其数学描述如下： • 则r*所对应的方案为所选方案。若有几个方案的期望损益值均为最大，则需要另用悲观准则在这几个方案中选择。 • 式中，ER（Ai）为方案Ai的期望损益值。

等可能准则举例 • 因为自然状态只有三个，按各自然状态出现的概率均为1/3来计算各方案的期望损益值，有 • 故应选方案A1。

不确定性决策总结 • 综上所述，对于非确定性决策问题，采用不同的决策方法所得结果可能会不同，而且也难以判断各方法的优劣。之所以这样，是因为这些方法之间没有一个统一的评判标准。因此，实际应用中选择何种方法，取决于决策者对自然状态所持的主观态度。若态度悲观，则选用悲观法；若重视机会，则采用后悔值法；若认为各状态出现的机会相等，则可采用等可能准则。

第三节风险决策(Decision Making with Probability) • 为了提高决策的客观性，决策者通常需要对决策所面临的自然状态所出的概率进行统计分析。此时，决策者虽然知道自然状态出现的概率，但仍然不知道哪种自然状态肯定会出现，因此决策仍然具有一定的风险。所以这种条件下的决策称为风险决策。

每月需求量（箱数） 各种需求出现次数的统计各种需求出现的概率 25 2次 0.1 26 6次 0.3 27 10次 0.5 28 2次 0.1 Σ 20次 1.0 决策问题的统计分析 • 本章例1中，为了获得每月牛奶不同需求量的概率，食品对过去20个月的牛奶需求进行了统计，结果如下表。表7 各种需求量的概率统计分析表

这样，就得到如下表所示的决策信息（风险决策表）。这样，就得到如下表所示的决策信息（风险决策表）。

一、最大可能准则 • 由概率论的知识可知，一个事件的概率越大，则该事件发生的可能性就越大。 • 最大可能准则就是在风险决策的情况下，选择一个概率最大的自然状态进行决策，而不考虑其它自然状态，这样，就将风险决策问题变成了一个确定性的决策。 • 该准则的数学描述如下： • 则r*所对应的方案为所选方案。

例4 用最大可能准则对下表所表述的问题进行决策。 • 故应选方案A3。 • 注意：该方法适用于有一个自然状态的概率明显大于其它状态的概率，且收益矩阵中的元素相差不大的情况。当各自然状态的概率相差不大时，不宜使用该方法。

二、期望值准则(expected value approach) （一）最大期望收益准则 • 期望收益最大值所对应的方案为最优方案。其数学描述为 • 则方案Ak为最优方案。

举例用最大期望准则对下表所表述的问题进行决策。解：各方案的期望收益值计算如下 ER（A1）=0.1×150+0.3×150+0.5×150+0.1×150=150.0（元） ER（A2）=0.1×134+0.3×156+0.5×156+0.1×156=153.8（元） ER（A3）=0.1×118+0.3×140+0.5×162+0.1×162=151.0（元） ER（A4）=0.1×102+0.3×124+0.5×146+0.1×168=137.2（元） • 故方案A2为最优方案。

（二）期望损失准 • 最小期望损失准则就是先计算各方案的期望损失值，然后加以比较，期望损失最小值所对应的方案为最优方案。其数学描述为 • 则方案Ak为最优方案。 • 式中hij为在状态为Sj下作出决策为Ai的机会损失。

举例用期望损失准则对下表所表述的问题进行决策。解：各方案的期望损失值计算如下 EL（A1）=0.1×0+0.3×6+0.5×12+0.1×18=9.6（元） EL（A2）=0.1×16+0.3×0+0.5×6+0.1×12=5.8（元） EL（A3）=0.1×32+0.3×16+0.5×0+0.1×6=8.6（元） EL（A4）=0.1×48+0.3×32+0.5×16+0.1×0=22.4（元） • 故方案A2为最优方案，与最大期望收益准则所得结论相同。

可以证明，对于同一问题，用最大期望准则和最小期望损失准则进行决策，其结果是完全相同的。具体如下可以证明，对于同一问题，用最大期望准则和最小期望损失准则进行决策，其结果是完全相同的。具体如下 • 由于 • 对于某一具体的问题，为常数，因此，当ER（Ai）为最大时，EL（Ai）必为最小。

三、决策树法(decision tree) • 决策树法就是用一种树状的网络图形（即决策树）进行决策分析，其决策准则是期望值准则，这就是决策树法。（一）决策树法步骤 • 为了说明决策树法的决策过程，我们用决策树法对例2所提出的问题进行决策。决策收益及各状态的概率如表

需求量大S1（0.3） 需求量大S1（0.3）需求量大S1（0.3） 16.2 36 14 20 需求一般S2（0.5）需求一般S2（0.5）需求一般S2（0.5） 14 10 16 A2 A1 A3 需求量小S3（0.2）需求量小S3（0.2）需求量小S3（0.2） 0 3 -8 大批量生产A1 14 1 16.2 中批量生产A2 9.8 小批量生产A3 图1 该问题的决策树如下图所示。图1所描述的是一个单级决策问题。有些决策问题包括两级以上的决策，即所谓的多级决策（也称序贯决策）问题。这类决策问题用决策树法可以有效地加以解决

（二）决策树法举例 • 例7 某企业需要在是否引进新产品之间进行决策，即开始时有引进新产品和不引进新产品两种方案。若引进新产品，又面临其它企业的竞争。估计有其他企业参与竞争的概率为0.8，没有企业参与竞争的概率为0.2。在无竞争的情况下，企业有给产品确定高价、中价和低价三种方案，其相应的收益分别为500、300和100万元。在有竞争情况下，企业也有给产品确定高价、中价和低价三种方案，但此时各方案的收益大小要受到竞争企业的产品定价的影响，有关数据如表11。试用决策树法进行决策。

竞争企业定价方案 高价中价低价本企业定价方案高价概率收益(万元) 0.3 150 0.5 0 0.2 -200 中价概率收益（万元） 0.1 250 0.6 100 0.3 -50 低价概率收益（万元） 0.1 100 0.2 50 0.7 -100 表11

对手高价(0.3) 对手高价(0.1) 对手高价(0.1) 本企业高价 100 150 250 -50 70 5 对手中价(0.6) 对手中价(0.2) 对手中价(0.5) 6 7 5 100 0 50 对手低价(0.2) 对手低价(0.7) 对手低价（0.3） -100 -50 -200 70 本企业中价 3 有竞争（0.8）本企业低价 156 引进产品 2 本企业高价 500 156 本企业中价 500 300 4 无竞争（0.2） 1 本企业低价 100 不引进产品 0 图 2 • 解：首先画出决策树如图2

决策树法总结 • 从上述讨论可以看出，决策树方法可以通过一个简单的决策过程，使决策者可以有顺序、有步骤地周密考虑各有关因素，从而进行决策。对于较复杂的多级决策问题，可以画出树形图，以便集体讨论、集体决策。

第四节信息的价值与贝叶斯决策 一、全信息的价值 (expected value of perfect information, EVPI) • 所谓全信息就是关于自然状态的准确信息。 • 当决策者获得了全信息，决策者就能正确地作出决策。 • 例如：在下表中，当决策者准确知道会出现自然状态S1时，就会作出大批量生产的决策，同理，…

若决策者掌握了全信息，就会给决策者带来额外的收益，这个额外的收益就是全信息的价值。若决策者掌握了全信息，就会给决策者带来额外的收益，这个额外的收益就是全信息的价值。 • 全信息的价值来源于决策者总能作出正确的决策，从不会后悔。在这种情况下，决策者的期望收益称为全信息期望收益，其数学描述为 • 式中，rj*为在状态Sj下作出正确决策的收益值。EPPI就是全信息期望收益。 • 在决策者未获得全信息的情况下，决策只能根据期望收益最大准则来选择方案。若所选方案的期望收益为ER*，则全信息的价值为 EVPI=EPPI－ER*

对于上表所描述生产规模的决策问题，计算其全信息的价值对于上表所描述生产规模的决策问题，计算其全信息的价值 r1* =36； r2* =16； r3*=3 EPPI=0.3×36+0.5×16+0.2×3=19.4（万元） • 在未获得信息的情况下，只能作出方案A1的决策，其期望收益为 ER*=max{16.2，14，9.8}=16.2=ER（A1） • 这样 EVPI=EPPI－ER*=19.4－16.2=3.2（万元） • 这3.2万元就是本问题完全信息的价值，它一方面说明完全信息能给决策者带来更大的收益，另一方面说明决策在现有情况下，无论怎样去补充信息，最大能增加3.2万元的收益。

关于全信息的几点结论 • 信息可以给决策者带来额外的收益，决策者当然想尽可能的获取全面的信息。 • 获取信息往往要付出代价，若获取完全信息的代价小于全信息价值，决策者就应投资获取全信息，反之，决策者就不应投资获取全信息。 • 对于随机事件，全信息实际上是不存在的。 • 一般说来，研究或购买只能得到部分信息，然而这一部分信息也是有价值的。在具有部分信息的情况下应如何决策，这就是下面要说的贝叶斯决策。

二、贝叶斯决策(Bayes Decision) • 在实际决策中人们往往采取各种“试验”手段（抽样调查、抽样检验、购买信息、专家咨询等）获取信息——不完全信息或样本信息(Sample Information)。 • 样本信息也可以给决策者带来额外收益，该额外收益就是样本信息的价值(Expected Value of sample information)。 • 对于风险决策问题，由过去经验或专家估计所获得的各自然状态的概率称为先验概率(prior probabilities)。 • 决策者通过“试验”等手段，获得了自然状态出现概率的新信息作为补充信息，用它来修正原来的先验概率估计，得到修正后的各状态的概率，这种概率称之为后验概率(posterior probabilities)。

后验概率通常要比先验概率准确可靠，可作为决策者进行决策分析的依据。由于这种概率的修正是借助于贝叶斯定理完成的，所以这种情况下的决策称之为贝叶斯决策。后验概率通常要比先验概率准确可靠，可作为决策者进行决策分析的依据。由于这种概率的修正是借助于贝叶斯定理完成的，所以这种情况下的决策称之为贝叶斯决策。 • 贝叶斯决策的具体步骤：（1）先由过去的资料和经验获得状态发生的先验概率；（2）根据调查或试验得到各状态下试验事件的条件概率，并利用贝叶斯公式计算出各状态的后验概率，即

式中 P（Sj）为状态Sj的先验概率； P（Bk|Sj）为试验获取的信息，其意义为在状态为Sj条件下出现事件Bk的概率；P（Sj|Bk）为试验事件为Bk时状态Sj的后验概率（条件概率）。 • 为全概率公式。（3）利用后验概率代替先验概率进行决策分析。

概率论相关知识 • 条件概率——设A为一个随机事件，称在“事件B出现”的条件下，事件A的概率为“事件B出现下事件A的条件概率。记为P（A|B）。 • 条件概率举例：一批零件共100个，次品率10%。从中任取一个零件，取出后不放回去，再从余下的部分中任取一个零件。求在第一次取得次品的情况下，第二次取得正品的概率。解：事件A——第一次取得次品；事件B——第二次取得正品这样：P（A）=10/100 P（B|A）=90/99

先验概率与后验概率举例：对以往数据分析结果表明，当机器调整良好时，产品合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整好的概率为75%。试求已知某日早上第一件产品合格时，机器调整良好的概率是多少？先验概率与后验概率举例：对以往数据分析结果表明，当机器调整良好时，产品合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整好的概率为75%。试求已知某日早上第一件产品合格时，机器调整良好的概率是多少？解：事件S1—机器调整良好；事件S2—机器发生某一故障；事件B1——产品合格；事件B2——产品不合格；试验结果出现事件B1 这样： P（B1|S1）=90%；P（S1）=75%； P（S2）=25%；P（B1|S2）=30% P（S1|B1）=0.9即为试验结果为产品合格情况下，机器调整良好的概率——后验概率。P（S1）=75%为先验概率。

若试验结果为“第一件产品为次品，求机器调整良好”的概率若试验结果为“第一件产品为次品，求机器调整良好”的概率 • 解：事件S1——机器调整良好；事件S2——机器发生某一故障；事件B1——产品合格；事件B2——产品不合格； • 试验结果出现事件B2 • 这样：P（B2|S1）=10%；P（S1）=75%； P（S2）=25%；P（B2|S2）=70%

同理有：

S B 需求量大S1 需求量一般S2 需求小S3 销路好B1 P（B1|S1）=0.8 P（B1|S2）=0.5 P（B1|S3）=0.3 销路差B2 P（B2|S1）=0.2 P（B2|S2）=0.5 P（B2|S3）=0.7 • 例9对于表10所描述的决策问题，决策者为了掌握更多的信息，决定花费1.5万元请咨询公司调查该新产品的销路情况。调查结果为：在需求量大的情况下，该新产品销路好与不好的概率分别为0.8和0.2；在需求量一般的情况下，该新产品销路好与不好的概率各为0.5；在需求量小的情况下，该新产品销路好与不好的概率分别为0.3和0.7。这些数据列于表12。 • 问：（1）花费1.5万元进行调查是否合算；（2）应如何根据调查结果进行决策。

解：根据所获信息，利用贝叶斯公式，可以得到修正后的各自然状态的概率（后验概率）。解：根据所获信息，利用贝叶斯公式，可以得到修正后的各自然状态的概率（后验概率）。 • 在信息为销路好时，有 P（B1） = P(S1)×P(B1|S1)+P(S2)×P(B1|S2) +P（S3）×P（B1|S3） = 0.3×0.8+0.5×0.5+0.2×0.3 = 0.55 • 因此有

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