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平行四边形

平行四边形. 初二数学 主讲教师:邓兰萍. A. A’. B. B’. A. D. O. C. B. 一.平行四边形知识回顾: 1 .图形的平移 给我们的启示: 线段平行移动  AA´  BB´, AB  A´B´, AA´ // BB , AB// A´B´ 2 . 图形的 中心对称变换 给我们的启示:. 四边形绕一个点 旋转 180 度 ∠ A =∠ C , ∠ B =∠ D. A. D. O. C. B. 二.平行四边形的特征:   两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

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Presentation Transcript


  1. 平行四边形 初二数学 主讲教师:邓兰萍

  2. A A’ B B’ A D O C B 一.平行四边形知识回顾: 1.图形的平移给我们的启示: 线段平行移动  AA´BB´,ABA´B´,AA´ //BB , AB//A´B´ 2.图形的中心对称变换给我们的启示: 四边形绕一个点 旋转180度 ∠A=∠C, ∠B=∠D

  3. A D O C B 二.平行四边形的特征:   两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 1.边:对边平行且相等.ABDC,ADBC; AB//DC,AD//BC. 2.角:对角相等.  ABCCDA, DABBCD. 3.对角线:互相平分.AOCO,BODO.

  4. l 1 h h h l 2 A C E l 1 AB// CD// EF l 2 B F D 4.平行线间的距离:   回忆:点与点之间的距离;      点到直线的距离;      平行线之间的距离: AB=CD=EF

  5. E A D A D C B B C D A F B C E 还可以发现: 1.对称性:中心对称.对角线的交点是它的对称中心.       中心对称的四边形是平行四边形. 2.与平四边形有关的面积问题: AEBCCDAF

  6. A D O B C 3.平行四边形的两条对角线把平行四边形分割成4对成中心对称的三角形: △ABD与△DCB, △ABC与△CDA, △OAB与△OCD, △OBC与△ODA。   相邻两个三角形还有:面积相等;周长的差等于平行四边形相邻两边的差: 例如:△OAB的面积等于△OBC的面积; △OAB的周长与△OBC的周长的差等于AB     与BC的差.

  7. 典型例题: [例1] 若□ABCD中,∠A∠B∠D,求∠C的度数. 分析:利用平行四边形及平行线的特征,可知平行四边形的四个内角中对角相等,相邻两角互补.由已知条件 ∠C∠A,∠B∠D, ∠A2∠B, ∠A∠B180就可求出. 解:∵  □ABCD,∴  AB//CD.(平行四边形定义)      ∠A∠C, ∠B∠D.(平行四边形对角相等)      ∠A∠B180. (两直线平行, 同旁内角相等) ∵ ∠A∠B∠D , ∴  ∠A2∠B,∠A2(180∠A)180, 解得∠A120.  ∴   ∠C120. 点评:利用平行四边形的特征求角:可以“知一求三” .

  8. D C O A B [例2]□ABCD的周长是60 ,对角线的交点是O,若 △AOB 的周长比△BOC的周长大8.求AB、BC的长. 分析: △AOB与△BOC周长数量关系实质就是AB比BC大8, □ABCD的周长是60, 可得ABBC30,联立求出AB、BC. 解: ∵ □ABCD的周长是60 ,   ∴ ABBC30. ① ∵ △AOB的周长比△BOC的周长大8, ∴ ABBC8. ② 解由①和②组成的方程组,得AB19,BC11. 点评:利用平行四边形的特征,将两个三角形周长的关系 转化为相邻两边的关系.

  9. A D F B C E [例3]平行四边形的相邻两边上的高分别为8和9,它的周长是68,求它的面积. 分析:如图,由平行四边形的面积有: AEBCAFCD,由周长可    知BCCD是周长的一半. 解:∵ □ABCD,   ∴ABCD,ADBC,BCCD34. 由面积,有 AEBCAFCD   设BC为x,则CD(34x). 即8x9(34x),解得 x18. ∴ □ABCD的面积818144(平方单位).

  10. [例4]数平行四边形的个数

  11. [例5]在下面的格点图中.以格点为顶点,你能画出多少平行四边形. [例5]在下面的格点图中.以格点为顶点,你能画出多少平行四边形.

  12. A D E B C F [例6]如图,BD是△ABC的角平分线, DE//CB交AB于E, EF//AC交BC于. 试说明:BEFC. 分析: DE//CB, EF//AC说明 四边形CDEF是平行四边形, EDFC.由角平分线和平行线 的条件可知△EBD是等腰三角形, BEED,从而问题得证.

  13. A D E B C F 证明:∵ DE//CB, EF//AC,    ∴四边形CDEF是平行四边形, EDFC.    ∵ BD是△ABC的角平分线,    ∴∠ABD∠CBD.    ∵DE//CB, ∴ ∠EDB∠CBD.    ∴∠ABD ∠EDB.    ∴ BEED.    ∴ BEFC

  14. E A D O B C [例7]如图, □ABCD的周长为16㎝,AC与BD相交于点O,OE⊥AC交AD于E,求△DCE的周长. 解: ∵ □ABCD中AC与BD相交于点O, ∴ AOCO. ∵ OE⊥AC, ∴EAEC. ∵ △DCE的周长DEECCDDEEACD,    ∴ △DCE的周长ADCD.   ∵ ADCD □ABCD的周长的一半8 ㎝,   ∴ △DCE的周长8㎝.

  15. 三.平行四边形的识别:(共5种方法) 边:1.(定义)两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 角:4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 对角线:5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

  16. 值得思考的问题: 1.要想识别一个四边形是平行四边形,需要几个条件? 2.在四边形的边、角、对角线中任意知道两个条件都能确定是平行四边形吗?   例如:若四边形ABCD中, AB//CD,∠A∠C ,它一定是平行四边形吗? 又如:若四边形ABCD中, ABCD,∠A∠C ,它一定是平行四边形吗? ……

  17. D A B C 例如:若四边形ABCD中, AD//BC,∠A∠C ,它 一定是平行四边形吗?  说明:因为 AD//BC,     所以 ∠A∠B180, ∠C∠D180.     因为 ∠A∠C,     根据等角的补角相等, ∠B∠D.     因为 两组对角分别相等,     所以 四边形ABCD是平行四边形.

  18. C B A P D 又如:若四边形ABCD中, ABCD,∠A∠C ,它一定是平行四边形吗? 我们可以画出符合条件的图形:   如图:          说明:这个四边形ABCD不一定是平行四边形.

  19. A D O C B 典型例题 [例1]四边形ABCD中,AC交BD于O,AB//CD,再加上一个什么条件可以得到一个平行四边形? 分析:此题是一个开放性命题,答案不唯一. 解:如图,  ∵ AB//CD,若 AD//BC 则四边形ABCD为平行四边形. 想想看,再加上的条件可不可以是: ①ABCD; ② ∠A∠C;③ ∠B∠D;④ AOCO ;……

  20. D C F O E B A [例2]已知:如图, □ABCD中,E、F是AC上的点,且有AECF.试说明四边形DEBF为平行四边形. 分析:此题的条件与平行四边形的对角线有关,在判断四边形是否为平行四边形时,可优先考虑对角线的关系. 证明:连结BD交AC于O,    ∵ □ABCD,    ∴AOBO,CODO.    ∵ AECF,    ∴ AOAECOCF,即OEOF.     ∴四边形DEBF为平行四边形.

  21. D C F E B A 【问题还可引伸】   若将此问题中E、F在AC上 的位置改变,如三分之一点、四 分之一点……,实质上点E、F关 于对角线交点成中心对称的性质没有变,这样的问题都可以用同样类似的方法证明。   我们还可以想象,在另一条对角线上能否作同样的文章,这样大家掌握的就不是一道题而是一组题.

  22. D C H E F G B A [例3]已知□ABCD中,E、F分别是AD、BC边的中点,AF与BE交于G点,CE与DF交于H点.试说明EF与GH互相平分. 分析:要使EF与GH互相平分,只要    四边形EGFH为平行四边形. 证明:∵ □ABCD中,E、F分别是AD、BC边的中点,    ∴DEFB,DE//FB. ∴四边形DEBF为平行四边形. ∴DF//EB. 同理:EC//AF. ∴四边形EGFH为平行四边形.    ∴ EF与GH互相平分.

  23. 点评: 1.平行四边形对边的中点提供平行且相等的线段; 2.只要E、F在AD、BC边上的位置保证DEFB,其它条件不变,此题结论均成立.

  24. F D C A B E [例4]又例.已知□ABCD中,∠ADC、∠CBD的平分线DE、BF分别交AB、CD于E、F.试说明四边形DEBF为平行四边形. 分析:因为四边形DEBF中,可由 □ABCD知道DF//EB,所以只要 证明DE//FB或DFBE即可.   由平行四边形对角平分线的条件易证DE//FB;   由角平分线和平行条件可得△ADE与△CBF是等腰三角形AEADBCCF,进而得到DFBE. 证明:略. 点评:对角的平分线提供平行线、等腰三角形,很好的利用我们以前所学的内容

  25. 小结: 1.平行四边形这一特殊四边形除边、角、对角线有一些特征外,我们还可以由它的中心对称性从面积、周长和与之相关的三角形进一步对其进行探究. 2.平行四边形的特征为我们提供得到角相等,线段相等的重要依据. 3.要求会用平行四边形的特征解决关于内角、边的识别与计算问题. 4.在学习平行四边形的过程中,要注意提高说理水平.

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