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其他近似方法

第 12 章. 其他近似方法. （ 1 ）. 12.1 Fermi 气体模型. Fermi 气体模型：金属中的导电电子可以近似为限制在金属体内部自由运动的电子气. 考虑边长为 L 的方块金属，电子能级为. 式中 （ n x , n y , n z ） 对应于三维空间任一象限中的一个格点 . 从原点引向此点的距离为 n ，且. 当 ， 以原点为球心，半径在 ( n , n +d n ) 范围内的球壳在第一象限中的体积为. 考虑到电子自旋，每一个格点对应有两个电子态，在 范围内容纳的电子数为. （ 2 ）.

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  1. 第12章 其他近似方法

  2. （1） 12.1 Fermi气体模型 Fermi气体模型：金属中的导电电子可以近似为限制在金属体内部自由运动的电子气. 考虑边长为L的方块金属，电子能级为 式中（nx,ny,nz）对应于三维空间任一象限中的一个格点.从原点引向此点的距离为n，且

  3. 当 ，以原点为球心，半径在(n,n+dn)范围内的球壳在第一象限中的体积为 考虑到电子自旋，每一个格点对应有两个电子态，在 范围内容纳的电子数为 （2） 因此，式（1）改写为

  4. 完全简并的Fermi 分布： 的能级是空的，而 的能级都被电子占据的分布. （4） （3） 电子气按能量分布的态密度为

  5. 每个能态被电子占据的概率 讨论： w Ef 与电子总数N的关系： 1 0.5 0 E Ef 1 )实线：极低温下的理想分布； 2 )虚线：室温下的分布

  6. 即 （7） （6） （8） （5） 令Fermi 动量 则电子气的空间分布密度

  7. （10） 因此 （9） 利用式（4），可以求出完全简并气体中电子的平均能量

  8. 例1金属银块,质量密度为10.5g/cm3,银原子质量为 1.80 每个银原子有一个导电电子,所以电子气的 空间密度 代入式 (8),可求出 注意:在常温( )下 , 热运动导致的电子气的 所以 能态分布与完全简并Fermi气体的差别很小,如图12.1 的虚线所示. 电子气压强的估计.设外界对电子气作功 电子气 的体积缩小 ,则电子气压强p定义为 (11) 此时,电子气的内能增加 ,因此 (12)

  9. 对于完全简并Fermi气体 利用式(8)(注意 ),有 即 (14) 因此,电子气的压强为 对于银块,用前面求出的 和 代入, 可得出

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