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第 4 讲 生产者理论

第 4 讲 生产者理论. 目标：获得单个厂商供给曲线 方法：利润最大化 厂商的利润为 π ＝ PQ-wL-rK ， 服从约束为生产函数 Q=f(L,K) （第 7 章） 令 Q=Q 0 ，求取 C(Q) （第 8 章） π ＝ PQ-C(Q) ，求得最优 Q （第 9 章）. 生产函数. 生产函数. 厂商关于某种商品 ( q ) 的 生产函数 表示了资本 ( k ) 和劳动 ( l ) 不同组合所能生产的最大的商品数量 q = f ( k , l ). 边际产品.

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第 4 讲 生产者理论

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Presentation Transcript

  1. 第4讲 生产者理论 • 目标：获得单个厂商供给曲线 • 方法：利润最大化 • 厂商的利润为π＝PQ-wL-rK，服从约束为生产函数Q=f(L,K)（第7章） • 令Q=Q0，求取C(Q)（第8章） • π＝PQ-C(Q)，求得最优Q（第9章）

  2. 生产函数

  3. 生产函数 • 厂商关于某种商品(q)的 生产函数 表示了资本(k) 和劳动 (l)不同组合所能生产的最大的商品数量 q = f(k,l)

  4. 边际产品 • 为了研究单一投入的变动，我们将在保持其他投入要素不变的情况下，增加一单位某一要素所增加的产出量称为边际产品

  5. 边际生产率递减 • 一种要素的边际产出取决于投入的要素量 • 一般而言，我们假设边际生产率递减

  6. 边际生产率递减 • 由于边际生产率递减，19世纪经济学家托马斯.马尔萨斯担心人口增长会对劳动生产率产生不良影响。 • 但是一段时间内，劳动的边际产出还取决于其他要素（例如资本）投入的变动。 • 我们必须考虑flk，其始终大于 0

  7. 平均产出 • 我们经常使用平均产出衡量劳动生产率 • 注意APl 还取决于所用的资本量

  8. 两种投入生产函数 • 假设厂商的生产函数可被表示为 q = f(k,l) = 600k2l2 - k3l3 • 为得到 MPl和APl, 我们必须先设定k的值 令 k = 10 • 产出函数就变为 q = 60,000l2 - 1000l3

  9. 两种投入生产函数 • 边际产出函数为 MPl = q/l = 120,000l - 3000l2 随 l 增加递减 • 这就意味着 q有最大值: 120,000l - 3000l2 = 0 40l = l2 l = 40 • 即劳动投入超过 l = 40时，产出将减少

  10. 两种投入生产函数 • 为得到平均产出, 我们假设k=10并进行求解 APl = q/l = 60,000l - 1000l2 • APl达到最大值当 APl/l = 60,000 - 2000l = 0 l = 30

  11. 两种投入生产函数 • 事实上, 当l = 30时,无论APl还是 MPl均等于 900,000 • 所以, 当 APl为最大值时, APl与MPl相等

  12. 等产量曲线图 • 为更好地表示一种投入对另一种可能的替代关系，我们引入等产量曲线图 • 一条产量线表示生产给定产量产出 (q0)所需k和l的不同组合 f(k,l) = q0

  13. 每条等产量线代表一个产出水平 • 越往右上方平移，产出越高 q = 30 q = 20 等产量曲线图 k每期 l每期

  14. 等产量线的斜率表示l可以在多大程度上替代k A kA B kB lA lB 边际技术替代率(RTS) k每期 - 斜率 = 边际技术替代率 (RTS) RTS > 0 随着劳动投入的增多递减 q = 20 l每期

  15. 边际技术替代率(RTS) • 边际技术替代率表示在保持产出不变的情况下，即在同一条等产量线上，劳动可以在多大程度上替代资本。

  16. 边际技术替代率和边际产出 • 对生产函数进行全微分: • 在同一条等产量线上 dq = 0, 所以

  17. 边际技术替代率和边际产出 • 由于 MPl和MPk均非负, RTS也为正 (或0) • 但是，单单假设边际产出递减往往并不能推导出边际技术替代率递减。

  18. 边际技术替代率和边际产出 • 为了证明等产量线为凸, 我们希望得到 d(RTS)/dl < 0 • 因为 RTS = fl/fk

  19. 边际技术替代率和边际产出 • 在一条等产量线上dk/dl = -fl/fk，且存在Young定理 (fkl = flk) • 由于我们已假设fk > 0, 所以分母为正 • 由于 fll和 fkk均被假设为负, 如果fkl 为正的话，那么分子为负

  20. 边际技术替代率和边际产出 • 直觉上,fkl和flk应该相等且为正 • 如果工人们有更多的资本，他们就能有更多的产出 • 但是有些生产函数中，超出一定投入界限后，fkl < 0 • 当我们假设边际技术替代率递减时，我们便认为MPl和 MPk递减足够快以抵补任何可能的负的交叉生产率效应。

  21. 递减的边际技术替代率 • 假设生产函数为 q = f(k,l) = 600k2l2 - k3l3 • 对于这种生产函数而言 MPl = fl = 1200k2l - 3k3l2 MPk = fk = 1200kl2 - 3k2l3 • 当kl < 400时， k和 l的边际生产率将为正

  22. 递减的边际技术替代率 • 因为 fll = 1200k2 - 6k3l fkk = 1200l2 - 6kl3 这一生产函数就意味着k和 l足够大时，边际生产率递减 • fll和 fkk < 0 如果 kl > 200

  23. 递减的边际技术替代率 • 对任一生产函数求二阶交叉导数得 fkl = flk = 2400kl - 9k2l2 仅当 kl < 266时，为正

  24. 递减的边际技术替代率 • 所以，对于这一生产函数而言，在k和 l能保证边际生产率递减的区域内，边际技术替代率均为递减 • 若k和 l 较大，则递减的边际生产率就足以抵消fkl为负的影响，以保证等产量线的凸性。

  25. 规模报酬 • 产出会对所有投入的增加做何反应？ • 假设所有投入都翻番，产出是否会翻番？ • 规模报酬从亚当斯密时代就进入了经济学家们的视野。

  26. 规模报酬 • 斯密发现，当投入翻番时会有两种力量发生作用 • 生产中劳动分工的进一步细化和专业化 • 效率降低，因为企业规模变大会导致管理难度增加

  27. 如果生产函数给定为q = f(k,l)，所有的投入都乘以某个正常数 (t >1), 则 规模报酬

  28. 规模报酬 • 对同一生产函数，可出现在一定投入水平规模报酬不变，而在其他水平上递增或递减 • 经济学家提及规模报酬时隐含一个认知：将投入变动限制在一个微小范围内，来考虑产出的变动

  29. 规模报酬不变 • 规模报酬不变的生产函数对于投入是一阶齐次的 f(tk,tl) = t1f(k,l) = tq • 这就意味着边际生产率函数为零阶齐次的。 • 如果一个函数是k 阶齐次的，那么其导数就是k-1阶齐次的

  30. 规模报酬不变 • 任何投入的边际生产率取决于资本和劳动之比(而不是这些投入的具体水平) • k和 l之间的边际技术替代率仅仅取决于k和 l之比，而不是运行规模

  31. 规模报酬不变 • 生产函数是位似的 • 从几何上看,所有的等产量线均是彼此的射线扩展

  32. 沿着一条从原点出发的射线 ( k/l不变),所有等产量线上的RTS都是相同的 随着产出扩张，等产量线 均匀排列 q = 3 q = 2 q = 1 规模报酬不变 k每期 l每期

  33. 规模报酬 • 规模报酬可被扩展为n种投入的生产函数 q = f(x1,x2,…,xn) • 如果所有的投入均乘以一个正常数t, 可以得到 f(tx1,tx2,…,txn) = tkf(x1,x2,…,xn)=tkq • 如果 k = 1, 规模报酬不变 • 如果 k < 1, 规模报酬递减 • 如果 k > 1, 规模报酬递增

  34. 替代弹性 • 替代弹性 ()衡量沿着一条等产量线，RTS变动一个百分点， k/l变动多少个百分点 • 值永远为正，因为k/l和 RTS同向变动

  35. 当我们从点A移至点B，RTS和 k/l均会发生变化 RTSA A RTSB (k/l)A B (k/l)B 替代弹性  是这些比例变化的比值 k每期  衡量等产量线的曲率 q = q0 l每期

  36. 替代弹性 • 如果 较高, RTS的变动没有k/l大 • 等产量线会相对平坦 • 如果 较低, RTS的变动会比 k/l的变动大 • 等产量线会相对陡峭 • 沿着一条等产量线变动，或随着生产规模变化而变动都是可能的

  37. 替代弹性 • 将替代弹性扩展至多投入情形，会导致一些复杂的状况 • 如果我们将两种投入间的替代弹性定义为两种投入之比的百分比变化除以RTS 的百分比变化，我们必须保持产出和其他投入不变

  38. 线性生产函数 • 假定生产函数为 q = f(k,l) = ak + bl • 此生产函数为规模报酬不变 f(tk,tl) = atk + btl = t(ak + bl) = tf(k,l) • 所有的等产量线都是直线 • RTS是常数 •  = 

  39. 随着 k/l变动，RTS保持不变 斜率 = -b/a q2 q3 q1 线性生产函数 资本和劳动为完全替代的 k每期 =  l每期

  40. 固定比率生产函数 • 假定生产函数为 q =min (ak,bl) a,b > 0 • 资本和劳动必须按照固定比率使用 • 厂商总是沿着一条k/l等于常数的射线经营 因为 k/l 是常量,  = 0

  41. k/l固定等于 b/a q3 q3/a q2 q1 q3/b 固定比率生产函数 资本和劳动之间不能替代 k每期 = 0 l每期

  42. 柯布-道格拉斯生产函数 • 假定生产函数是 q = f(k,l) = Akalb A,a,b > 0 • 这个生产函数可以具有不同的规模报酬特征 f(tk,tl) = A(tk)a(tl)b = Ata+b kalb = ta+bf(k,l) • 如果 a + b = 1  规模报酬不变 • 如果 a + b > 1  规模报酬递增 • 如果 a + b < 1  规模报酬递减

  43. 柯布-道格拉斯生产函数 • 柯布-道格拉斯生产函数是对数线性的 ln q = ln A + a ln k + b lnl • a是产出相对于投入 k 的弹性 • b是产出相对于投入 l 的弹性

  44. CES 生产函数 • 假定生产函数为 q = f(k,l) = [k + l] /  1,   0,  > 0 •  > 1  规模报酬递增 •  < 1  规模报酬递减 • 对于此生产函数  = 1/(1-) •  = 1  线性生产函数 •  = -  固定比率生产函数 •  = 0  柯布-道格拉斯生产函数

  45. 广义里昂惕夫生产函数 • 假定生产函数为 q = f(k,l) = k + l + 2(kl)0.5 • 边际生产率为 fk = 1 + (k/l)-0.5 fl = 1 + (k/l)0.5 • 所以,

  46. 技术进步 • 生产方法随时间改变 • 随着高级生产技术的发展，生产同样的产出所需的投入量变小 • 等产量线内移

  47. 技术进步 • 假定生产函数为 q = A(t)f(k,l) 其中 A(t) 代表除了k和 l以外，影响q的因素 • A随时间的变动表示了技术进步 • A可以看成是时间 (t)的函数 • dA/dt > 0

  48. 技术进步 • 将生产函数对时间微分可得

  49. 技术进步 • 两边除以q

  50. 技术进步 • 对于任意变量 x, [(dx/dt)/x] 是 x 的增长率 • 记作 Gx • 则我们可将上式写成增长率的形式

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