Kaskadit

1. Kaskadit Kim Liljeström 25.4.2007

2. Sisältö • Johdanto • Feigenbaumin vakio • Skemaattiset bifurkaatiokaaviot • Geneeriset bifurkaatiot • Kaskaditeoreema • Yhteenveto • Kotitehtävä

3. Johdanto • Jatketaan bifurkaatioiden tarkastelemista 1-D kuvauksissa. • Kaskadi = ääretön jono jakson tuplaavia bifurkaatioita. • Kaskadeja esintyy lähes kaikissa matala-dimensionaalisissa systeemeissä, joissa on havaittavissa kaoottista käyttäytymistä. • Tämän esitelmän pääfokus on 1-D kuvauksissa, esim. neliöllinen kuvaus f(x) = ax(1-x).

4. Johdanto • Miksi halutaan tutkia kaskadeja? • Kaskadeissa on ilmiöitä ja säännöllisyyksiä, jotka tuottavat universaaleja lukuja. • Luvut ja ilmiöt ovat havaittavissa fysikaalisissa ja numeerisissa kokeissa. • Tavoitteena ymmärtää kaskadien ominaisuuksia ja niihin pätevät säännöt sekä miten ne liittyyvät kaaokseen.

5. Esimerkki 1/2 • Bifurkaatiopisteessä jaksolliset pisteet muuttavat stabiilisuutta. • Kaskadien kehittyminen systeemissä johtaa lopulta kaaokseen. • Neliöllinen kuvaus f(x) = ax(1-x) • Useita jaksollisia ratoja havaittavissa.

6. Esimerkki 2/2 f(x) = ax(1-x) Jakson 3 kaskadi Jakson 5 kaskadi

7. Feigenbaumin vakio • Bifurkaatiopisteet ovat suhteessa toisiinsa. • Peräkkäisten bifurkaatioiden parametrivälien suhde lähestyy vakiota. • Jos n:s bifurkaatio tapahtuu kun niin = Feigenbaumin vakio

8. Feigenbaumin vakio • Havaittavissa monessa dynaamisessa systeemissä. Jakson 2 kaskadi henonin kuvauksessa. Kuvauksen f(x)=a-x^2 jakson 3 kaskadi.

9. Feigenbaumin vakio f(x) = ax(1-x)

10. Feigenbaumin vakio • Feigenbaumin vakio on universaali kaikille 1-D kuvauksille, joiden Schwarzin derivaatta on negatiivinen. • Joukko systeemejä, jotka lähestyvät kaaosta jakson tuplaavien bifurkaatioiden kautta, m.m. logistinen kuvaus, sinikuvaus: , Lorenzin systeemi, Mandelbrotin joukko etc. • Systeemit haarautuvat samalla vauhdilla. • Kaaoksen ennustaminen.

11. Skemaattiset bifurkaatiokaaviot • Bifurkaatiokaaviot epähavainnollisia. • Systeemin dynamiikan tutkiminen vaikeampaa ilman eksplisiittisiä kaavoja, esim. poincaren kuvaus. • Bifurkaatiokaavioiden ja kaskadien analysoimisen ja tutkimisen helpottamiseksi on olemassa skemaattisia kaavioita.

12. Skemaattisen kaavion elementit • Bifurkaatiopisteet ja satulapisteet • Hyperboliset jaksolliset radat (ml. jakso 1) • Stabiilit radat ovat jaksollisia nieluja. • Epästabiilit radat ovat jaksollisia lähteitä. • Olkoon epästabiilin jaksollisen pisteen p jakso k. • Tällöin piste on tavallinen torjuva piste jos • ja käänteinen(flip) torjuva piste jos . • Hyperboliset jaksolliset radat voidaan jakaa kolmeen aliryhmään: stabiileihin, tavallisiin epästabiileihin ja käänteisesti epästabiileihin.

13. Skemaattisen kaavion elementit Määritelmä: Hyperbolisen jaksollisen radan tai kiintopisteen maksimaalista polkua kutsutaan haaraumaksi (branch). Jaksollisen radan tapauksessa yksi piste haaraumassa edustaa radan kaikkia pisteitä.

14. Skemaattisen kaavion elementit • 4 mahdollista loppua haaraumalle. G1 Karkaa raja-alueen ulkopuolelle. G2 loppuu bifurkaatio-pisteeseen josta uusia haaraumia syntyy. G3 loppuu joukkoon kiinteitä pisteitä. G4 läpäisee parametrivälin [a0,a1]

15. Geneeriset bifurkaatiot • Määritellään bifurkaatioiden tyypillinen käyttäytyminen • Hypoteesi: Kaikki ei hyperboliset kiintopisteet ovat joko satulapisteitä tai jakson tuplaavia bifurkaatioita • Mikä tahansa ei-geneerinen kuvaus voidaan approximoida geneerisellä kuvauksella.

16. Geneeriset bifurkaatiot • Satulapisteen geneerinen bifurkaatio Jakson tuplaava geneerinen bifurkaatio

17. Geneeriset bifurkaatiot

18. Kaskaditeoreema • Pätee kaottisiin systeemeihin joilla on enintään yksi epästabiili suunta joka pisteessä. • Ainoa tapa jolla kaoottinen attraktori voi syntyä on kaskadimuodostelman kautta.

19. Kotitehtävä Oleta että p on hyperbolinen kiintopiste ja { } jono jaksollisia pisteitä siten että . Selitä miksi jos on :n pienin jakso.