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演算法分析

演算法分析. 輸入大小 n 基本運算 ( 如何挑選 ?) 時間複雜度分析：不同的輸入大小，演算法所執行的基本運算次數 T(n). 演算法分析. 所有情況時間複雜度分析 T(n) 最差情況時間複雜度分析 W(n) ，如果 T(n) 存在， T(n)=W(n) 平均情況時間複雜度分析 A(n) ，如果 T(n) 存在， T(n)=A(n) 最佳情況時間複雜度 B(n) ，如果 T(n) 存在， T(n)=B(n). 複雜度函數分類. 常數： c 線性： an+b 對數： alogn+b 線性對數： anlogn+b 平方： an 2 +bn+c

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Presentation Transcript

  1. 演算法分析 • 輸入大小n • 基本運算(如何挑選?) • 時間複雜度分析：不同的輸入大小，演算法所執行的基本運算次數T(n)

  2. 演算法分析 • 所有情況時間複雜度分析T(n) • 最差情況時間複雜度分析W(n)，如果T(n)存在，T(n)=W(n) • 平均情況時間複雜度分析A(n) ，如果T(n)存在，T(n)=A(n) • 最佳情況時間複雜度B(n) ，如果T(n)存在，T(n)=B(n)

  3. 複雜度函數分類 • 常數：c • 線性：an+b • 對數：alogn+b • 線性對數：anlogn+b • 平方：an2+bn+c • 立方：an3+bn2+cn+d • 次方：a2n+b 可以用(n), (logn), (n2), (n3)等來表示 當n很大時，logn < n < nlogn < n2 < n3 < 2n

  4. 演算法分析 • 效率上的分析 • 空間複雜度 （Spacecompllexity） 演算法使用的記憶體空間的大小 • 時間複雜度」（Time complexity） 演算法執行完成所用的時間 真正被執行的程式行的數目 時間的估計方式，常用所謂的「 漸近式表示法 」 提供一個合理的比較標準

  5. 大O演算法分析(上限) 定義：對於給定的複雜度函數f(n)，O(f(n))就是由一些複雜度函數g(n) 構成的集合，對於每個g(n)，必存在某個正實數常數c與某個非負整數N， 使得對於所有n≧N g(n) ≦ c*f(n) g(n)為f(n)的big O 我們可以把f(n)看成是g(n)在最悲觀的情況下的執行時間，也就是說n的值相當大的時候，g(n) ≦cf(n)。有了漸近式的表示法之後，g(n)=n+2與g(n)=n+195有相同的f(n)=n，表示兩者無法做更進一步的比較 g(n)是我們算出來的，f(n)是我們要去找出來的 相當於擺了一個漸進上限

  6. Big O • g(n)=4n+10，則g(n)可以用O(n)來表示，即f(n)=n 證明：g(n) ≦ c*f(n) 4n+10 ≦ cn  (c-4)n ≧10 可以取c=5  n ≧ 10 N=10 所以只要c ≧ 5, n≧10時 4n+10 ≦ 5n

  7. Big O hw • g(n)=2n2+3n+1，證明g(n)可以用O(n2)來表示，即f(n)=n2 有漸進上限big O 有沒有漸進下限？

  8. Ω演算法分析(下限) 定義：對於給定的複雜度函數f(n)，Ω(f(n))就是由一些複雜度函數g(n) 構成的集合，對於每個g(n)，必存在某個正實數常數c與某個非負整數N， 使得對於所有n≧N g(n) ≧ c*f(n) g(n)為f(n)的Ω 指解決一個演算法的時間複雜度最少一定超過Ω(f(n)) 那O(f(n))呢？ 解決一個算法的時間複雜度一定不會超過O(f(n)) 相當於擺了一個漸進下限

  9. Ω演算法分析 • g(n)=4n+10，則g(n)可以用Ω(n)來表示，即f(n)=n 證明：g(n) ≧ c*f(n) 4n+10 ≧ cn  (4-c)n ≧ -10 可以取c=1  n=1 所以只要c=1, n ≧ 1時 f(n)=Ω(n)

  10. Ω hw • g(n)=2n2+5n+2，證明g(n)可以用Ω(n2)來表示，即f(n)=n2

  11. Big O & Ω 定義：對於給定的複雜度函數f(n) (f(n))=O(f(n))  Ω(f(n)) 代表(f(n))是由一些複雜度函數g(n)構成的集合， 對於每個g(n)，必存在某個正實數常數c與d及某個 非負整數N，使得對於所有n>=N c*f(n) ≦g(n) ≦ d*f(n)

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