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第 4 讲 生产者理论

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第 4 讲 生产者理论. 目标:获得单个厂商供给曲线 方法:利润最大化 厂商的利润为 π = PQ-wL-rK , 服从约束为生产函数 Q=f(L,K) (第 7 章) 令 Q=Q 0 ,求取 C(Q) (第 8 章) π = PQ-C(Q) ,求得最优 Q (第 9 章). 生产函数. 生产函数. 厂商关于某种商品 ( q ) 的 生产函数 表示了资本 ( k ) 和劳动 ( l ) 不同组合所能生产的最大的商品数量 q = f ( k , l ). 边际产品.

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Presentation Transcript
slide1
第4讲 生产者理论
  • 目标:获得单个厂商供给曲线
  • 方法:利润最大化
    • 厂商的利润为π=PQ-wL-rK,服从约束为生产函数Q=f(L,K)(第7章)
    • 令Q=Q0,求取C(Q)(第8章)
    • π=PQ-C(Q),求得最优Q(第9章)
slide3
生产函数
  • 厂商关于某种商品(q)的 生产函数 表示了资本(k) 和劳动 (l)不同组合所能生产的最大的商品数量

q = f(k,l)

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边际产品
  • 为了研究单一投入的变动,我们将在保持其他投入要素不变的情况下,增加一单位某一要素所增加的产出量称为边际产品
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边际生产率递减
  • 一种要素的边际产出取决于投入的要素量
  • 一般而言,我们假设边际生产率递减
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边际生产率递减
  • 由于边际生产率递减,19世纪经济学家托马斯.马尔萨斯担心人口增长会对劳动生产率产生不良影响。
  • 但是一段时间内,劳动的边际产出还取决于其他要素(例如资本)投入的变动。
    • 我们必须考虑flk,其始终大于 0
slide7
平均产出
  • 我们经常使用平均产出衡量劳动生产率
  • 注意APl 还取决于所用的资本量
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两种投入生产函数
  • 假设厂商的生产函数可被表示为

q = f(k,l) = 600k2l2 - k3l3

  • 为得到 MPl和APl, 我们必须先设定k的值

令 k = 10

  • 产出函数就变为

q = 60,000l2 - 1000l3

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两种投入生产函数
  • 边际产出函数为

MPl = q/l = 120,000l - 3000l2

随 l 增加递减

  • 这就意味着 q有最大值:

120,000l - 3000l2 = 0

40l = l2

l = 40

  • 即劳动投入超过 l = 40时,产出将减少
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两种投入生产函数
  • 为得到平均产出, 我们假设k=10并进行求解

APl = q/l = 60,000l - 1000l2

  • APl达到最大值当

APl/l = 60,000 - 2000l = 0

l = 30

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两种投入生产函数
  • 事实上, 当l = 30时,无论APl还是 MPl均等于 900,000
  • 所以, 当 APl为最大值时, APl与MPl相等
slide12
等产量曲线图
  • 为更好地表示一种投入对另一种可能的替代关系,我们引入等产量曲线图
  • 一条产量线表示生产给定产量产出 (q0)所需k和l的不同组合

f(k,l) = q0

slide13
每条等产量线代表一个产出水平
    • 越往右上方平移,产出越高

q = 30

q = 20

等产量曲线图

k每期

l每期

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等产量线的斜率表示l可以在多大程度上替代k

A

kA

B

kB

lA

lB

边际技术替代率(RTS)

k每期

- 斜率 = 边际技术替代率 (RTS)

RTS > 0 随着劳动投入的增多递减

q = 20

l每期

slide15
边际技术替代率(RTS)
  • 边际技术替代率表示在保持产出不变的情况下,即在同一条等产量线上,劳动可以在多大程度上替代资本。
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边际技术替代率和边际产出
  • 对生产函数进行全微分:
  • 在同一条等产量线上 dq = 0, 所以
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边际技术替代率和边际产出
  • 由于 MPl和MPk均非负, RTS也为正 (或0)
  • 但是,单单假设边际产出递减往往并不能推导出边际技术替代率递减。
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边际技术替代率和边际产出
  • 为了证明等产量线为凸, 我们希望得到 d(RTS)/dl < 0
  • 因为 RTS = fl/fk
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边际技术替代率和边际产出
  • 在一条等产量线上dk/dl = -fl/fk,且存在Young定理 (fkl = flk)
  • 由于我们已假设fk > 0, 所以分母为正
  • 由于 fll和 fkk均被假设为负, 如果fkl 为正的话,那么分子为负
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边际技术替代率和边际产出
  • 直觉上,fkl和flk应该相等且为正
    • 如果工人们有更多的资本,他们就能有更多的产出
  • 但是有些生产函数中,超出一定投入界限后,fkl < 0
  • 当我们假设边际技术替代率递减时,我们便认为MPl和 MPk递减足够快以抵补任何可能的负的交叉生产率效应。
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递减的边际技术替代率
  • 假设生产函数为

q = f(k,l) = 600k2l2 - k3l3

  • 对于这种生产函数而言

MPl = fl = 1200k2l - 3k3l2

MPk = fk = 1200kl2 - 3k2l3

    • 当kl < 400时, k和 l的边际生产率将为正
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递减的边际技术替代率
  • 因为

fll = 1200k2 - 6k3l

fkk = 1200l2 - 6kl3

这一生产函数就意味着k和 l足够大时,边际生产率递减

    • fll和 fkk < 0 如果 kl > 200
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递减的边际技术替代率
  • 对任一生产函数求二阶交叉导数得

fkl = flk = 2400kl - 9k2l2

仅当 kl < 266时,为正

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递减的边际技术替代率
  • 所以,对于这一生产函数而言,在k和 l能保证边际生产率递减的区域内,边际技术替代率均为递减
    • 若k和 l 较大,则递减的边际生产率就足以抵消fkl为负的影响,以保证等产量线的凸性。
slide25
规模报酬
  • 产出会对所有投入的增加做何反应?
    • 假设所有投入都翻番,产出是否会翻番?
  • 规模报酬从亚当斯密时代就进入了经济学家们的视野。
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规模报酬
  • 斯密发现,当投入翻番时会有两种力量发生作用
    • 生产中劳动分工的进一步细化和专业化
    • 效率降低,因为企业规模变大会导致管理难度增加
slide28
规模报酬
  • 对同一生产函数,可出现在一定投入水平规模报酬不变,而在其他水平上递增或递减
    • 经济学家提及规模报酬时隐含一个认知:将投入变动限制在一个微小范围内,来考虑产出的变动
slide29
规模报酬不变
  • 规模报酬不变的生产函数对于投入是一阶齐次的

f(tk,tl) = t1f(k,l) = tq

  • 这就意味着边际生产率函数为零阶齐次的。
    • 如果一个函数是k 阶齐次的,那么其导数就是k-1阶齐次的
slide30
规模报酬不变
  • 任何投入的边际生产率取决于资本和劳动之比(而不是这些投入的具体水平)
  • k和 l之间的边际技术替代率仅仅取决于k和 l之比,而不是运行规模
slide31
规模报酬不变
  • 生产函数是位似的
  • 从几何上看,所有的等产量线均是彼此的射线扩展
slide32
沿着一条从原点出发的射线 ( k/l不变),所有等产量线上的RTS都是相同的

随着产出扩张,等产量线

均匀排列

q = 3

q = 2

q = 1

规模报酬不变

k每期

l每期

slide33
规模报酬
  • 规模报酬可被扩展为n种投入的生产函数

q = f(x1,x2,…,xn)

  • 如果所有的投入均乘以一个正常数t, 可以得到

f(tx1,tx2,…,txn) = tkf(x1,x2,…,xn)=tkq

    • 如果 k = 1, 规模报酬不变
    • 如果 k < 1, 规模报酬递减
    • 如果 k > 1, 规模报酬递增
slide34
替代弹性
  • 替代弹性 ()衡量沿着一条等产量线,RTS变动一个百分点, k/l变动多少个百分点
  • 值永远为正,因为k/l和 RTS同向变动
slide35
当我们从点A移至点B,RTS和 k/l均会发生变化

RTSA

A

RTSB

(k/l)A

B

(k/l)B

替代弹性

 是这些比例变化的比值

k每期

 衡量等产量线的曲率

q = q0

l每期

slide36
替代弹性
  • 如果 较高, RTS的变动没有k/l大
    • 等产量线会相对平坦
  • 如果 较低, RTS的变动会比 k/l的变动大
    • 等产量线会相对陡峭
  • 沿着一条等产量线变动,或随着生产规模变化而变动都是可能的
slide37
替代弹性
  • 将替代弹性扩展至多投入情形,会导致一些复杂的状况
    • 如果我们将两种投入间的替代弹性定义为两种投入之比的百分比变化除以RTS 的百分比变化,我们必须保持产出和其他投入不变
slide38
线性生产函数
  • 假定生产函数为

q = f(k,l) = ak + bl

  • 此生产函数为规模报酬不变

f(tk,tl) = atk + btl = t(ak + bl) = tf(k,l)

  • 所有的等产量线都是直线
    • RTS是常数
    •  = 
slide39
随着 k/l变动,RTS保持不变

斜率 = -b/a

q2

q3

q1

线性生产函数

资本和劳动为完全替代的

k每期

= 

l每期

slide40
固定比率生产函数
  • 假定生产函数为

q =min (ak,bl) a,b > 0

  • 资本和劳动必须按照固定比率使用
    • 厂商总是沿着一条k/l等于常数的射线经营 因为 k/l 是常量,  = 0
slide41
k/l固定等于 b/a

q3

q3/a

q2

q1

q3/b

固定比率生产函数

资本和劳动之间不能替代

k每期

= 0

l每期

slide42
柯布-道格拉斯生产函数
  • 假定生产函数是

q = f(k,l) = Akalb A,a,b > 0

  • 这个生产函数可以具有不同的规模报酬特征

f(tk,tl) = A(tk)a(tl)b = Ata+b kalb = ta+bf(k,l)

    • 如果 a + b = 1  规模报酬不变
    • 如果 a + b > 1  规模报酬递增
    • 如果 a + b < 1  规模报酬递减
slide43
柯布-道格拉斯生产函数
  • 柯布-道格拉斯生产函数是对数线性的

ln q = ln A + a ln k + b lnl

    • a是产出相对于投入 k 的弹性
    • b是产出相对于投入 l 的弹性
slide44
CES 生产函数
  • 假定生产函数为

q = f(k,l) = [k + l] /  1,   0,  > 0

    •  > 1  规模报酬递增
    •  < 1  规模报酬递减
  • 对于此生产函数

 = 1/(1-)

    •  = 1  线性生产函数
    •  = -  固定比率生产函数
    •  = 0  柯布-道格拉斯生产函数
slide45
广义里昂惕夫生产函数
  • 假定生产函数为

q = f(k,l) = k + l + 2(kl)0.5

  • 边际生产率为

fk = 1 + (k/l)-0.5

fl = 1 + (k/l)0.5

  • 所以,
slide46
技术进步
  • 生产方法随时间改变
  • 随着高级生产技术的发展,生产同样的产出所需的投入量变小
    • 等产量线内移
slide47
技术进步
  • 假定生产函数为

q = A(t)f(k,l)

其中 A(t) 代表除了k和 l以外,影响q的因素

    • A随时间的变动表示了技术进步
      • A可以看成是时间 (t)的函数
      • dA/dt > 0
slide48
技术进步
  • 将生产函数对时间微分可得
slide49
技术进步
  • 两边除以q
slide50
技术进步
  • 对于任意变量 x, [(dx/dt)/x] 是 x 的增长率
    • 记作 Gx
  • 则我们可将上式写成增长率的形式
slide52
柯布-道格拉斯生产函数中的技术进步
  • 假定生产函数为

q = A(t)f(k,l) =A(t)kl1-

  • 如果我们假设技术进步率为指数形式 () 那么

A(t) = Ae-t

q = Ae-tkl1-

slide53
柯布-道格拉斯生产函数中的技术进步
  • 取对数对时间 t 微分,得到增长方程
slide56
成本的定义
  • 区分会计成本和经济成本非常重要
    • 会计意义上的成本概念强调掏兜花费、历史成本、贬值和其他簿记项
    • 经济学家们则更关注经济成本
slide57
成本的定义
  • 劳动成本
    • 对于会计师而言, 劳动支出为当期花费,因此也就是当期的生产成本
    • 对经济学家来说, 劳动是一个确切的成本
      • 劳动服务可依据和约获得某个确定的小时工资 (w),这一小时工资也是在其他地方就业所能获得的收入
slide58
成本的定义
  • 资本成本
    • 会计师使用资本的历史价格,并采用某些贬值规则来计算当期成本
    • 经济学家将资本的原始价格称为“沉淀成本”,转而考虑资本的内在成本,即其他人为了使用这些资本而愿意支付的价格
      • 我们使用 v来表示资本的出租率
slide59
成本的定义
  • 企业家成本
    • 会计师相信企业的拥有者也应该拥有所有利润
      • 在支付所有的投入成本后剩下收益或损失
    • 经济学家们则考虑企业家贡献给自己企业的时间和资金的机会成本
      • 部分会计利润会被经济学家认为是企业家成本
slide60
经济成本
  • 任一投入的经济成本是能保持该投入在目前使用状况下的支出
    • 这一投入能在其他最佳的使用情况下得到的补偿
slide61
两个简单化假设
  • 有两种投入
    • 同质劳动 (l), 以劳动小时衡量
    • 同质资本 (k), 以机器小时衡量
      • 企业家成本包含在资本成本中
  • 要素市场为完全竞争市场
    • 厂商在生产要素市场上为价格接受者
slide62
经济利润
  • 厂商的总成本被给定为

总成本 = C = wl + vk

  • 厂商的总收益被给定为

总收益 = pq = pf(k,l)

  • 经济利润 () 等于

 = 总收益 – 总成本

 = pq - wl - vk

 = pf(k,l) - wl - vk

slide63
经济利润
  • 经济利润是所使用的资本和劳动投入量的函数
    • 我们来检验一个厂商怎样选择k和 l来最大化利润

劳动和资本投入的“引致需求”理论

    • 现在, 我们假设厂商已经选择了其产出水平(q0),来最小化其成本
slide64
成本最小化投入选择
  • 为了最小化某一产出水平的成本,厂商会选择等产量线上的一点,满足RTS等于w/v
    • 在生产过程中用k 可换得的 l与市场上一致
slide65
成本最小化投入选择
  • 数学上, 我们希望在给定q = f(k,l) = q0 的前提下最小化成本
  • 我们通过建立拉格朗日函数来最小化总成本:

L = wl + vk + [q0 - f(k,l)]

  • 一阶条件为

L/l = w - (f/l) = 0

L/k = v - (f/k) = 0

L/ = q0 - f(k,l) = 0

slide66
成本最小化投入选择
  • 将前两个等式相除可得
  • 成本最小化厂商应使其两种投入的边际技术替代率(RTS) 等于两种投入要素的价格之比
slide67
成本最小化投入选择
  • 交叉相乘, 我们得到
  • 在成本最小化的前提下,花费在任何要素上的一元的边际生产率都应相等。
slide68
成本最小化投入选择
  • 注意这一公式的倒数也是有意义的
  • 拉格朗日乘子表示略微放松产出约束所带来的成本增量
slide69
给定产出 q0, 我们希望在等产量线上找到成本最小点

C1

C3

C2

q0

成本最小化投入选择

k每期

成本被表示成斜率为 -w/v的平行线

C1 < C2 < C3

l每期

slide70
在等产量线和总成本线的切点获得…

k*

最优选择是l*, k*

l*

成本最小化投入选择

生产 q0 的最低成本是 C2

k每期

C1

C3

C2

q0

l每期

slide71
投入的条件要素需求
  • 在前面, 我们考虑了消费者的支出最小化问题
    • 我们利用这种技术获得了一种商品的补偿需求
  • 我们能否使用同一方法获得厂商的要素需求吗?
slide72
投入的条件要素需求
  • 在当前的问题中, 成本最小化问题所蕴含的资本和劳动需求依赖于生产的产出水平
  • 要素需求是引致需求
    • 取决于厂商的产出水平
slide73
厂商的扩展路径
  • 厂商能够决定在每一产量水平上成本最小化的k和 l 的组合
  • 如果对于厂商需求的任意数量的k和 l,要素成本都保持不变,那么我们便可获得成本最小化选择点的轨迹
    • 成为厂商的扩展路径
slide74
扩展线是成本最小化切点的轨迹

E

q1

q0

q00

厂商的扩展线

该曲线表示投入如何随着产出的增加而增加

k每期

l每期

slide75
厂商的扩展线
  • 扩展线并不一定是直线
    • 随着产出增长,某些投入的增加可能大于其他要素
      • 取决于等产量线的形状
  • 扩展线也应不必然是向上倾斜的
    • 如果某种投入随着产出扩张而下降,那么这种投入即为 劣等投入
slide76
成本最小化
  • 假设生产函数为柯布-道格拉斯生产函数:

q = kl

  • 对于产量 q0 的成本最小化拉格朗日表达式为

L = vk + wl + (q0 - k  l )

slide77
成本最小化
  • 最小值的一阶条件为

L/k = v - k-1l= 0

L/l = w - kl-1 = 0

L/ = q0 - k  l  = 0

slide78
成本最小化
  • 将第一个等式除以第二个等式
  • 生产函数是位似的
    • RTS仅取决于两种投入之比
    • 扩展线是一条直线
slide79
成本最小化
  • 假设生产函数为CES型生产函数:

q = (k +l)/

  • 对于产量 q0的成本最小化拉格朗日表达式为

L = vk + wl + [q0 - (k +l)/]

slide80
成本最小化
  • 最小化的一阶条件为

L/k = v - (/)(k + l)(-)/()k-1 = 0

L/l = w - (/)(k + l)(-)/()l-1 = 0

L/ = q0 - (k +l)/ = 0

slide81
成本最小化
  • 前两式相除得到
  • 生产函数也是位似的
slide82
总成本函数
  • 总成本函数 表示对于任意的要素成本和产量水平, 厂商的最小成本

C = C(v,w,q)

  • 随着产出 (q) 增加, 总成本上升
slide83
平均成本函数
  • 平均成本函数(AC) 表示每单位产出的总成本
slide84
边际成本函数
  • 边际成本函数(MC) 表示一单位产出变化带来的总成本的变化
slide85
总成本的图形分析
  • 假定生产一单位产出需要k1单位资本和 l1单位劳动

C(q=1) = vk1 + wl1

  • 为了生产 m单位产出 (假定规模报酬不变)

C(q=m) = vmk1 + wml1 = m(vk1 + wl1)

C(q=m) = m  C(q=1)

slide87
总成本的图形分析
  • 假定总成本开始时凹的,然后随着产量增加变成凸的
    • 一种可能的解释是随着资本和劳动的增加,还存在一种数量固定的其他生产要素
    • 边际报酬递减发生后总成本快速上升
slide88
C

边际报酬递减发生

后总成本随着产量

增加快速上升

总成本的图形分析

总成本

产出

slide89
MC是 C曲线的斜率

如果 AC > MC, AC一定下降

MC

AC

如果 AC < MC, AC一定上升

min AC

总成本的图形分析

平均和边际成本

产出

slide90
成本线的移动
  • 画出成本线的假设是要素价格和技术水平不变
    • 这些因素的改变会引起成本线移动
slide91
一些成本函数的例子
  • 假定固定比率的生产函数

q = f(k,l) = min(ak,bl)

  • 生产发生在 L-形等产量线顶点 (q = ak = bl)

C(w,v,q) = vk + wl = v(q/a) + w(q/b)

slide92
一些成本函数的例子
  • 假设柯布-道格拉斯生产函数

q = f(k,l) = kl

  • 成本最小化要求
slide93
一些成本函数的例子
  • 代入生产函数,解出 l, 得到
  • 同样方法得到
slide94
一些成本函数的例子
  • 因此,总成本函数为

其中

这是一个常数,仅仅包括参数 和 

slide95
一些成本函数的例子
  • 假设 CES 生产函数

q = f(k,l) = (k +l)/

  • 为了获得总成本, 我们利用同样的方法得到
slide96
柯布-道格拉斯成本函数的移动
  • 柯布-道格拉斯成本函数是

其中

  • 如果我们假定  =  = 0.5, 可以很大简化总成本曲线:
slide97
柯布-道格拉斯成本函数的移动
  • 如果v = 3,w = 12, 成本
  • C = 480 来生产 q =40
  • AC = C/q = 12
  • MC = C/q = 12
slide98
柯布-道格拉斯成本函数的移动
  • 如果v = 3,w = 27, 成本
  • C = 720 来生产 q =40
  • AC = C/q = 18
  • MC = C/q = 18
slide99
条件要素需求
  • 可以从成本函数中获得厂商各种投入的条件需求
    • 谢泼德引理
      • 任何投入的条件需求函数为总成本函数对这种投入价格的偏微分
slide100
条件要素需求
  • 假定我们的技术是固定比例的
  • 成本函数是
slide101
条件要素需求
  • 对于这个成本函数, 条件需求函数相当简单:
slide102
条件要素需求
  • 如果是柯布-道格拉斯技术
  • 成本函数是
slide103
条件要素需求
  • 对于这个成本函数,求导有些繁琐:
slide104
条件要素需求
  • 要素的条件需求依赖于所有要素的价格
slide105
短期和长期的区别
  • 在短期, 经济参与者行动的灵活度有限
  • 假设资本投入保持在 k1,厂商自有改变劳动投入
  • 生产函数变为

q = f(k1,l)

slide106
短期总成本
  • 厂商的短期总成本

SC = vk1 + wl

  • 存在两种短期成本:
    • 短期固定成本是使用量固定的要素的成本 (vk1)
    • 短期可变成本是使用量可变的要素的成本 (wl)
slide107
短期总成本
  • 短期成本不是生产各种产量的最小成本
    • 厂商无法改变投入组合
    • 为了在短期内改变产出, 厂商必须使用非最优的投入组合
    • RTS不一定等于要素价格之比
slide108
因为资本量固定在 k1,

厂商不能使得 RTS

等于投入价格之比

k1

l1

l2

l3

短期总成本

k每期

q2

q1

q0

l每期

slide109
短期边际和平均成本
  • 短期平均总成本 (SAC) 函数是

SAC = 总成本/总产出 = SC/q

  • 短期边际成本 (SMC) 函数是

SMC = SC改变量/产出改变量 = SC/q

slide110
SC (k2)

SC (k1)

C

SC (k0)

q0

q1

q2

短期和长期成本的关系

总成本

长期 C 可以

通过改变 k

的水平获得

产量

slide111
MC

SMC (k0)

SAC (k0)

AC

SMC (k1)

SAC (k1)

q0

q1

短期和长期成本的关系

成本

短期和长期的

AC和 MC如图

产出

slide112
短期和长期成本的关系
  • 在 AC曲线的最低点:
    • MC与 AC曲线相交
      • 在这点MC = AC
    • SAC曲线和 AC曲线相切
      • (对于某个水平的 k) SAC也在AC的这个产出水平上最小
      • 在这点SMC与 SAC相交

AC = MC = SAC = SMC

slide114
厂商的性质

厂商是参与人构成的组织,这些参与人组织到一起的目的是将投入转化为产出

不同的参与人提供不同的投入

投入要素提供者之间的合约关系可能相当复杂

114

slide115
合约关系

一些要素提供者之间的合约可能相当清晰

界定了工作时间、工作细节和收入

其它的合约安排在性质上更加隐晦

决策机构或者共同承担任务

115

slide116
厂商行为模型

大多数经济学家将厂商看作一个单一的决策单位

决策由一个独裁的经理作出,他理性地追寻某些目标

通常是利润最大化

116

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利润最大化

利润最大化厂商 选择投入和产出,其目标是获得最大的经济利润

最大化总收益和总经济成本之差

117

slide118
利润最大化

如果厂商是严格的利润最大化者, 他们利用 “边际” 方式作出决策

考察多雇用一单位劳动生产的额外产出获得的边际利润

118

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产出选择

厂商总收益为

R(q) = p(q)q

为了生产 q, 引致了经济成本 [C(q)]

经济利润 () 是总收益和总成本之差

(q) = R(q) – C(q) = p(q)q –C(q)

119

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产出选择

选择利润最大化产出水平 q的必要条件是令 对 q的导数等于零

120

slide121
产出选择

为了最大化经济利润, 厂商选择边际收益等于边际成本的产出

121

slide122
二阶条件

MR = MC仅仅是利润最大化的一阶必要条件

为获得充分条件, 要求

  • “边际利润” 在最优产量 q 必须是递减的

122

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利润最大化

当总收益函数的斜率等于总成本函数斜率的时候,厂商获得最大利润

二阶条件保证我们

不会错误地将

q0当作最大值

q0

q*

收入和成本

C

R

产出

123

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边际收益

如果厂商能在不影响市场价格的条件下销售所有希望销售的商品, 边际收益将会等于价格

如果厂商面临一条向下倾斜的需求曲线, 厂商只有在削减价格的条件下才能销售更多的商品

124

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边际收益

如果厂商面临向下倾斜的需求曲线, 边际收益是产量的函数

如果随着厂商增加销售量价格下降, 边际收益小于价格

125

slide126
边际收益

假定需求曲线为

q = 100 – 10p

解出价格

p = -q/10 + 10

那么,总收益为

R = pq = -q2/10 + 10q

边际收益将是

MR = dR/dq = -q/5 + 10

126

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利润最大化

为了确定利润最大化产量, 我们必须知道厂商的成本

如果厂商的平均成本和边际成本都是常数¥4, 那么

MR = MC

-q/5 + 10 = 4

q = 30

127

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边际收益和弹性

边际收益这个概念直接和厂商面临的需求曲线的弹性联系在一起

需求的价格弹性为价格改变一个百分点导致的需求量改变的百分比

128

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边际收益和弹性

这意味着

  • 如果需求曲线向下倾斜, eq,p < 0,MR < p
  • 如果需求富有弹性, eq,p < -1 ,此时边际收益为正
    • 如果需求具有完全弹性, eq,p = -,此时边际收益等于价格

129

slide131
逆弹性法则

因为当厂商利润最大化时 MR = MC,所以

  • 价格和边际成本的差距随着厂商面临的需求曲线更加富有弹性而下降

131

slide132
逆弹性法则

如果 eq,p > -1, MC < 0

这意味着厂商会选择在需求曲线富有弹性的点运营

132

slide133
平均收益曲线

如果我们假设厂商必须在一个价格水平上销售所有商品, 我们可以把厂商面对的需求曲线看成它的 平均收益曲线

表示了不同产出选择下每单位平均收益

133

slide134
边际收益曲线

边际收益曲线 表示最后销售的一单位产品带来的收益

如果厂商面临向下倾斜的需求曲线, 边际收益曲线在需求曲线之下

134

slide135
边际收益曲线

随着产出从 0 增加到 q1, 总收益增加,

因此MR > 0

价格

随着产出超过 q1, 总产出下降,

因此MR < 0

p1

D (平均收益)

产出

q1

MR

135

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边际收益曲线

如果需求曲线移动, 与之伴随的边际收益曲线也会移动

边际收益曲线无法在不参考一条特定的需求曲线的条件下计算

136

slide137
常弹性情况

我们看到过 (在第 5 章) 如下形式的需求曲线

q = apb

需求的价格弹性为常数 b

从这个方程中解出 p

p = (1/a)1/bq1/b = kq1/b 其中 k = (1/a)1/b

137

slide138
常弹性情况

这意味着

R = pq = kq(1+b)/b

同时

MR = dr/dq = [(1+b)/b]kq1/b = [(1+b)/b]p

这隐含着 MR与价格成正比

138

slide139
价格接受厂商的短期供给曲线

p* = MR

最大利润发生在

p = SMC

q*

价格

SMC

SAC

SAVC

产出

139

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价格接受厂商的短期供给曲线

由于 p > SAC,

因此 利润> 0

价格

SMC

SAC

p* = MR

SAVC

产出

q*

140

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价格接受厂商的短期供给曲线

p**

如果价格上升到

p**, 厂商将会

生产 q**,同时

 > 0

q**

价格

SMC

SAC

p* = MR

SAVC

产出

q*

141

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价格接受厂商的短期供给曲线

如果价格下降到

p***, 厂商将会生产 q***

p***

q***

价格

SMC

SAC

p* = MR

SAVC

利润最大化要求 p =

SMC,同时SMC

是向上倾斜的

 < 0

产出

q*

142

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价格接受厂商的短期供给曲线

短期边际成本曲线斜率为正的部分是价格接受厂商的短期供给曲线

表示了在各种可能的市场价格上厂商会生产多少

在短期中,厂商仅仅在总收益超过可变成本的条件下运营

如果p < SAVC, 厂商不生产

143

slide144
价格接受厂商的短期供给曲线

这样,价格接受厂商的短期供给曲线是短期边际成本曲线斜率为正的部分,同时要在最低平均可变成本之上

如果价格低于这个水平, 厂商利润最大化的决策是停业,什么也不生产

144

slide145
价格接受厂商的短期供给曲线

厂商短期供给曲线是 SAVC之上的 SMC 曲线

价格

SMC

SAC

SAVC

output

145

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短期供给

假定厂商的短期总成本曲线是

SC(v,w,q,k) = vk1 + wq1/k1-/

其中 k1是短期内维持不变的资本水平

短期边际成本是

146

slide147
短期供给

价格接受厂商在 p = SMC 获得最大利润

  • 因此,供给数量是

147

slide148
短期供给

为了获得厂商停业价格, 我们需要解出 SAVC

SVC = wq1/k1-/

SAVC = SVC/q = wq(1-)/k1-/

SAVC < SMC,对于所有的  < 1

没有足够低的价格使得厂商停业

148

slide149
利润函数

厂商的经济利润可以表示为投入的函数

 = pq - C(q) = pf(k,l) - vk - wl

仅仅有 k和 l在厂商的控制之下

厂商选择投入水平来最大化利润

在这个决策中,将 p, v和w是固定的参数

149

slide150
利润函数

厂商的 利润函数表示了最大利润,是厂商面对的价格的函数

150

slide151
包络结果

我们可以利用包络定理来考察利润如何对于产出和投入价格的变化而变化

151

slide152
利润最大化和要素需求

厂商的产量由其雇佣的生产要素决定

投入和产出之间的关系可以概括为生产函数

厂商的经济利润也可以表示为投入的函数

(k,l) = pq –C(q) = pf(k,l) – (vk + wl)

152

slide153
利润最大化和要素需求

最大化的一阶条件

/k = p[f/k] – v = 0

/l = p[f/l] – w = 0

利润最大化的厂商会选择雇佣任何投入,直到其对于收益的边际贡献等于雇用投入的边际成本

153

slide154
利润最大化和要素需求

这些利润最大化的一阶条件也意味着成本最小化

它们意味着 RTS = w/v

154

slide155
利润最大化和要素需求

为了保证是真正的最大化点, 二阶条件为

kk = fkk < 0

ll = fll < 0

kk ll - kl2 = fkkfll – fkl2 > 0

资本和劳动的边际生产率递减必须足够大,保证随着产出的增加边际成本上升

155

slide156
要素需求函数

从理论上讲, 可以通过求解一阶条件获得要素需求函数

资本需求 = k(p,v,w)

劳动需求 = l(p,v,w)

这些需求函数是无条件的

它们暗含着厂商可以根据价格调整产量

156

slide157
单要素情况

我们期望 l/w  0

劳动的边际生产率递减

利润最大化的一阶条件

/l = p[f/l] – w = 0

全微分得到

157

slide158
单要素情况

这意味着

  • 进一步求解
  • 因为 fll 0, l/w  0

158

slide159
两要素情况

对于两要素 (或者更多投入) 的情况, 这个故事会更加复杂

如果 w 下降, 这不仅仅会改变 l,同时也会改变 k,这样才会成为新的成本最小化投入组合

当 k改变了, 整个 fl函数移动

不过, 即使在这种情况中,我们也有 l/w  0

159

slide160
两要素情况

当 w下降, 两种效应发生

替代效应

如果产出不变, 厂商会选择在生产过程中用 l替代 k

产出效应

w的变化会改变厂商的扩展线

厂商的成本线将会发生移动,厂商会选择不同的产出水平

160

slide161
替代效应

如果产量保持在 q0的时候w下降, 厂商在生产过程中用 l替代 k

k每期

因为沿着一条等产量线 RTS递减, 替代效应永远是负的

q0

l每期

161

slide162
产出效应

w下降会降低厂商的MC

MC

MC’

因此, 厂商会选择更高的产出水平

P

q0

q1

价格

产出

162

slide163
产出效应

产出上升到 q1

q1

k每期

这样, 产出效应也意味着 l和w 之间的负向关系

q0

l每期

163

slide164
交叉价格效应

资本使用量对于工资如何做出反应没有明确的结论

工资下降导致厂商替换掉资本

产出效应使得厂商在扩张的时候需要更多的资本

164

slide165
替代效应和产出效应

我们对于要素需求有两个概念

条件劳动需求, lc(v,w,q)

无条件劳动需求, l(p,v,w)

在利润最大化的产出水平

lc(v,w,q) = l(p,v,w)

165

slide166
替代和产出效应

对于 w微分得到

替代效应

产出效应

总效应

166

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