第四章 向量空间

1. 第四章 向量空间 第四节 线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的结构 二、非齐次线性方程组解的结构

2. 性质1若 为 的解，则 也是 的解. 一、齐次线性方程组解的结构 其中c1,∙∙∙,ct是任意参数.

3. N ( A ) = Ax 0 由以上性质可知，Ax=0 的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间， 称此向量空间为齐次 一般记作N(A). 线性方程组 Ax=0 的解空间, 故而，只要找到解空间 的一个基和维数， 就 能将 的全部解表示出来 .

4. 称为齐次线性方程组Ax=0的一个基 础解系，如果

5. 定理1

6. = < - (2) r ( A ) r n , n r 当 时 方程组必有含 个向量的 基础解系 , 此时 方程组的通解可表示为 k , , k , 其中 为任意实数 L - 1 n r { } = = x + + x Î N ( A ) x k k k , , k R . L L - - - 1 1 n r n r 1 n r 解空间可表示为

7. 齐次线性方程组基础解系的求解 1. 定义法 找出n-r(A)个线性无关的解向量. 2. 初等行变换法 将系数矩阵A化为行最简形矩阵，选取n-r(A)个自 由未知量，并令其为e1,∙∙∙,en-r，求出相应的Ax=0的解，即为基础解系.

8. 例1求齐次线性方程组 的基础解系与通解. 　　对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有 解

11. 齐次线性方程组通解的求解 1. 初等行变换法 第三章 2. 先求出齐次线性方程组的基础解系，从而得到其 通解 .

12. 二、非齐次线性方程组解的结构 = Ax b = Ax 0 = Ax b 对非齐次线性方程组Ax=b，称与之具有相同系数矩 阵的方程组Ax=0为其对应(导出)的齐次线性方程组. 性质2 , 是 的解 令 设 当 当 时， . 时， 是 的解 . 是 的解

13. 说明： 1. 为Ax=b的解，则 为Ax=0的 解， 为Ax=b的解. 2. 由于非齐次线性方程组的解对加法和数乘不封 闭，因此不是向量空间.

14. 非齐次线性方程组 的通解为 = h = = x 性质3 x Ax b , x 设 是方程 的解 是方程 = = x + h = Ax 0 , x Ax b . 的解 则 仍是方程 的解 　　其中 为对应齐次线性方程 组 的通解， 为非齐次线性方程组 的任意一个（特）解. 非齐次线性方程组Ax=b的任一解可表示成它的某 个解与其对应的齐次线性方程组Ax=0的一个解之和 的形式。

15. 非齐次线性方程组的通解 (1) 初等行变换法 对于具体的线性方程组的求解，常用此法. (2) 根据解的结构来求，即找Ax=b的一个特解及其 应的齐次线性方程组的基础解系.

16. 例4求解方程组 解

17. 在对应的齐次线性方程组 中， 取

20. 例6 已知非齐次线性方程组的系数矩阵之秩为3，又 已知该方程组有三个解向量 其中 试求该方程组的 通解. 由已知，该方程组是 解： 设方程组的系数矩阵为A， 且dimN(A)=1， 一个4元方程组， 故若求得N(A)的一个 基向量，以及非齐次线性方程组的某个解，即可写出 Ax=b的通解xp. 显然可取xp= 由性质2知， 由于 是对应的齐次线性方程组的解，

21. 因此 可作为N(A)的一个基向量，从而 非齐次线性方程组的通解为

22. 三、小结 1. 齐次线性方程组解的结构 (1) 基本结论 (2)求基础解系

23. 非齐次线性方程组 的通解为 2. 非齐次线性方程组解的结构 (1) 基本结论 (2) 利用解的结构求非齐次线性方程组的通解。

24. 思考题

25. 思考题解答