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长沙市明德中学数学组 郭文静. 轨迹问题. 一、轨迹问题在教材中的地位和作用. 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一。一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材，也是解析几何的主要课题，该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。. 二、轨迹问题的高考命题走向.
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长沙市明德中学数学组 郭文静 轨迹问题
一、轨迹问题在教材中的地位和作用 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一。一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材，也是解析几何的主要课题，该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。
二、轨迹问题的高考命题走向 轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。
2004年：北京卷理（4）、 天津卷文（8）、 浙江卷理（4）、福建卷理（22）等。 2005年：上海（3）江西（16）、（22）北京（18）广东（17）江苏（19）山东（22）辽宁（21）等。 根据各省每年题型的变化，结合湖南省2004年和2005年解析几何题型，预测2006年湖南省命轨迹题型的可能性较大，在一、二轮复习中应引起我们足够的重视。
三、轨迹问题的大纲要求及应试策略 对于轨迹问题，考纲要求：理解轨迹的概念，能够根据所给条件选择适当的直角坐标系，运用轨迹法求曲线的方程。 这部分的教学重点： ⑴ 轨迹的概念和轨迹与轨迹方程的关系； ⑵ 求轨迹方程的常用方法：直译法，定义法，相关点法，向量法，交轨法，参数法等。 这部分的教学难点： ⑴ 特殊点的取舍及坐标范围的讨论； ⑵ 轨迹问题在函数、不等式、三角函数、平面向量中的应用。因此这部分的复习应立足课本，夯实基础知识，掌握基本方法，形成基本能力。
四、求轨迹方程的基本方法 直接法、相关点法、定义法、参数法、交轨法、向量法等。 求轨迹方程的基本方法有：
直接法也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧。 直接法也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧。
例 1 解：如图，设MN切圆于N，则动点M组成的集合是 P=｛M||MN|=λ|MQ|｝，常数λ＞0 ∵圆的半径|ON|=1 ∴|MN|2 = |MO|2－|ON|2 =|MO|2－1 设点M的坐标为（x，y），则 整理得(λ2－1)(x2+y2)－4λ2x+(1+4λ2)=0 当λ =1时，方程为 ，表示一条直线 当λ ≠1时，方程为 它表示圆心为 ，半径为 的圆 － （ ） － 已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0)，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线。
回归课本： 点M（x，y）与定点F（c，0）的距离和它到定直线L： 的距离的比是常数 （a＞c＞0）（或c＞a＞0），求点M的轨迹。 课本原题2（试验修订本 数学第二册（上）P85小结与复习例2）： 求证到圆心距离为a（a＞0）的两个相离定圆的切线长相等的点的轨迹是直线。（图1 ） 图1 课本原题1（试验修订本 数学第二册（上）P100例4，P112例3）：
变式：（2005年高考·江苏卷） 如图2，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1与圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PM=PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程。 图2
思维感悟 ： 数学教材始终是高考数学命题的源头活水，高考试题有相当一部分是源于教材，即从课本的例题、习题出发，采取科学的组合、加工、扩展或赋予新的背景等形成的，充分体现了教材的基础作用。因此，在复习过程中，用好教材是复习的关键，复习时对教材进行深加工，在每一堂复习课中，尽量引入一些课本典型例题、习题，从解题思路，解题方法，解题规律等方面作一些探索，并做一些变式研究，使之与高考试题接近。
相关点法也称 “ 代入法 ” ，如果轨迹动点P(x，y）依赖于另一动点Q（a，b），而Q又按某个规律运动，则可先用x，y表示a，b，再把a，b代入它满足的条件便得到动点P的轨迹方程。
例 2 解：设P(x, y) , M(xo , yo) , ∵正方形MNPO ∴ ∴|OM| = |OP|且OP⊥OM 又∵点M在抛物线y2=x上, ∴ (3) 由(2)得 , 代入(3)得 (4) 将(4)代人(5)得 将(3)代人(1)得 化简得 ∴动点P的轨迹方程为 M是抛物线y2=x上一动点，O为原点，以OM为一边作正方形MNPO，求动点P的轨迹方程。 分析：动点P的位置，依赖于抛物线上的点M，故可考虑用相关点法求P的轨迹方程。
相关点法在课本的习题中有较多的体现，如： 1.（试验修订本 数学第二册（上）P95例3）： 已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向X轴作垂线段，求线段中点的轨迹。 2.（试验修订本 数学第二册（上）P96，习题8.1 T6）： 从圆x2+y2=25上任意一点P向X轴作垂线段，且线段上一点满足关系式|PP’|︰|MP’|=5︰3，求点M的轨迹。
变式：（2002上海高考试题） 设P为双曲线 上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是：x2 – 4y2=1 – 3.（试验修订本 数学第二册（上）P119习题8.5 T6）： 从抛物线y2=2px（p＞0）上各点向X轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线？ 4.（试验修订本 数学第二册（上）P133、复习参考八 T15）： 求抛物线y2=2px（p＞0）上各点与焦点连线中点的轨迹方程。
思维感悟 ： 一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。
定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求。 定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求。
例 3 解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点， 两切线交于点P. 由切线的性质知：|BA| = |BD|，|PD| = |PE|，|CA| = |CE|， 故 |PB| + |PC| = |BD| + |PD| + |PC| = |BA| + |PE| + |PC| = |BA| + |CE| = |AB| + |CA| = 6+12 = 18 ＞ 6 = |BC|， E P O ' D B C l A 故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆， 以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系， 可求得动点P的轨迹方程为： 已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.
变式:（2005山东卷）已知动圆过定点 ， 且与直线 相切，其中p>0. 求动圆圆心的轨迹的方程. - 解：如图，设M为动圆圆心， 记为F，过点M作直线 - 的垂线，垂足为Ｎ，由题意知： |MF|=|MN| 即动点M到定点F与定直线 - 的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中 为焦点， 为准线， 所 以 轨 迹 方 程 为 . - -
思维感悟 ： 定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。
如果动点P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，可考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法。 如果动点P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，可考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法。
例 4(2005年广东卷) 在平面直角坐标系xoy中，抛物线y = x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B，满足 ，求△AOB的重心G的轨迹方程。 解法一：以OA的斜率k为参数 由 解得A（k，k2） － ∵OA⊥OB， ∴OB： 由 解得B 设△AOB的重心G（x，y），则 消去参数k得重心G的轨迹方程为
解法二：以A、B的坐标为参数(多参问题) 设△AOB的重心 G（x，y）， A(x1，y1), B(x2, y2) , 则 将(1)、(2)代人(3)得： ∴ － ∴重心G的轨迹方程为
思维感悟 ： 建系 设标 引参 求参数方程 消参 检验 1. 用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也是学生较难掌握的一类问题。 2. 用参数法求轨迹方程的基本步骤： 3 . 选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。 4 . 要特别注意消参前后保持范围的等价性。 5 . 多参问题中，根据方程的观点，引入 n 个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。
变式：（2005江西、22题） 解：设切点A、B坐标分别为 和 － － ∴切线AP的方程为： 切线BP的方程为： － － 解得P点的坐标为： 所以△APB的重心G的坐标为 － － － 所以 由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： － － － － 即 如图，已知抛物线，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点. 求△APB的重心G的轨迹方程.
在高考复习中，要注意加强一题多解的教学，培养思维的广阔性、灵活性并从中探求优化的解法，提高解题能力；同时也要注意加强一题多变的教学，深化教学内容，提高教学效率，培养发散性思维能力。
例 5 解：交轨法 设P(x, y), Q(a, 0) y 一方面， 点P在直线MQ上， 即 ① B M P 另一方面， 由圆的性质，易知点P在以MQ为直径的圆与⊙M的公共弦上， A O Q x 由 得 ax – 2y + 3 = 0 ② 由①、②消去参数a得点P的轨迹方程为： – 如图，已知⊙M：x2 + (y－2)2 =1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切⊙M于A、B两点，求动弦AB中点P的轨迹方程。
思维感悟 ： 交轨法是参数法的简单处理方法，求两动曲线交点轨迹问题常用交轨法，即直接联立两动曲线方程消参数，而不必先解出动点轨迹参数方程，再消参数，值得我们重视的是在求轨迹时应注意充分利用平面几何知识。
例6（95年全国高考试题） 已知椭圆 ，直线L： ，P是 直线L上一点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2，当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程。 解：由题意可设 ① ② 把①、②代人|OQ|·|OP|=|OR|2 设 Q(x,y) , P(x1, y1) , R(x2, y2), 由①、②得 ， ∵P、Q分别在直线L： 和椭圆 上， ∴ ③ ④ － － ③ + ④得： (x、y不同时为零)
思维感悟 ： 这是95年的一道全国高考题，是一道有难度的多动点轨迹问题，若不用向量求解，其求解过程曲折冗长，且运算复杂，现采用向量求解，不仅简化运算，而且其过程变得流畅自然。以解析几何知识为载体、以向量为工具、以考查轨迹方程曲线性质和向量有关公式及其应用为目标，是近年高考新课程卷在向量与解析几何交汇点上设置试题的显著特点，值得我们充分注意。
五、总结 以上给出了处理轨迹问题的几种常用方法，对于下面几点，在复习轨迹问题时是值得我们引起高度重视的： 1. 高考方向要把握 高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法。
2. “轨迹”、“方程”要区分 求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）。 3. 抓住特点选方法 处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累。所以在处理轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法（什么情况下用什么方法上面已有介绍，这里不再重复）。
4. 认真细致定范围 确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面： ①准确理解题意，挖掘隐含条件； ②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形； ③推理要严密，方程化简要等价； ④消参时要保持范围的等价性； ⑤数形结合，查“漏”补“缺”。
5. 平几知识“用当先” 在处理轨迹问题时， 要特别注意运用平面几何知识， 其作用主要有： ①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式； ②简化条件式； ③转化化归。 6. 向量工具“用自如” 向量是新课改后增加的内容，它是数形转化的纽带，它在初等数学的各个分支中起着十分重要的工具作用，在复习时应加强训练，使学生熟练掌握， 并能运用自如。
明德中学现代教育技术中心 二○○五年十二月 脚本设计：郭文静 课件制作：梁 栋 谢谢指导！
