บทที่ 2

1. บทที่ 2 การจัดการกับ data

2. 2.1 – 2.2เลขนัยสำคัญ (อ่านย่อหน้าแรกของ 2.2 และตัวเล็กด้านขวา) ๐ ในการวัดแต่ละครั้ง ตัวเลขหลักสุดท้ายจะมีความไม่แน่นอนของการวัดปนอยู่ ๐ เลขนัยสำคัญจะต้องรวมหลักสุดท้ายนี้ด้วย (เนื้อความของย่อหน้าต่อไป)

3. 0.092067 m 0.92067 dmต่างก็มีเลขนัยสำคัญ 5 ตัว 9.2067cm เหมือนกันทั้งสิ้น 92,067 m 727.0 มีเลขนัยสำคัญ 4 ตัว 9.3660 x 105 มีเลขนัยสำคัญ 5 ตัว 936,600 มีเลขนัยสำคัญ 6 ตัว 0.216 มีเลขนัยสำคัญ 3 ตัว 90.7 มีเลขนัยสำคัญ 3 ตัว 800.0 มีเลขนัยสำคัญ 4 ตัว 0.0670 มีเลขนัยสำคัญ 3 ตัว

4. การอ่านค่าที่วัดได้ด้วยไม้บรรทัดที่มีสเกลเล็กสุดที่ 1 mm นั้น หลักสุดท้ายของค่าที่ต้องบันทึก คือหลักใด ก. 10 mm ข. 1 mm ค. 0.1 mm ต้องอ่าน ลงไปใน สเกล ตัวเล็กด้านซ้าย The answer of a multiplication or division can be no more accurate than the least accurately known operator. _ _ _ ผลคูณหรือผลหาร จะมีจำนวนเลขนัยสำคัญได้ไม่เกินจำนวนเลขนัยสำคัญของเลขที่ใช้คูณ หารกันนั้น เช่น

5. 1000 x 10-4 M 0.1000 K 100.0  1000 d 1.000 x 104 c 1.000 x 105 m 1.000 x 108 เป็น ค่าเดียวกัน ทั้งสิ้น ทุกอันมี เลขนัยสำคัญ 4 ตัว เท่ากัน

6. ตัวเล็กด้านซ้าย The answer of a multiplication or division can be no more accurate than the least accurately known operator. _ _ _ ผลคูณหรือผลหาร จะมีจำนวนเลขนัยสำคัญได้ไม่เกินจำนวนเลขนัยสำคัญของเลขที่ใช้คูณ หารกันนั้น เช่น นั้น

7. ถ้ากดเครื่องคิดเลขจะได้เป็น0.885470578 … ถามว่าคำตอบของผลคูณหารข้างบนควรเป็นเท่าใด แล้วถ้าอยากรู้ว่า เศษของการคูณหารข้างบนเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของส่วนของมัน หา (35.63x0.5481x0.05300)/1.1689 X 100% คำตอบจะออกมาว่าเป็นกี่เปอร์เซ็นต์88.55 % คือ100/100 มีค่าเท่ากับ1.00… เลขนัยสำคัญหลัก

8. = 546.57 เลขนัยสำคัญถูกต้องแล้วหรือไม่ ก. ถูกแล้ว ข. ควรแก้เป็น 547

9. หน้า 18 ตัวเล็กด้านซ้าย The answer of an addition or subtraction is known to the same number of units as the member containing the least significant unit. ในการบวกลบกันของเลขทั้งหลายนั้น หลักที่มีความไม่แน่นอนอันที่ใหญ่ที่สุด จะเป็นตัวกำหนดเลขนัยสำคัญ เช่น 107.870 M.W. Ag2MoO4 107.870 + 95.94ในกรณีนี้หลักที่มีความไม่แน่นอนอันที่ใหญ่ที่สุดคือหลักของเลขตัว นี้ 15.9994 15.9994 15.9994 375.6776  375.68ผลบวกลบเขียนได้ถึงแค่หลักนี้เท่านั้น

10. ได้ทราบว่า 1.เมื่อวาน มธ. มีนักศึกษาประมาณหนึ่งหมื่นคน 2.วันนี้ นาย ก. ซึ่งเป็นนักศึกษาของ มธ. ได้ลาออกไป ถามว่าวันนี้ มธ. มีนักศึกษากี่คน คำตอบประมาณหนึ่งหมื่นคนเท่าเดิม (การตอบว่า 9,999 คน เป็นการตอบที่ผิด) 1 x 104 1_ _ _ _ - 1- 1 = 0 9 9 9 9คำตอบ 1x104 เอาหลักนี้

11. เมื่อกี้นี้นาย ก. มีเงินหนึ่งหมื่นบาทถ้วน เขาซื้อไอติมไป 5 บาท ตอนนี้เขามีเงินเหลือเท่าใด หนึ่งหมื่นบาท ถ้วน คือ หนึ่งหมื่นบาท 0 สตางค์ 10000 . 00 - 5 9995 . 00 เลขจากนี้ไปเชื่อถือไม่ได้ ตอบ 9,995 บาท เลขจากหลักนี้เชื่อถือไม่ได้

12. บ้านอยู่ห่างจากโรงเรียน 19.6km เขาเดินจากบ้านมุ่งหน้าไปโรงเรียน ถามว่าเมื่อเดินไป 72เมตร เขาจะอยู่ห่างจากโรงเรียนเท่าใด 19600mหลังจากนี้เชื่อถือไม่ได้ - 72 m 19528 m เลขหลังจากนี้ไปแล้วเชื่อถือไม่ได้ ตอบ19.5km ( หรือ 1.95x 104 m ) หมายเหตุ นี่อาจเป็นสาเหตุที่ ในบางกรณี เลข 0 ท้ายบางจำนวนถึงถูกคิดว่าไม่เป็นเลขนัยสำคัญ โจทย์ข้อเมื่อครู่ ถ้าระยะห่างจากบ้านไปโรงเรียน คือ 300 เมตร คำตอบจะเป็นเท่าใด 228 เพราะเลข 300 นั้นในกรณีนี้ เป็นเลขนัยสำคัญทั้งสามตัว

13. ตัวอย่าง 25 หน้า 19 1.ผลคูณในวงเล็บต้องมีเลขนัยสำคัญ3ตัว 2.ผลบวกของเศษ (301+36.04)หลักที่เป็นตัวกำหนดเลขนัยสำคัญคือหลัก หน่วย ผลบวกคือ 337 3.337/687ได้ผลหารมีเลขนัยสำคัญ3ตัว ผลหารคือ 0.491

14. 2.3การปัดเลข ถ้าเลขที่จะปัดนั้นมากกว่า 5 ให้ปัดขึ้น ถ้าเลขที่จะปัดนั้นน้อยกว่า 5 ให้ปัดลง 9.47  9.5 9.43  9.4 ถ้าเลขที่จะปัดนั้นเป็น 5 ปกติให้ปัดขึ้น 8.65  8.7 บางทีให้ปัดไปยังเลขคู่ที่อยู่ใกล้ที่สุด แบบในหนังสือเล่มนี้บอก 8.65  8.6 8.75  8.8 ไม่มีการปัดเลข 2 ครั้ง เช่น ถ้าจะเอา 9.1647 เพียง 3 หลัก จะเป็น 9.16 ไม่ใช่ 9.17

15. log(2.0x102) = log 2.0 + log 102 = 0.30 + 2พวกนี้มีเลขนัยสำคัญ หลักทั้งสิ้น = 2.30การ take logจะทำให้ผลลัพธ์มี จำนวนตัวเลข หลังจุดทศนิยมเท่ากับจำนวน ตัวเลขเดิม

16. log 20 = log (2.0 x 101) = log 2.0 + log 10 = 0.30 + 1 = 1.30ดูเหมือนว่าผลลัพธ์มีเลขนัยสำคัญเพิ่มขึ้นมาจากเดิมอีก 1 ตัว แต่จริงๆแล้ว เลขหน้าจุดทศนิยมของผลลัพธ์ เป็นแต่เพียง แสดงการเคลื่อนของ จุดทศนิยมในเลขเดิมเท่านั้น log 2.0 = 0.30 log 0.20 = log (2.0 x 10-1) = log 2.0 + log 10-1 = 0.30 + (-1) = -0.70

17. 2.4 determinate error( systematic error ) อ่านตัวเล็กด้านซ้ายและย่อหน้าแรกของ 2.4 determinate error คือ error ที่สามารถตรวจทราบ และโดยปกติสามารถหลีกเลี่ยงและแก้ไขได้ อาจเป็นค่าคงที่หรือค่าไม่คงที่ก็ได้ อ่านครึ่งหน้าแรกของหน้า 21 eror แบบที่ว่านี้อาจเกิดได้จากทั้ง 1. จากเครืองมือวิเคราะห์ 2. จากผู้วิเคราะห์ 3. จากวิธีการวิเคราะห์ _ _ _ most serious problem ตัวอย่างเช่น มีสิ่งที่ไม่ต้องการตกตะกอนลงมาด้วย ตะกอนที่ต้องการให้เกิดขึ้นสามารถละลายในน้ำได้บ้าง มีปฏิกิริยาเกิดไม่สมบูรณ์ มีสิ่งปนเปื้อนในสารเคมีที่ใช้ เป็นต้น ต้องพยายามเลือกวิธีวิเคราะห์ที่มี error แบบนี้อยู่น้อยที่สุด

18. 2.5 indeterminate error( random error ) อ่านตัวเล็กด้านขวาและย่อหน้าแรกของ 2.5 และย่อหน้าต่อไปอีก Indeterminate error คือ error ที่แฝงอยู่ในการวัดแต่ละครั้ง ( การที่ผู้วิเคราะห์คนเดียวกัน ทำการทดลองอันเดียวกันแต่กลับไม่ได้ผลการทดลอง เหมือนเดิมเป๊ะนั้น เป็นเพราะ error แบบนี้ )

19. error แบบนี้ ไม่สามารถประมาณขนาดและกำจัดออกไปได้ จะออกมาในทิศทางเพิ่มหรือลดค่าจริงก็ได้---- random โอกาสเกิดในทิศทางเพิ่มมีเท่ากับโอกาสเกิดในทิศทางลบ โอกาสเกิด error ขนาดใหญ่มีน้อยกว่าการเกิด error ขนาดเล็ก ตาม normal distributionหรือ Gaussian curve ดังรูป 2.2 แกนตั้งแสดงโอกาสในการเกิดค่าเหล่านั้น ค่าจริง ค่าต่างๆที่วัดได้

20. 2.6 วิธีแสดง Accuracy ถ้าปริมาณ 2.62gถูกวิเคราะห์ออกมาได้เป็น 2.52g error ของการวิเคราะห์นั้นอาจถูกแสดงออกมาได้ในรูปแบบต่างๆ ดังนี้ absolute error = (2.52-2.62)g = -0.10g (ถ้าเกิดจากการวัดหลายๆครั้ง จะเรียกว่า mean error) relative error =[(2.52-2.62)g/2.62g]x100% = -3.8% ([2.52g/2.62g]x100% = 96.2%เรียกว่าrelative accuracy) หากมี error น้อยมาก แทนที่จะแสดงในรูป % (ส่วนร้อย) อาจแสดงใจรูป %o หรือ ppt (part per thousand ; ส่วนพัน) ได้

21. เช่น(23/6725)x1000 ppt = 3.4 ppt (หรือ %o) ตังอย่าง ถ้าค่าจริง คือ 1,000 gแต่วิเคราะห์ออกมาได้ ๆเป็น 1,001gถามว่า relative errorมีค่าเป็นเท่าใด ตอบ(1,001-1000)/1,000 = 1/1,000 = 0.001 = 0.001x100% = 0.1% ถ้าวิเคราะห์ได้ 1,010 gล่ะ ตอบ(1,010-1,000)/1000 = 0.010 = 0.010x100% = 1.0%

22. ถ้าวิเคราะห์ได้ 990 gล่ะ ตอบ[(990-1000)/1000]x100% = -1.0% ถ้าวิเคราะห์ได้ 999g ล่ะ ตอบ[(999.0-1000)/1000]x100% =(-1/1000)x100% =-0.1% หมายเหตุ; เวลาพูดถึง errorโดยทั่วไปจะหมายถึง relative error

23. 2.7 Standard deviation σ =ที่ N ∞ N =จำนวนครั้งในการวัด xi =คำที่วัดได้แต่ละครั้ง µ=ค่าเฉลี่ยของค่าที่วัดได้ทั้งหมด เขียนอีกอย่างว่า µค่าจริง เมื่อ N∞ การเขียนค่าเฉลี่ยว่า µ ให้ความรู้สึกว่าค่าเฉลี่ยนั้นใกล้เคียงกับค่าจริงมาก การเขียนค่าเฉลี่ยว่า ให้ความรู้สึกว่าค่าเฉลี่ยนั้นเป็นเพียงค่าเฉลี่ย ไมควรพยายามนำไปเทียบกับค่าจริง

24. อนึ่ง ถ้าใช้ แทน µ ค่า σ มักจะถูกเขียนเป็นs และสมการจะกลายเป็น s = เป็นN-1 เพราะหากทราบค่าแล้ว ผลการวัดครั้งที่ Nจะถูกกำหนดโดยอัติโนมัติจากผลการวัด N-1 ครั้ง (สิ่งนี้เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า : degree of freedomของการวัดมี N-1 ครั้ง) ทั้งนี้ s σ เมื่อ N ∞ การวิเคราะห์ทั้งหลายมีN จำนวนจำกัด ดังนั้นstandard deviation จึงถูกแสดงด้วยสมการของs

25. =(15.67+15.69+16.03)/3 =15.80 g = -0.13,-0.11,0.23 g =[(0.131)2+(0.11)2+(0.23)2] g2 =0.082 g2 ดังนั้นs= = 0.20 g ไม่ต้องคิดเลขนัยสำคัญ เนื่องจากไม่ใช่ค่าที่ได้จากการวัด

26. Ex 2.7ให้หาค่าstand deviationของการวัด 3 ครั้ง โดยบอกผลการวัดแต่ละครั้งมาให้15.67 g,15.69 g,16.03g วิธีทำs = หาค่าเฉลี่ย หาค่า ต้องใส่หน่วยด้วย แล้วหน่วยจะถูกถอด root ออกมาเอง หาค่า s ดูตัวอย่าง 2.9 หน้า 25 การวัด 4 ครั้งให้ค่าน้ำหนักเป็น 29.8,30.2,28.6,29.7 mg = 29.6 mg s= 0.69 mg

27. ค่า(s/ )x100% = 2.3% เรียกว่าCoefficient of variation ค่า (s/ )= 0.69 mg/= 0.34 mg เรียกว่าStandard deviation of the meanหรือs (mean) ค่า[s(mean)/]x100% = (0.34 mg/29.6 mg)x100% = 1.1% เรียกว่าRelative standard deviation ค่าStandard deviation ตลอดจนfunction ของมันในรูปแบบต่างๆ นี้ สะท้อนถึง error ในการวัดทั้งสิ้น

28. จากการคำนวณทางคณิตศาสตร์จากการคำนวณทางคณิตศาสตร์ โอกาสที่ค่าจริงจะอยู่ในช่วง±s มี68% โอกาสที่ค่าจริงจะอยู่ในช่วง ± 2s มี95% โอกาสที่ค่าจริงจะอยู่ในช่วง± 2.5s มี99% ดังนี้ ในการแสดงผลการวิเคราะห์ อาจแสดงในช่วงของค่า เช่น ±s ต้นตอของการกำหนดค่านี้จะเป็นตัวบอกว่าโอกาสที่ในช่วงดังกล่าวจะมีค่าจริงอยู่นั้นมีสูงมากแค่ไหน อาจใช้ค่า s , 2s , s (mean)หรืออื่นๆ (s / )x100% (Coefficient of variation)แต่มักใช้ค่าsกัน

29. หน้า 27 (65.06±0.07) + (16.13±0.01) – (22.68±0.02) = 58.51 (±?) ต้องคำนวณ=±0.07นี่คือคำตอบ หมายเหตุค่านี้คือAbsolute uncertainty แสดงว่ามีRelative uncertainty(±0.07/58.51)x100% = 0.1% หน้า 28 [(13.67±0.02 )(120.4±0.2)]/(4.623±0.006) = 356.0 (±?) ต้องหา= ±0.0026 ออกมาก่อน

30. ต่อ... ในกรณีนี้ นี่คือค่า Relative uncertainty ส่วนค่า Absolute uncertaintyคือ ±0.0026x356.0 = ±0.93 ดังนั้น คำตอบจริงๆ คือ356.0 ±0.9

31. Ex. 2.11ในสารละลาย 250.0 ml มีCl- อยู่จำนวนหนึ่ง ในการนำสารนั้น มาไตเตรตด้วยสารละลายAg+ ให้Cl ตกตะกอนเป็น AgCl โดยปฏิกิริยา Ag+ + Cl- AgCl ถ้านำสารละลายข้างต้นมาทีละ 25.00 ml ไตเตรตด้วยสารละลายAg+ ความเข้มข้น 0.1167±0.0002Mได้ผลการไตเตรตเป็น 36.78,36.82,36.75ml จงหาปริมาณCl- ในสารละลาย 250.0 ml วีธีทำหาปริมาณเฉลี่ยของสารละลายAg+ ที่ใช้ในการไตเตรตได้เป็น 36.78ml หาค่าs ออกมาได้เป็น 0.035ml ดังนั้น ปริมาณเฉลี่ยของสารละลายAg+ที่ใช้ในการไตเตรต= (36.78±0.04)ml ในสารละลายCl-25.0mlมีปริมาณCl-เป็น (36.78±0.0002)mol/l x (36.78±0.04)ml = 4.292 mmol + uncertainty ต้องเท่ากับปริมาณ Ag+ ที่ใช้ในการไตเตรต

32. ทราบความเข้มข้น ทราบปริมาตร หาคำตอบได้±mol mmol Ag+ Cl- 25.00ml ดังนั้น หาปริมาณ (โมล) ได้ 250.0ml โมล Ag+ = โมล Cl- รูปสำหรับ Ex 2.11

33. Relative uncertainty = = ±0.0019 Absolute uncertainty = 4.292 mmol x (±0.0019) =±0.0082 mmol ดังนั้นในสารละลายCl- 25.00 ml มีปริมาณCl-เป็น (4.292 ±0.008) mmol ในสารละลายCl- 250.0 ml มีปริมาณCl-เป็น (42.92 ±0.08) mmol ถาม ถ้าโจทย์ยอกว่านำสารละลายมาทีละ 25.0 mlล่ะ คำตอบ = ? ตอบ (42.9±0.1) mmol

34. Ex. 2.12แร่เหล็ก 3lotมี น้ำหนัก 2852± 5,1587 ± 5,1877 ± 5ปอนด์ โดยที่ใจแต่เละlot มีเนื้อเหล็กอยู่36.28 ± 0.004%,22.68 ±0.03%,49.23 ± 0.06%ตามลำดับ ถ้าเนื้อเหล็กมีราคา 300เหรียญ/ตัน แต่ทั้งหมดนี้ควรมีราคาเท่าใด วิธีทำ ในแร่lotแรกมีเนื้อเหล็กอยู่(2852 ± 5)ปอนด์x (36.28 ± 0.04)% = 1034.7 ปอนด์ +uncertainty Relative uncertainty = = ± 0.0020 Absolute uncertainty = 1034.7ปอนด์x (±0.0020) = ±2.1ปอนด์ ดังนั้น ในแร่ lotแรกมีเนื้อเหล็กอยู่ (1034.7 ± 2.1) ปอนด์ ด้วยวิธีคิดในทำนองเดียวกัน ได้ว่าในแร่อีก 2 lotนั้น มีเนื้อเหล็กอยู่ (357.9 ± 1.2)ปอนด์ และ (924.0 ± 2.8)ปอนด์ ตามลำดับ

35. ดังนั้น รวม 3 lotได้เนื้อเหล็ก 2316.6ปอนด์ + uncertainty Uncertainty = = ±3.7 ดังนั้น รวม 3 lotได้เนื้อเหล็ก (2316.6 ± 3.7) ปอนด์ ดังนั้น รวม 3 lotเหล็กมีราคา (2316.6 ± 3.7) ปอนด์x (1 kg/2.2ปอนด์) x (1ตัน/1000 kg) x (300เหรียญ/ตัน) = (315.90 ± 0.50) ปอนด์ 1 1 1

36. Ex. 2.13ในการวัดหารปริมาณ acetic acidในน้ำส้มสายชู โดยการนำน้ำส้มสายชูปริมาณหนึ่งไปไตเตรตกับสารละลาย NaOH ถ้า เมื่อหักน้ำหนักภาชนะที่ใช้ในการชั่งออกแล้ว น้ำส้มสายชูที่ใช้นั้นหนัก 5.0268 g(หาโดยชั่ง 2 ครั้ง แล้วเอาน้ำหนักทั้งคู่มาลบกัน) สารละลาย NaOHนั้นมีความเข้มข้นที่วัดได้จากการทดลอง 3 ครั้งเป็น 0.1167 M,0.1163 M,0.1164 M ปริมาณสารละลาย NaOH ที่ใช้ในการไตเตรต คือ 36.78 ml การวัดน้ำหนักแต่ละครั้งมี uncertaintyอยู่ ±0.2 mg การวัดปริมาตรแต่ละครั้งมี uncertaintyอยู่ ±0.02 ml จงหาปริมาณ (เป็น wt%) ของ acetic acidในน้ำส้มสายชู ในแบบที่ มีค่า uncertaintyอยู่ด้วย

37. ทราบความเข้มข้น ทราบปริมาตร รู้ปริมาณ ปริมาณ NaOH =ปริมาณน้ำส้ม (ทำปฏิกิริยา 1:1) ดังนั้น ก็จะทราบ ปริมาณของน้ำส้ม (ในสารละลาย) ดังนั้น ปริมาณน้ำส้มในสารละลายก็จะถูกหาได้ (เท่ากับ (ปริมาณของน้ำส้ม/ปริมาณของสารละลาย)x100%) สารละลาย NaOH สารละลายน้ำส้ม น้ำหนัก

38. วีธีทำ การหาน้ำหนักแบบในโจทย์ต้องหาจากการชั้ง 2 ครั้ง ดังนั้น uncertaintyของน้ำหนักสาร = = ±0.3 mg ดังนั้นน้ำหนักๆ ต้องเป็น (50268.8 ± 0.3) mg ค่าเฉลี่ยของความเข้มข้นของสารละลาย NaOHคือ 0.1165 Mซึ่งถ้าคิดค่า s แล้ว จะเขียนค่าเฉลี่ยนี้ได้ใหม่เป็น (0.1165 ±0.0002) M คิดเหมือนการหาน้ำหนัก ปริมาตรของการไตเตรตนั้นจริงๆ ควรเป็น (36.78 ±0.03) ปริมาณ acetic acidในน้ำส้มสายชู = (น้ำหนัก acetic acid/ น้ำหนักน้ำส้มสายชู)x 100% = [(จำนวนโมลacetic acid x M.W.acetic acid)/น้ำหนักน้ำส้มสายชู]x100%

39. =[(จำนวนโมล NaOH x M.W.acetic acid)/น้ำหนักน้ำส้มสายชู]x100% (เพราะว่าacetic acidกับNaOH ทำปฏิกิริยากันในสัดส่วน1:1) =[(ความเข้มข้นของสารละลาย NaOH xปริมาตรของสารละลาย NaOH x M.W.acetic acid)/น้ำหนักน้ำส้มสายชู] x 100% =[(0.1165 ±0.0002)mol/l x(36.78 ±0.03)ml x 60.05gmol-1]x100% (5026.8 ±0.3)mg =5.119% + uncertainty Relative uncertainty = = ±0.0020 Absolute uncertainty = 5.119% x (±0.0020) = ±0.010% ดังนั้นคำตอบคือ(5.116 ±0.010)%

40. ปริมาณ NaOH = (0.1165x0.002)mol/l x (36.78 ±0.03)ml = (0.1165x36.78)x(1 ± )mmol = ( + )mmol นี่เท่ากับปริมาณของน้ำส้มสายชู(CH3COOH)ในบีกเกอร์ ปริมาณนี้อยู่ในรูปของโมล สามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูปของกรัมได้โดยเอา M.W. ไปคูณ ดังนั้นอัตราส่วนของน้ำส้มสายชูในสารละลายน้ำส้มสายชู = ( +)mmol x 60.05 gmol-1 x 100% (5026.8 ±0.3)mg = ( + )%

41. คำตอบ หรือ wt% ของน้ำส้มสายชู (น้ำส้มสายชู;acetic acid)นั้น เท่ากับ(น้ำหนักน้ำส้ม/น้ำหนักสารละลายน้ำส้ม) x 100% คือ จำนวนโมลของน้ำส้ม x M.W.น้ำส้ม เท่ากับจำนวนโมล NaOH (ในกรณีนี้ น้ำส้มกับ NaOH ทำปฏิกิริยากัน 1:1) หาได้จากความเข้มข้นของสารละลาย NaOH xปริมาณของมัน ดังนั้นคำตอบ คือ [(ความเข้มข้นของสารละลาย NaOH x ปริมาณของมัน x M.W.น้ำส้ม)/น้ำหนักสารละลายน้ำส้ม] x 100%

42. = (0.1165 ±0.002)moll-1 x (36.78 ±0.03)ml x 60.05gmol-1 x100% (5026.8 ±0.3)mg = 5.119 % + uncertainty Relative uncertainty = = ±0.002 Absolute uncertainty = 5.119% x (±0.002) = ±0.01% ดังนั้นคำตอบ คือ (5.12±0.01)%

43. (A ±a)(B ±b)มี relative uncertainty (C ±c)= ส่วน (A ±a)(B ±b)มี relative uncertainty = ดังนั้น (AB ± AB) C ±c มี relative uncertainty ==

44. ถาม(73.1 ±0.9) x (2.245 ±0.008) มีค่าเป็นเท่าใด ตอบ คำตอบที่ได้จากการคำนวณคือ 164.1 ±2.1 อย่างไรก็ดี เนื่องจากในกรณีนี้ค่า uncertaintyมีอยู่มากถึงระดับหลักหน่วยฉะนั้นค่าประมาณการก่อนหน้านั้น (164.1) ถึงจะเขียนละเอียดลงไปถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 1 ก็ไม่มีประโยชน์อะไร ดังนั้น ในกรณีนี้ ต้องเขียนคำตอบเป็น 164 ±2 Ex. 2.14 (38.68 ±0.07)-(6.16 ±0.09) = ? (12.18 ±0.08)(23.04 ±0.07) = ? (3.247 ±0.006) เฉลย(a) 32.5±0.1 (ไม่ใช่ 32.52±0.01) (b) 86.4±0.6 (ไม่ใช่ 86.43±0.65)

45. 2.13Rejection of a result ใน dataที่ได้มาทั้งหมด การจะดูว่าตัวที่มีค่าแตกต่างจากกลุ่มควรจะถูกตัดทิ้งไปหรือไม่นั้น มีวิธีคิดคือให้คิดค่า Q ดูตัวอย่าง 2.20 หน้า 44 มีค่าที่ได้จากการทดลองอยู่ 4 ค่าคือ 103,106,107,114 จะพิจารณาว่าควรตัดค่าสุดท้ายทิ้งไปหรือไม่ ค่าที่น่าสงสัยนั้นห่างจากค่าที่ใกล้ที่สุดอยู่ |107-114| = 7 ค่ามากสุดกับค่าน้อยสุดแตกต่างกัน |14-103| = 11 ค่า Q=7/11 = 0.64 ( ยิ่งตัวเลขนี้มาก ค่าที่ถูกสงสัยยิ่งห่างจากพวกมากยิ่งควรถูกตัดทิ้ง )

46. ดูตาราง 2.3 หน้า 44ในการวัด 4 ครั้ง การใช้คำใด ๆ จะมีความน่าเชื่อถือถึง 95%ได้ ค่านั้นต้องมีค่า Q ได้อย่างมากสุด 0.829เนื่องจาก 0.64 < 0.829 แสดงว่าในกรณีนี้ความน่าเชื่อถือของการใช้ค่าที่ถูกสงสัยอยู่นั้นมีเกิน 95%ไม่ควรตัดค่านั้นทิ้ง หน้า 44ค่า medianคือค่าที่อยู่กลางสุดหรือค่าเฉลี่ยของค่าคู่กลางสุดของค่าทั้งหมดที่วัดได้ เช่นในตัวอย่างที่แล้วที่มี dataเป็น 103,106,107,114ค่า medianคือ ( 106 + 107 )/2 ได้แก่ 106

47. ในกรณีที่มีจำนวนdataน้อยๆการตัดค่าใดค่าหนึ่งทิ้งเป็นไปได้ลำบากเพราะฉะนั้นค่าเฉลี่ยอาจจะมีความน่าเชื่อถือน้อยกว่าที่ควรจะเป็นในกรณีเช่นนี้ค่าmedianมีแนวโน้มว่าจะใกล้เคียงกับค่าจริงมากกว่าค่าเฉลี่ยในตัวอย่างเห็นได้ว่าmedian ( M )คือ106median ( )คือ108 ได้รับผลกระทบจากค่า114ซึ่งเป็นค่าที่ถูกสงสัยมากกว่า

48. 2.15 Linear Least Squares เมื่อต้องลากเส้นตรงจาก dataที่มี ข้อมูลทางสถิติบอกว่า เส้นตรงที่ดีที่สุดคือเส้นที่ทำให้ผลรวมของกำลังสองของค่าความแตกต่างระหว่างค่า y ของแต่ละจุดของ dataกับค่า yของเส้นตรงเส้นนั้น มีน้อยที่สุด คือ Σ(yi-(mxi+b))2 วิธีการลากเส้นตรงให้ได้ตามนี้เรียกว่า Least squares method หรือMethod of least squares y y = mx+b x

49. ทั้งนี้ค่า mและ bของเส้นตรงที่หาได้ด้วยวิธีการนี้นั้น จะมีค่าดังแสดงในสมการที่ 2.21 หรือ 2.23 และในสมการที่ 2.22 ตามลำดับ ส่วนค่า r(correlation coefficient) ที่จะแสดงว่าเส้นตรงที่ได้นั้นผิดเพี้ยนไปจากค่าที่ได้จากการทดลองทั้งหมดมากน้อยแค่ไหน หาได้จากสมการ 2.27 หรือ 2.28 อนึ่ง ค่าrนี้ ยิ่งใกล้ 1 ยิ่งแสดงว่าค่า xi,yi ที่ได้จากการทดลองนั้น มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงกันเป็นอย่างดี ดูตัวอย่างการหาค่า mและbของเส้นตรงจากค่าxi,yiใน Ex.2.21 และตัวอย่างการหาค่า r ของเส้นตรงนั้นใน Ex. 2.23

50. ตอบ ต้องหาสมการ y=mx+b ที่มีค่า Σ(yi-(mxi+b))2น้อยที่สุด ให้ค่านั้น คือ s เนื่องจาก Σ(yi-(mxi+b))2 = yi2-2yi(mxi+b)+(mxi+b)2 = yi2-2yimxi-2yib+m2xi2+2mxib+b2 ดังนั้นs =Σyi2-2mΣxiyi-2bΣyi+m2Σxi2+2mbΣxi+Σb2 ค่า sนี้ จะน้อยที่สุด เมื่อ 1stderivativeของ sเมื่อเทียบกับ mและ 1st derivativeของ sเมื่อเทียบกับ b ต่างก็เท่ากับ 0 คือ ( จริงๆ ต้องเขียน ) คือ nb2