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形式言語 と オートマトン. 第 13 回 鳥取大学工学研究科 情報エレクトロニクス 専攻 田中美栄子. 1. 本日 の予定. オートマトン と 形式文法 の 関係 を学ぶ. 形式言語とオートマトン. 1. 正規文法と有限オートマトンの対応. 正規文法 は 正規言語 (有限状態言語) を 生成 し、 有限オートマトン は 正規言語 (有限状態言語) を 識 別 する. 形式言語とオートマトン. 1. 正規文法と有限オートマトンの対応. オートマトンの遷移規則. q 0. q 1. a. q 2. q 1. a. q 2. q 0.

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Presentation Transcript
slide1

形式言語 とオートマトン

第13回

鳥取大学工学研究科

情報エレクトロニクス専攻

田中美栄子

slide2

1

本日の予定

オートマトン と

形式文法 の

関係を学ぶ

形式言語とオートマトン

slide3

1

正規文法と有限オートマトンの対応

正規文法は正規言語(有限状態言語)

を生成し、

有限オートマトンは正規言語(有限状態言語)

を識別する

形式言語とオートマトン

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1

正規文法と有限オートマトンの対応

オートマトンの遷移規則

q0

q1

a

q2

q1

a

q2

q0

a

q2

a

オートマトンの遷移規則 δ(q,a)=p があるときは、

文法の置換規則 Q→aP が対応。

但しpが終状態ならば Q→a が対応。

形式言語とオートマトン

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1

正規文法と有限オートマトンの対応

q0

a

a

q1

q2

a

L={a3n}を生成する文法

L={a3n}を受理するFSA

形式言語とオートマトン

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1

対応:文法~言語~オートマトン

オートマトン(左)と文法(右)の対応する階層性

正規文法

FSA

PDA

文脈自由文法

文脈依存文法

LBA

TM

句構造文法

形式言語とオートマトン

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2

正規表現による正規言語の表現

正規表現に書き換えると?

L = {a3n |n>=0}= {aaa}*     L =(a3)*

L = {an |n>=0} = {a}* L =a*

L={ab,ba} ={ab} U {ba}L=ab+ba

L={aa}{a,b}*{bbb}L=a2(a+b)*b3

形式言語とオートマトン

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3

文脈自由文法
  • 文脈自由文法により生成される
  • オートマトンでなく文法で語るとき、
  • G=(V,T,S,P)
  • V={A,B,C},   T={0,1},    S=A,

P ={A→BC,A→BAC,B→0,C→1}

  • これから生成される言語は?
  • L={01,0011,000111,00001111,…}

形式言語とオートマトン

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3

これは有限状態言語でない

  • 有限状態オートマトンを作ろうとすると
  • 無限個の状態が必要。
  • 0がn個並んだ後に1が同じ個数n個並ぶように
  •         しようとすると、何らかの記憶装置が必要。
  • 無限集合ゆえ、ループを作る必要があるが、
  • 0の部分に作ると0の数が不確定のものを受理する。
  • 1の部分に作っても同じ。
  • 0と1にまたがると結果として
  • 0の後に1が出るものも受理してしまう。

形式言語とオートマトン

slide10

  • CFGの例

問 

G=(V,T,S,P)P={S→0S0|1S1|00|11}

                が生成する言語は?

答 

L={xxR|xは{0,1}*の元,|x|>0}

形式言語とオートマトン

slide11

  • 注 意 点
  • L={0n|n=2k,k>0}を生成する文法は?
  • G=<{S},{0},S,{S→SS,S→0}>は間違い
  • Gは例えば000も生成
  • LはCFGでは不可
  •        →Turing Machineが必要

形式言語とオートマトン

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5

閉  包  性
  • 全てのクラスi-0,1,2,3に属する言語は、和、連結、*

に対して閉じている。

  • 文脈自由言語は補集合や交わりの元では閉じていない。
  • 交わりはドモルガンにより補集合と和で書けるから、

補集合に閉じれば交わりで閉じる。

  • 正規言語は補集合の元で閉じている。
  • Type0は補集合の元で閉じる。
  • Type1は補集合の元で閉じることが1988判明した。

        (Neil Immerman、SIAM J.Computing vol.17-5)

形式言語とオートマトン

slide13

5

閉  包  性

1.有限状態言語は、和集合、補集合、連結、*積、積集合、などにおいて閉じている

2.文脈自由言語は補集合に於いて閉じていない、よって積集合に於いても閉じていない

反例は

L1={anbncm}、L2={ ambncn }

において二つの積集合はL3={ anbncn }

であるが、これは文脈自由言語でない

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chomsky

6

Chomsky標準形

Chomsky標準形

  プロダクションルールが

A→BC, または, A→a

(ここでSは開始記号,A,B,Cは変数aは終端記号)

任意の文脈自由文法Gに対して

等価なChomsky標準形の文法が存在する

形式言語とオートマトン

greibach

6

Greibach標準形

プッシュダウン・オートマトン(PDA)

               との関連性が見易い

生成規則が A→aα の形

(Aは非終端記号、aは終端記号、

αは終端記号と非終端記号からなる列)

形式言語とオートマトン