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初二数学 主讲教师：邓兰萍

特殊平行四边形（一）. 初二数学 主讲教师：邓兰萍. 矩形： 一．课内知识的回顾： 1 ．矩形的特征： 　　　　边：对边平行且相等； AB // DC , AB  DC ， AD // BC ， AD  BC ． 　　　　角：四个角相等，都等于 90° ； 　　　　　　∠ A  ∠ B  ∠ C  ∠ D  90° 　　　　对角线：对角线互相平分且相等； AO  CO ， BO  DO ， AC  BD ． 　　　 对称性：既是轴对称又是中心对称图形．. D. C. B. A. D.

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  1. 特殊平行四边形（一） 初二数学 主讲教师：邓兰萍

  2. 矩形： 一．课内知识的回顾： 1．矩形的特征： 　　　　边：对边平行且相等； AB//DC , ABDC，AD//BC，ADBC． 　　　　角：四个角相等，都等于90°； 　　　　　　∠A∠B∠C∠D90° 　　　　对角线：对角线互相平分且相等； AOCO，BODO，ACBD． 　　　 对称性：既是轴对称又是中心对称图形． D C B A D C O B A

  3. 3个条件 2个条件 1个条件 2．矩形的识别方法： 　　有三个角是直角的四边形是矩形； 　　对角线相等且互相平分的四边形是矩形； 　　有一个角是直角的平行四边形是矩形； 　　对角线相等的平行四边形是矩形．　

  4. 3．与矩形相关的三角形： 注意：当边AB等于对角线AC一半时，矩形中出现的三角形都是特殊的三角形（含30°角的直角三角形、等边三角形、含120°角的等腰三角形）． A B C A D O O C B B A C O B

  5. A O B C 利用矩形对角线的特征，可以得到下面结论： 　 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 　 如图：△ABC中，∠ABC90°，点O是AC的中点， 则BOAC．

  6. F A D 2 1 3 C B E 二．矩形知识的应用举例： [例1]在矩形ABCD中，直线DE是△DCE与△DFE的对称轴,若矩形与四边形ECDF的周长差是4，且四边形ECDF的周长是8， (1) 求矩形ABCD的周长与面积; (2)直线FE与矩形ABCD有什么关系？ 分析:要想由条件得到图形中E、F分别是 BC、AD中点，先判断出△DCE与△DFE是等腰直角三角形是解决问题的关键；矩形与四边形ECDF的周长差实际就是AF与BE的和；EF垂直平分AD可发现直线EF是矩形的一 条对称轴．

  7. 解：∵矩形ABCD中，ADCC90，ABDC， AD BC 又DCE与DFE关于直线DE对称 ∴123， 四边形ECDF中， ∵ CDCE,周长为8，ECCDDFFE2 DFE90 ∴ADFDBCEC即AFBE 矩形ABCD的周长四边形ECDF的周长AFBE4 ∴AFBE2 ∴矩形ABCD中，AD4，AB2 ∴矩形ABCD周长2(ADAB)12 矩形ABCD面积ADAB428 F A D 2 1 3 C B E

  8. D C O A B E [例2]已知：如图，矩形ABCD中，DE平分∠ADC交AB于E，∠BDE＝15°。求：∠BOC、∠AOE的度数． 分析：由矩形的特征及条件不难发现△OAD是等边三角形，△ADE是等腰直角三角形，利用这两个特殊三角形的特征就可以使问题得以解决．

  9. D C O A B E 解∵矩形ABCD ∴ACBDAOOD ADC90 ∵DE平分ADC BDE15 ∵ADOADEBDE451560 ∴OAD为等边，BOCAOD60ADAO DAO60 又DAE90∴ADE为等腰RtAEAD ∴OAE906030AOAE

  10. 2 A D 5 6 10 E o 3 Q B C F [例3]已知：如图，矩形ABCD，DF平分∠ADC，BE⊥AC于E，EB的延长线交DF于F点． 请猜测：BF与AC的数量关系， 并说明理由．  分析：由于矩形ABCD中，ACBD，BF与AC的数量关系实质就是BF与BD的数量关系,由位置可通过角的关系得到． 　　让我们先来分析一组图形：

  11. C C C A B A A B F B H E C 1 2 A B E F H 分析：分析BFAC由位置关系可知应通过角的关系得到。 与之相关的RtABC三角形中有斜边上高和中线，RtADC中有中线和角平分线.

  12. D C F B A E [例4]在矩形ABCD中，AB6，BC4，E是AB上一点， CE5，DF⊥CE于F．求DF． 分析：分析：由AB、BC可求S矩形，而EC、DF可以看作是DEC的底和高，因为 可求，所以EC边上的高可求。

  13. D C ∵DFEC于F ∴ F B A E 解答：连DE ∵矩形ABCD，且AB6，BC4 ∴S矩形6424 又∵AB//DC ∴ ∵EC5 ∴

  14. [例5]有一块方角形钢板如下图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分．（不写作法，保留作图痕迹，在图中直接画出）

  15. 分析：由于矩形对角线交点就是它的对称中心，因此经过对称中心的任意一直线都会将矩形分成两部分仍是关于中心对称的图形，所以面积相等，因此有：只要将图形化为两个矩形的和或差，作出经过两个图形对称中心的直线即可。

  16. P A D E F O Q B C [例6]如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，P是AD上任意一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，若AB3㎝，AD4㎝，BD5㎝ 。求：PEPF的值．当点P在AD上移动时，其它条件不变，PEPF的值会改变吗？

  17. 分析：分别求PE、PF困难。 由已知得矩形面积，而 可知。 由于AOD是等腰，联想“等腰底边上任意一点到两腰距离和等于腰上的高”这一性质，由于对角线已知，即等腰可知，由面积就可求出腰的高。问题得解。 P A D E 解：过D点作DQAC于Q ∵矩形ABCD中，AB3，AD4 ∴S矩3412 又∵AC与BD互相平分 F O Q B C

  18. ∵连OP P A D E F ∴DQPEPF ∵ACBD5 O B C Q 在其它条件不变的情况下, 由于不论P点在AD上如何移动，它到等腰AOD两腰的距离之和永远等于OA上的高，因此PEPF的值不会改变。 由

  19. [例7]如图，在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN//BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．[例7]如图，在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN//BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）OE与OF相等吗？为什么？ （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？ 并说明你的结论？ A N O M E F B C

  20. A N O M E F B C 分析与解答： （1）由于CE、CF分别是角平分线，因此有ECF为直角，又由于MN//BC，因此OEC与OFC均为等腰，即OEOC，OFOC，故O是EF中点。 （2）由于ECF为90，只要四边形AECF为平行四边形，则四边形AECF就为矩形。而（1）已知O是EF中点，只需O是AC中点即可，故点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形。

  21. 菱形 一．课内知识的回顾： 1．菱形的特征： 　 边：对边平行且四条边相等； AB//DC , AD//BC，ABDCADBC． 　 角：对角相等，邻角互补； 　　　 ∠A∠C， ∠B∠D 　　　 ∠A ∠B180°，…… 　 对角线：对角线互相垂直平分； AOCO，BODO， AC⊥BD． 每条对角线平分一组对角 ∠ADB∠CDB,…… 　 对称性：既是轴对称又是中心对称图形． D A C B D A C O B

  22. 3个条件 2个条件 1个条件 2．菱形的识别方法： 　 四条边相等的的四边形是菱形； 　 对角线互相垂直平分的四边形是菱形； 　 有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 　 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

  23. D D C O D C A O A C D B A B 3．与菱形相关的三角形： 注意：当边AB等于对角线BD时，菱形中出现的三角形都是特殊的三角形（含30°角的直角三角形、等边三角形、 含120°角的等腰三角形）．

  24. 　　利用菱形对角线的特征，可以得到菱形面积的另一种求法：如图　　利用菱形对角线的特征，可以得到菱形面积的另一种求法：如图 l1、l2分别是菱形的两条对角线，有S菱形= l1 l2 l2 l1

  25. 二． 菱形知识的应用举例： [例1]已知:菱形两条对角线的差等于3.2cm，它们的比为1:2. 求:菱形的面积．

  26. A D B N M C [例2]已知：如图，正△AMN与菱形ABCD有一个公共点A，且边长相等，M、N在BC、CD上， 求∠BAD的度数． 分析：抓住菱形和正都是轴对称图形且边长相等这一特征，可得ABM为等腰，利用底角与顶点及菱形相邻两角的数量关系可将问题得以解决。

  27. A D B N M C 解：∵菱形ABCD及等边AMN关于AC对称 ∴BAMDAN 又∵菱形和等边边长相等 ∴在ABM中有ABAM，设BAM为x，则 BAD2x60 ∵AD//BC ∴ 即 解得x20 ∴BAD2x60100

  28. A F D B E C [例3]已知：如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，ABAE，∠EAD2∠BAE． 求证：BEAF． 分析：线段BE和AF在位置上没有特殊关系，应考虑等量代换，因此应从角的关系入手找到BF和AF的中间量

  29. A F D B E C 解答： ∵菱形ABCD ∴AD//BC ∴EADAEB ∵ABAE ∴ABEAEB 又∵EAD2BAE又BD平分ABC 即ABFEBF ∴BAEABF ∴AFBF ∵BFEBAFABF2BAE ∴BFEBEF ∴BFBE ∴BEAF

  30. A D E C G B F [例4]已知：如图，△ABC中，∠BAC90°，AG、BD分别是高线和角平分线，且交于E，FD⊥BC于F，连EF． 求证：四边形AEFD为菱形．

  31. A D E C G B F 分析：若要判断四边形AEFD为菱形，可先证明四边形AEFD为平行四边形 . 由于AG是ABC的高，DFBC，故AE//DF，只需再寻找一个条件。

  32. D E F A B C [例5]已知：如图，分别以△ABC的各边为边，在BC边的同侧作等边△ABE、等边△CBD和等边△ACF，连结DE、DF．问：当△ ABC满足什么条件时，四边形DEAF为矩形、菱形．

  33. D E F A B C 分析与解答：从图形中可分析出： EBD与ABC是绕B点旋转对称的图形，有EDACAF，同理AEDF，因此四边形AFDE为平行四边形 ，ABC的形状对这个四边形有影响，当EAF90时，AFDE为矩形，此时BAC36090260150，即ABC中BAC150时，当AEAF时AFDE为菱形，此时ABAEAFAC，即ABC中ABAC时，四边形DEAF为矩形、菱形．

  34. 小结： 1．矩形、菱形都是特殊的平行四边形，在学习这部分知识时可以通过类比的方法来研究图形的特征及识别方法； 2．既然矩形、菱形都是特殊的平行四边形，因此要注意到它们与一般平行四边形比较，特殊在什么地方； 3．矩形、菱形在我们日常生活中都会经常遇到，学习这些知识也是为了更好的解决实际问题； 4．在这部分内容的学习中，要注意提高说理的水平，真正做到出言有据．

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