Számítástechnika matematikai alapjai

1. Számítástechnika matematikai alapjai Készítette: Kiss SzilviaZKMSZ informatika szakmacsoport

2. Informatika Az informatika az információ • megszerzésével, • feldolgozásával, • tárolásával, • továbbításával foglalkozó tudományág.

3. Informatika Információhoz kommunikáció során juthatunk. A kommunikáció információelméleti modellje:

4. Információ Az érzékszerveinken keresztül megszerzett új ismereteket információnak nevezzük. Milyen érzékszerveink segítségével juthatunk információhoz? Melyik két érzékszervünkkel szerezzük az új ismeretek nagy részét?

5. Az információ érzékelése Közvetlen érzékelés • kódolatlan képinformációk pl. … • kódolatlan hanginformációk pl. … • egyéb információk pl. … Kódolt érzékelés • kódolt képinformációk • írott információpl. … • speciális jelek (pl. zászlójelek, karjelzések) • kódolt hanginformációk • szóbeli információ pl. … • zenei információ (pl. kürtjelek)

6. Jel A jelek az információ hordozására alkalmas szimbólumok. Például: • magyar abc betűi, • karjelzések, • térképeken alkalmazott jelek, • közlekedési táblák. A jel érzékszerveinkkel vagy műszereinkkel felfogható (mérhető) jelenség, amelynek jelentése van, ezt a jelentést valamilyen egyezmény, szabály rögzíti.

7. Alapvető jeltípusok A jeleket informatikai szempontból két nagy csoportba sorolhatjuk: Analóg jelek Analógnak nevezzük azt a jelet, amelynek az értelmezési tartománya is, az értékkészlete is folytonos, a jel minden időpillanatra értelmezett.

8. Alapvető jeltípusok Ilyen erősen süt, csak most sem nem figyelünk rá Most is süt a nap Ilyen erősen süt, csak most éppen nem figyelünk rá Napsütés: Analóg jel, mert bármikor bármilyen erősen süthet Megfigyelve, feljegyezve: Nem analóg, mert csak adott időpillanatokban figyeljük meg, és (most) csak rácspontokon ábrázolhatjuk az erősségét

9. Alapvető jeltípusok A jeleket informatikai szempontból két nagy csoportba sorolhatjuk: Diszkrét jelek A digitális jel mind értelmezési tartományában, mind pedig értékkészletében diszkrét.

10. Adat Az adat az információ megjelenített, rögzített formája. Különböző adatok is hordozhatnak azonos információt. (január) (1) Azonos adatok is hordozhatnak különböző információt. 7900 7900

11. Jelek a számítógépben Mágneses Fény Elektromos

12. Adatok a számítógépben A számítógépben általában kétállapotú jelekkel segítségével próbáljuk az információt tárolni. A hétköznapi információkat (szöveges, képi, hang) általában számítógépen is tudjuk tárolni. Eleinte számítógépencsakszámot, szöveget, és logikai adatokat tároltak.

13. Az adat megjelenési formái Szám (numerikus adat): 1,2,3,4,…,9 Szöveg (alfanumerikus adat): • betűk: A, a, B, b, ... • számok: 1,2,3,4,…,9 (A numerikus adatokkal ellentétben számítási műveletekre nem alkalmasak.) • írásjelek: . , ; - ? ! … • műveleti jelek: + - / * ^ … • speciális jelek: @ $ # & ... Logikai adat: az állítások tartalmának megfelelően kétféle lehet, igaz (true), vagy hamis (false)

14. Információ – adat – jel A jel az információ hordozója, az adat az információ tárolására szolgáló halmaz, míg az információ számunkra új ismeretet jelöl, azaz új hír, közlés vagy tájékoztatás.

15. Adatábrázolás Az ember a tízes számrendszert,a számítógép a - technikailag legegyszerűbben megvalósítható ‑ kettes számrendszert használja. A számítógép-ember kommunikációban az ‑ egyszerűbb felírhatóság kedvéért ‑ a tizenhatos számrendszer alkalmazott. Így az adatábrázolás előtt ismerkedjünk meg a számrendszerekkel.

16. Tízes (decimális) számrendszer Ennek alapján rögzítsünk néhány számrendszerrel kapcsolatos alapfogalmat: • Alapszám: Az egyes helyértékeken szerepelhető különböző együtthatók száma. A tízes számrendszer esetén: 10 • Helyérték: Az alapszám egészkitevős hatványai. A tízes számrendszer esetén: 100, 101, 102, 103 … • Együttható: Az egyes helyértékeken szereplő szorzók. A tízes számrendszer esetén: 0,1,2...9 • A szám értékének meghatározása: Szám =  (együttható * helyérték) Pl: 2*1000 + 6*100 + 5*10 + 7*1 = 2657

17. Kettes (bináris) számrendszer A bináris számrendszerben is ‑ hasonlóan minden más számrendszerhez ‑ helyértékek vannak, melyek a kettő hatványai szerint jobbról balra növekednek. Alapszám: 2 Együtthatók: 0,1 A számítógépben egy bináris helyértéket bitnek nevezünk, melynek állapota ‑ a bináris számrendszer együtthatói alapján ‑ 0 vagy 1 lehet.

18. Tizenhatos (hexadecimális) szr Alapszám: 16 Együtthatók: 0, 1, 2, ..., 9, A, B, C, D, E, F Az együtthatók nem adhatók meg minden esetben a tízes számrendszerben alkalmazott számokkal, szükség volt a 9 utáni számokhoz egy-egy jelet hozzárendelni. Ezek a következők: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15 Pl.: 1*4096 + 0*256 + 14*16 + 15*1 =4335

19. Szr-ek közti átváltás a) Átváltás binárisból decimálisba Az átváltáskor az együtthatókkal (0,1) szorozzuk az adott helyértékeket. Például: 11001100(2)==1*27+1*26+0*25+0*24+1*23+1*22+0*21+0*20= =128+64+0+0+8+4+0+0 = 204(10)

20. Szr-ek közti átváltás b) Átváltás hexadecimálisból decimálisba Az átváltáskor az együtthatókkal (0, 1, 2 ... A, B, C, D, E, F ) szorozzuk az adott helyértékeket, majd összeadjuk őket. Például: 10AC(16) = 1*163+0*162+A*161+C*160 = =4096+0+160+12 = 4268(10)

21. Szr-ek közti átváltás c) Átváltás binárisból hexadecimálisba Egy hexadecimális számjeggyel négy bináris érték adható meg, így a bináris számjegyeket jobbról négyes csoportokra osztjuk, utána külön-külön hexadecimális számra váltjuk, majd az így kapott eredményt sorban egymás mellé írjuk. Ha a balról a legelső csoportban nincs 4 db bináris szám, akkor azok elé annyi 0-t írunk, hogy azok is egy teljes csoportot alkossanak. Például:

22. Szr-ek közti átváltás d) Átváltás hexadecimálisból binárisba Az elv a következő: minden hexadecimális számjegyből egy bináris számnégyest készítünk, és az így kapott eredményt sorban egymás mellé írjuk. Például:

23. Szr-ek közti átváltás e) Átváltás decimálisból binárisba A decimális bináris átalakítást speciális formában, "maradékos osztás elve" alapján végezzük. Pl.: A bináris számot úgy kapjuk, hogy a maradékokat alulról felfelé összeolvassuk: 204(10) = 11001100(2)

24. Műveletvégzés a kettes számrendszerben a) Bináris összeadás Az összeadás műveleti szabályai: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 1 + 1 + 1 = 11 Példa a bináris összeadásra a decimális megfelelőjével történő ellenőrzéssel:

25. Műveletvégzés a kettes számrendszerben b) Bináris kivonás A számítógép tervezésekor arra törekedtek, hogy minél kevesebb műveletet kelljen ismernie a számítógép központi egységének. Az összes műveletet az összeadásra vezették vissza. Az összeadással elvégzett kivonás elött a negatív számokat speciális formára, komplemenssé kell alakítani. Példaként nézzük meg a 168(10)-as, azaz a 10101000(2) szám átalakítását.

26. Műveletvégzés a kettes számrendszerben b) Bináris kivonás Az egyes komplemens képzésekor problémaként vetődik fel, hogy így a nullára két kód is van: 00000000(2) = " +0 „ 11111111(2) = " 0 " Erre megoldást kínál a kettes komplemens képzés.

27. Műveletvégzés a kettes számrendszerben b) Bináris kivonás

28. Műveletvégzés a kettes számrendszerben Ezek után nézzünk konkrét példát a bináris kivonásra. Végezzük el a következő műveletet: 184(10) – 100(10)

29. Műveletvégzés a kettes számrendszerben A számítástechnikában előre rögzítenünk kell a számok ábrázolásának hosszát. A 184(10) nyolc bináris számjegy hosszúságú, ezért ezt a hosszúságot rögzítettük. Így a –100 bináris alakját is egy 0-val kiegészítve 8 jegyből állóra alakítottuk.

30. Műveletvégzés a kettes számrendszerben A végeredmény azonban ennél hosszabb számot eredményezett. Mivel az ábrázoláshoz továbbra is csak 8 jegynyi hely áll rendelkezésünkre, ezért az ún. túlcsordulás következett be, amely számjegyek “elvesztek”. Győződjünk meg róla, hogy így kaptuk meg a helyes eredményt.

31. Az adatábrázolás adategységei a) Bit A bináris szám egy helyértékét bitnek nevezzük. A bit állapota ennek megfelelően 0 vagy 1 lehet. b) Byte 8 bit összekapcsolásával kialakított egység. c) Szó A processzor típusától függő érték. Jelenleg a 64 bites szervezésű processzorok az elterjedtek, így ezek esetében a 64 bitből kialakított egységet nevezzük szónak.

32. Az adatábrázolás adategységei Az eddigi ismereteink alapján tudjuk, hogy a tízes számrendszerben az 1Kilo az 1000-t jelenti. A bináris számrendszerben a helyértékek mások, így ebben az esetben az 1Kilo 1024-nek felel meg. Ennek megfelelően változik a Mega, illetve a Giga értéke is. 1 Byte = 8 bit 1 KB = 1024 Byte = 8*1024 bit 1 MB = 1024 KB= 1024*1024 Byte = 8*1024*1024 bit 1 GB=1024 MB=1024*1024 KB =1024*1024*1024 Byte = 8*1024*1024*1024 bit

33. A számok ábrázolása a számítógépben a) Fixpontos ábrázolás Ez a számok műveletvégzésre alkalmas formában történő tárolására szolgál. Pozitív és negatív egész számok ábrázolására. A negatív számokat a már ismertetett kettes komplemens szerint értelmezik a gépek. Törtrésszel rendelkező számokat is ábrázolhatunk, de ekkor a törtet jelző pont csak logikailag létezik, a számítógép nem "teszi ki", helyét nem változtatja. Nyomtatásnál az elhelyezéséről a programozónak kell gondoskodnia.

34. A számok ábrázolása a számítógépben a) Fixpontos ábrázolás • A fixpontos számábrázolás hátrányai: • az ábrázolható tartomány kicsi: 2 Byte-on a legnagyobb 32.767, a legkisebb -32.768 • a számok pontossága erősen korlátozott: ha egész számot ábrázol 7/4 =1 és a 4 /4=1

35. A számok ábrázolása a számítógépben b) Lebegőpontos számábrázolás A fixpontos hátrányait kiküszöbölő, a számok hatványkitevős (matematikában használt normál alakhoz hasonlatos) felírásán alapuló számábrázolás. Például: 175(10) = 0.175 * 103 10110011(2) = 0.10110011 * 28 0.375(10) = 0.375 * 100 0.011(2) = 0.11 * 2-1

36. A számok ábrázolása a számítógépben b) Lebegőpontos számábrázolás Általánosan felírva: A = M * pk A = az eredeti szám M = az együttható, ennek a tört része az ún. mantissza p = a hatvány alapja k = a hatvány kitevője, az ún. karakterisztika Ebből észre vehetjük, hogy néhány elem minden szám esetén ismétlődik, ezért ezeket a számítógépen nem kell külön ábrázolni.

37. A számok ábrázolása a számítógépben b) Lebegőpontos számábrázolás Például: 175(10) = 0.175 * 103 10110011(2)= 0.10110011 * 28 0.375(10) = 0.375 * 100 0.011(2) = 0.11 * 2-1

38. A számok ábrázolása a számítógépben b.) Lebegőpontos számábrázolás A számokat 6 bájtos valós típusú mennyiségként ábrázoljuk Pl.: -23.1875 A mantissza egészrésze 231(23÷2= 11 marad: 1) 111(11÷2= 5 marad: 1) 51( 5÷2= 2 marad: 1) 20( 2÷2= 1 marad: 0) 11( 1÷2= 0 marad: 1) 0 A mantissza törtrésze 0,18750(0,1875×2=0,375) 0,3750(0,375 ×2= 0,75) 0,75 1(0,75 ×2= 1,5) 0,5 1(0,5 ×2= 1,0) 0

39. A számok ábrázolása a számítógépben b.) Lebegőpontos számábrázolás A számokat 6 bájtos valós típusú mennyiségként ábrázoljuk Pl.: -23.1875 A mantissza egészrésze=10111 A mantissza törtrésze=0011 Normálás 0.1xxxx A pontot 5 lépéssel balra tettük

40. A számok ábrázolása a számítógépben b.) Lebegőpontos számábrázolás A mantissza előjele Ha a mantisszanegatív, akkor legyen 1 különben legyen 0 Mivel itt mindig 1 állna, ezért ez a bitet ruházzuk fel a mantissza előjelének jelentésével

41. A számok ábrázolása a számítógépben A karakterisztika (kitevő) előjele b.) Lebegőpontos számábrázolás A karakterisztikát az ábrázolt legkisebb szám abszolút értékével megnöveljük, azaz hozzá adunk |-128|=128-at, majd átváltjuk 2-es számrendszerbe. Tehát ha k=5, akkor k:=5+128=133 Ezt az alakot nevezzük 128-cal eltolt nullpontú ábrázolásnak

42. A számok ábrázolása a számítógépben A karakterisztika (kitevő) előjele b.) Lebegőpontos számábrázolás A karakterisztika 1331(133÷2= 66 marad: 1) 660( 66÷2= 33 marad: 0) 331( 33÷2= 16 marad: 1) 160( 16÷2= 8 marad: 0) 80( 8÷2= 4 marad: 0) 40( 4÷2= 2 marad: 0) 20( 2÷2= 1 marad: 0) 11( 1÷2= 0 marad: 1) 0 k=10000101

43. A számok ábrázolása a számítógépben A 6 bájtos normált ábrázolás eddigiek ismeretében: Ábrázolható tartomány: konvenció (megállapodás): 0:= {k=-128, mantissza=tetszőleges} A legkisebb pozitív valós szám: 0.5 * 2-127 ≈2,938*10-39

44. Logikai műveletek A számítógép nem csak ‑ a számrendszereknél ismertetett ‑ matematikai műveletek, hanem logikai műveletek végrehajtására is képes. A logikában állítások vannak, melyek vagy igazak vagy hamisak. Ennek megfelelően a logikai adatok két értéket vehetnek fel: ha igaz, az értéke 1, ha hamis, az értéke 0. A logikai adatok ábrázolása általában 1Byte-on történik: • 00000001 = logikai igaz • 00000000 = logikai nem Ismerkedjünk meg néhány logikai művelettel:

45. Logikai műveletek a) Negálás (NOT) Olyan művelet, amely során az igazból hamisra, a hamisból igazra váltunk.

46. A B A & B Logikai műveletek b) ÉS kapcsolat (AND) A művelet elvégzése után az eredmény akkor igaz, ha az A és B is igaz volt, miden más esetben hamis.

47. A A v B B Logikai műveletek c) VAGY kapcsolat (OR) Az eredmény akkor igaz, ha vagy az A vagy a B is igaz volt, beleértve azt is, amikor mindkettő igaz.

48. B A A  B Logikai műveletek d) KIZÁZÓ VAGY kapcsolat (XOR) Az eredmény kizárólag akkor igaz, ha vagy A vagy B igaz volt. Ez a kapcsolat kizárja azt az esetet, amikor mindkettő igaz.

49. A B A + B A & B A  B 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 &  Aritmetikai műveletek a) Összeadás (1 bites) Átvitel Összeg

50. Aritmetikai műveletek b) Összeadás (Teljes összeadó) A B Átvitel be & Átvitel ki OR &   Összeg