第 3 章 函数逼近与快速傅里叶变换

1. 3.1 函数逼近的基本概念 3.2 正交多项式 3.3 最佳平方逼近 3.4 曲线拟合的最小二乘法 3.5 有理逼近 3.6 三角多项式与快速傅里叶变换 第3章 函数逼近与快速傅里叶变换

2. 这些都涉及到在区间 上用简单函数逼近已知复杂 这就是函数逼近问题. 函数的问题， 3.1函数逼近的基本概念 3.1.1函数逼近与函数空间 1、数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算 基本初等函数及其他特殊函数； 问题 2、当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该 点集的区间上用公式给出函数的简单表达式.

3. 记作 ， 使 与 的误差在某种度量 中求函数 ， 函数类 通常是区间 上的连续函数，记作 ， 插值法就是函数逼近问题的一种. 本章讨论的函数逼近，是指“对函数类 中给定的函数 要在另一类简单的便于计算的函数类 意义下最小”. 称为连续函数空间.

4. 函数类 通常为 次多项式，有理函数或分段低次多项 式等. 数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为 赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间. 例如将所有实 维向量组成的集合，按向量加法及向量 称为 维 记作 ， 与数的乘法构成实数域上的线性空间， 向量空间.

5. 对次数不超过 ( 为正整数)的实系数多项式全体， 按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域 用 表示， 称为多项式空间. 上一个线性空间， 所有定义在 上的连续函数集合，按函数加法和 数与函数乘法构成数域 上的线性空间， 记作 . 类似地, 记 为具有 阶连续导数的函数空间.

6. 设集合 是数域 上的线性空间，元素 如果存在不全为零的数 ， （1.1） 则称 线性相关. 否则，若等式(1.1)只对 成立， 则称 线性无关. 定义1 使得

7. 若线性空间 是由 个线性无关元素 生成的， 即对 都有 则 称为空间 的一组基， 并称空间 为 维空间， 系数 称为 在基 下的坐标， 记作 如果 中有无限个线性无关元素 则称 为无限维线性空间. 记为

8. 考察次数不超过 次的多项式集合 ， 表示为 （1.2） 是线性无关的， 它是 的一组基， 且 是 的坐标向量， 是 维的. 它由 个系数 唯一确定. 其元素 故

9. 对连续函数 ，它不能用有限个线性无关的 函数表示，故 是无限维的，但它的任一元素 均可用有限维的 逼近， ( 为任给的小正数)， 使误差 这就是著名的魏尔斯特拉斯定理.

10. 在 上一致成立. 设 ， 总存在一 则对任何 ， 个代数多项式 ， （1.3） 定理1 使 伯恩斯坦1912年给出的证明是一种构造性证明. 他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式

11. 在 上一致成立； 若 在 上 阶导数连续，则 其中 为二项式展开系数，并证明了 这个结果不但证明了定理1，而且由(1.3)给出了 的一个逼近多项式，但它收敛太慢，实际中很少使用.

12. 更一般地，可用一组在 上线性无关的函数集合 函数逼近问题就是对任何 ， 在子空间Φ中 使 在某种意义下最小. 找一个元素 ， 来逼近 ， 此时元素 可表示为 （1.4）

13. 为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引进范数为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引进范数 定义，它是 空间中向量长度概念的直接推广.  3.1.2范数与赋范线性空间

14. （1）  当且仅当 时， （正定性） （2） (齐次性) （3） (三角不等式) 定义2 设 为线性空间， ，若存在唯一实数‖·‖， 满足条件： 则称‖·‖为线性空间 上的范数， 与‖·‖一起称为赋范 线性空间，记为

15. 称为 范数或最大范数， 称为 1-范数， 例如，在 上的向量 三种常 用范数为 称为 2-范数.

16. 实际上任何向量的实值函数，只要满足上述三个条件，实际上任何向量的实值函数，只要满足上述三个条件， 就可以定义成一种向量范数. 在 中，满足‖·‖2 =1 ，即 的向量 为单位圆， 满足‖·‖∞ =1，即 的向量为单位正 方形， 而满足‖·‖1 =1的向量 则为对角线长 度为1的菱形.

17. 所以说，范数是对向量长度的度量，度量方式不同，所以说，范数是对向量长度的度量，度量方式不同， 结果也不一样，但不同范数之间是存在等价关系的.

18. 类似地，对连续函数空间 ，若 , 称为 范数， 称为 1-范数， 称为 2-范数. 可定义三种常用范数如下： 可以验证这样定义的范数均满足定义2中的三个条件.

19. 在线性代数中， 中两个向量 及 的内积定义为 若将它推广到一般的线性空间 ，则有下面的定义. 3.1.3内积与内积空间 （1.5）

20. X 是数域K(R或C)上的线性空间，对 有K中一个数与之对应，记为 ，它满足 以下条件： 则称 为X上 与 的内积. 定义3

21. 如果 ，则称 与 正交，这是向量相互垂 直概念的推广. 定义中（1）的右端 称为 的共轭， 当K为实数域R时 . 定义了内积的线性空间称为内积空间.

22. 取 ， 对 有 （1.6） 当 时（1.6）式显然成立. 现设 ， 且对任何数 有 则 ， 定理2 设X为一个内积空间， 称为柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式. 证明 代入上式右端，得

23. 即得 时

24. 设X为一个内积空间， （1.7） 则 非奇异的充分必要条件是 线性无关. 定理3 矩阵 称为格拉姆(Gram)矩阵，

25. G非奇异等价于 ，其充要条件是齐次 方程组 （1.8） （1.9） 证明 只有零解； 而

26. 等价于从（1.8）推出 （1.8） 而后者等价于从（1.9）推出 即 线性无关. （1.10） 从以上等价关系知， 在内积空间X上，可以由内积导出一种范数，即对于 记

27. （1.11） 利用 两端开方即得三角不等式

28. 与 的内积. 设 （1.12） 例1 向量2-范数为

29. 若给定实数 称 为权系数， 当 时， 上的加权内积为 （1.13） 相应的范数为 （1.13）就是前面定义的内积.

30. 如果 ， （1.14） 这里 仍为正实数序列， 为 的共轭. 在 上也可以类似定义带权内积. 带权内积定义为

31. 设 是有限或无限区间，在 上的非负 函数 满足条件： （1）  存在且为有限值 （2） 对 上的非负连续函数 ，如果 则 则称 为 上的一个权函数. 定义4

32. 上的内积. 设 是 上给定的权函数, （1.15） （1.16） 称（1.15）和（1.16）为带权 的内积和范数. 例2 则可定义内积 由此内积导出的范数为

33. 常用的是 的情形，即

34. 若 是 中的线性无关函数族， （1.17） 根据定理3可知 线性无关的充要条件是 记 它的格拉姆矩阵为

35. 3.1.4最佳逼近 函数逼近主要讨论给定 ，求它的最佳逼近多项式的问题. 若 使误差 则称 是 在 上的最佳逼近多项式. 若 则称相应的 为最佳逼近函数. 通常将范数 取为 或

36. 若取 ，即 （1.18） 则称 是 在 上的最优一致逼近多项式. 求 就是求 上使最大误差 最小的多项式.

37. 若取 ，即 （1.19） 则称 是 在 上的最佳平方逼近多项式. 若 是 上的一个列表函数，在 上给出 ，要求 使 （1.20） 则称 为 的最小二乘拟合.

38. 若 为 上的权函数且满足 （2.1） 则称 与 在 上带权 正交. 3.2正交多项式 3.2.1正交函数族与正交多项式 定义5

39. 若 ，则称之为标准正交函数族. （2.2） 若函数族 满足关系 则称 是 上带权 的正交函数族.

40. 就是在区间 上的正交函数族. 设 是 上首项系数 的 次多 项式， 为 上权函数， 如果多项式序列 满足关系式(2.2)， 则称多项式序列 为在 上 带权 正交，称 为 上带权 的 次正交多项式. 三角函数族  定义6

41. 只要给定区间 及权函数 ，均可由一族线性 无关的幂函数 利用逐个正交化手续构造 出正交多项式序列 ： （2.3）

42. 正交多项式 的最高次项系数为1. 而若 是正交多项式，则 在 上是 线性无关的. 事实上，若 用 乘上式并积分得

43. 利用正交性有 由于 ，故 即 线性无关. 关于正交多项式，有  （1） 任何 均可表示为 的线性组合. 即

44. （2） 与任一次数小于 的多项式 正交. 即 除此之外，还有

45. （2.4） 这里 定理4设 是 上带权 的正交多项式，对 成立关系 其中

46. 定理5设 是 上带权 的正交多项式，则 在区间 内有 个不同的零点. 证明 假定 在 内的零点都是偶数重的，则 在 符号保持不变，这与 矛盾.故 在 内的零点不可能全是偶数重的，现设 为 在 内的奇数重零点，不妨设 则 在 处变号.

47. 令 于是 在 上不变号，则得 若 ，由 的正交性可知 这与 矛盾，故 .而 只有 个零点，故 ，即 个零点都是单重的.

48. 当区间为 ，权函数 时， 由 正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式， 并用 表示. （2.5） 3.2.2勒让德多项式 罗德利克(Rodrigul）给出了简单的表达式

49. 由于 是 次多项式， 所以对其求 阶导数后得 于是得首项 的系数 （2.6） 最高项系数为1的勒让德多项式为

50. （2.7） 令 ，则 勒让德多项式重要性质： 性质1 正交性 证明 设 是在区间 上 阶连续可微的函数，由分部 积分知